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第二十四章 数据的分析
24.2 数据的波动程度
第2课时 根据方差进行分析判断
【素养目标】
1.进一步加深对方差概念的认识，在实际问题情境中感受抽样的必要性，体会用样本方
差估计总体方差的统计思想.
2.通过应用方差对实际问题做出决策，形成一定的数据意识，提高解决问题的能力，体
会特征数据的应用价值.
3.经历数据的收集、整理、分析过程，在活动中培养统计意识，掌握分析数据的思想和
方法.
重点：用样本方差估计总体方差，并做出决策.
难点：综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题.
【复习导入】
方差的计算公式，请举例说明方差的意义．
方差的适用条件：
【合作探究】
探究点：根据方差进行分析判断
例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含
量会存在一些误差（实际含量－标准含量）.甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为
500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10瓶饮
料进行测量，结果（单位：mL）如表所示.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
（1）如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质
量是不是都合格？
（2）哪条灌装线的灌装质量更好？
归纳总结：在解决实际问题时，方差反映数据的波动大小.方差越大，数据的波动越大；
第 1 页方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差.
运用方差解决实际问题的一般步骤：先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相
等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况.
[练一练]
1. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表，现要根据这
些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是( )
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.6 1.34
[议一议]
(1) 在解决实际问题时，方差的作用是什么？
(2) 运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
例2 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.
10： 12： 14： 16： 18： 20： 22： 24：
时刻 0：002：004：006：008：00
00 00 00 00 00 00 00 00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
两地的气温有什么差异？
[练一练]
第 2 页2. 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔
赛中，他们的成绩 (单位： cm) 如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1) 这两名运动员的运动成绩各有何特点？
(2) 历届比赛表明，成绩达到 5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项
比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打
破纪录应选谁参加这项比赛．
3. 甲、乙两班各有 8 名学生参加数学竞赛，成绩如下表：
甲 65 74 70 80 65 66 69 71
乙 60 75 78 61 80 62 65 79
请比较两班学生成绩的优劣.
当堂反馈
1.甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量的平均数与方差如表所示，若要选
择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.某校进行了一次数学成绩测试，甲、乙两班学生的成绩（满分120分）如下表所示：
班级 平均分 众数 方差
第 3 页甲 101 90 165
乙 102 87 138
你认为哪一个班的成绩更好一些？并说明理由.
答： 班（填“甲”或“乙”），理由是 .
3.甲、乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环），分别记甲、乙两人这次射击成绩
的方差为s2 ，s2 ，则s2 s2
（填“＞”或“＜”）.
甲 乙 甲 乙
4.某粽子加工厂家为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午粽叶飘香”员工包粽子比赛，
规定所包粽子质量为（160±3）g时都符合标准，其中质量（160±1）g为优秀产品.现从
甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：g）：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163；
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163.
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 160 160.5 a 3.6
乙 160 b 159 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b，c的值.
（2）根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工包的粽子质量更好？请说明理由.
参考答案
【合作探究】
探究点：根据方差进行分析判断
例1 解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示.
甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1
乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1
第 4 页从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两
者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
501+496+…+501
（2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为x ＝ ＝500，
甲 10
496+493+…+499
x ＝ ＝500.两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.可以
乙 10
类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
（501－500）2＋（496－500）2＋…＋（501－500）2
＝6.6，
10
（496－500）2＋（493－500）2＋…＋（499－500）2
＝18.8.可以发现，甲灌装
10
线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线
的灌装质量更好.
[练一练]
1.C
[议一议](1) 反映数据的波动大小．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数
据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
(2) 先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估
计总体数据的波动情况．
例2解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把上表
中的数据用折线图进行表示，得到下图：
从图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，
而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程
11+9+…+13
度两个方面分别进行比较.两地气温的平均数分别为x ＝ ＝16，
甲 13
13+11+…+15
x ＝ ＝16.
乙 13
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和
17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势
看，两地的气温差异不明显.两地气温的方差分别为
（11－16）2＋（9－16）2＋…＋（13－16）2
s2
＝ ≈23.5，
甲 13
（13－16）2＋（11－16）2＋…＋（15－16）2
s2
＝ ≈8.6.
乙 13
由s2 ＞s2
可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
甲 乙
1
[练一练]2. 解：(1) x ＝ (585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)
甲 10
=601.6，s2 ≈65.84，
甲
1
x ＝ (613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
乙 10
=599.3，s2 ≈284.21.
乙
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳
定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．
(2) 从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比
较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为
了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
第 5 页-5+4+0+10-5-4-1+1
3. 解：(1) x ＝70 + =70
甲 8
-10+5+8-9+10-8-5+9
x ＝70 + =70
乙 8
s2 ＝23，s2 ＝67.5
甲 乙
∴从平均分看两个班一样，从方差看s2 ＜s2
，甲班的成绩比较稳定
甲 乙
但是从高分看，80分都是1人，75分以上的甲班只有1人，而乙班有4人，占总人数
的一半，可见乙班成绩优于甲班.综上可知，可见乙班成绩优于甲班
当堂反馈
1. B
2. 乙 平均分甲小于乙，方差甲大于乙，即乙班平均水平高于甲班，且更稳定，故
乙班的成绩更好 .
3. ＜
159+159
4.解：（1）由题意得a＝161，乙的中位数为第5、6 个数的平均数，即b＝
2
1
＝159，c＝ ×[2×（158－160）2＋4×（159－160）2＋（161－160）2＋2×（162－
10
160）2＋（163－160）2]＝3.
（2）乙员工包的粽子质量更好，理由如下：∵甲、乙的平均数相同，乙的方差小于甲
的方差，∴乙所包粽子质量比较稳定，故乙包的粽子质量更好.
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