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23.1 一次函数的概念
1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关
系写出一次函数的解析式.
2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之
间的关系.
3.会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.
重点：一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式.
难点：从实际生活问题中建立一次函数模型.
知识链接：前面我们学习了函数，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点：一次函数的概念
问题1：（教材P114问题）某登山队大本营所在地的气温为5℃，
海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，
他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求
当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.
分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气
温从5℃减少6x℃.
y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.当
登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数
y＝－6x＋5的值，即y＝－6×2＋5＝－7（℃）.
问题2：（教材P114思考）下列问题中，变量之间的对应关系是函
数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同
特征？（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体
积V（单位：cm）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为
单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化
而变化，
（4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形
的面积y（单位：cm）随x的变化而变化.
在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之
间关系的函数解析式分别为（1）m＝7.9V；（2）h＝0.5n；（3）m
＝h－105；（4）y＝－5x＋50.
上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
概念引入：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，
叫作一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx
（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
【对应训练】教材P115练习第1题.
（教材P115例）一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性
限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：
kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，
弹簧伸长2xcm.
因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12.
（2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
【对应训练】教材P115练习第2题.1.下列函数中不是一次函数的是（ C ）
1
A.y＝x B.y＝2x－1 C.y＝ D.y＝1－0.5x
x
2.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（ C ）
2 x x+1
A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝
x 2 2
3.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共1000元，
另外每册收取材料费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数
关系式为 y ＝ 4 x ＋ 100 0 ，该函数 是 （填“是”或“不是”）
一次函数.
4.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次
函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时
间x（h）之间的关系；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh
后这个水池内有水ym3.
解：（1）由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也是正比例函数.
（2）由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
（3）由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函数，不是正比例函数.
5.[高频易错]已知关于x的函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3.
（1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？
（2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
解：（1）∵函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3是关于x的一次函数，
∴｜m｜＝1，m＋1≠0.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数是关于x的一
次函数.
（2）由（1）知m＝1，∵该函数是关于x的正比例函数，∴n－3＝
0.∴n＝3.∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数.（其他课堂拓展题，见配套PPT）
