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第 59 讲 直线的方程
1. 当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正
角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是
0°≤α＜180°．
2. 当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，常用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，斜率不存在．当直
线过P(x，y)，P(x，y)且x≠x 时，k＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
3. 直线方程的几种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y ＝ k( x － x) 不含垂直于 x 轴的直 线
0 0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于 x 轴的直线
两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 ＋＝ 1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A 2 ＋ B 2 ≠ 0 ) 平面直角坐标系内的直线都适用
1、若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A. 1 B. 4
C. 1或3 D. 1或4
【答案】 A
【解析】 由题意，得＝1，解得m＝1.
2、倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】 D
【解析】直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
3、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
【答案】 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
【解析】当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
4、(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的
直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0；综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝
0.故选A、B、C.
5、 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. ∪ D. ∪
【答案】 B
【解析】 由直线方程，得该直线的斜率为k＝－.又－1≤－<0，所以该直线倾斜角的取值范围是.
考向一 直线的斜率与倾斜角
例1、（1）直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是________．
【答案】
【解析】 由题意，得直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.因为α∈，所以≤cos α≤，所以k＝2cos
α∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈，即该直线的倾斜角的取值范围
是.
（2）直线2x cos 2α－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的取值范围是____________________．
【答案】 ∪
【解析】 由题意，得直线2x cos 2α－y－3＝0的斜率k＝2cos 2α.因为α∈，所以－≤cos 2α≤，所以k＝
2cos 2α∈[－1，1].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[－1，1].又θ∈[0，π)，所以θ∈∪，即该直线倾斜角
的取值范围是∪.
（3）、若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
【答案】 [－，0)∪
【解析】 当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.
变式1、已知直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值
范围为________．
【答案】
【解析】 因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以k ＝＝，k ＝＝，所以直线l斜率的取值范围是.
AP BP
变式2、已知直线l过P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围
为________．
【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞).
【解析】 因为k ＝＝1，k ＝＝－，所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，即直线l斜率的取值范围为(－∞，
AP BP l－]∪[1，＋∞).
变式3、（1）(2022·宿州模拟)若图中直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则(
1 2 3 1 2 3
)
A.k＜k＜k
1 2 3
B.k＜k＜k
3 1 2
C.k＜k＜k
3 2 1
D.k＜k＜k
1 3 2
【答案】 D
【解析】因为直线l ，l 的倾斜角为锐角，且直线l 的倾斜角大于直线l 的倾斜角，所以0＜k ＜k.直线l
2 3 2 3 3 2 1
的倾斜角为钝角，斜率k＜0，所以k＜k＜k.
1 1 3 2
(2) 直线l：y＝ax＋b，l：y＝bx＋a(a，b是不相等的正数)的图象可能是( )
1 2
A B C D
【答案】C
【解析】 由题意得直线l ，l 的方程为斜截式，因为斜率为正数，所以倾斜角为锐角，又两直线在y轴上
1 2
的截距均为正数，即可以判断A，B，D错误，故C正确．
方法总结：1. 倾斜角α与斜率k的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞；
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞增大到趋近于
0(k≠0)．
2. 斜率的两种求法
(1) 定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．
(2) 公式法：若已知直线上两点A(x ，y)，B(x ，y)，一般根据斜率公式k＝(x≠x)求斜率．
1 1 2 2 1 2
考向二 直线方程的求法
例2、根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，从而cos α＝±，
则k＝tan α＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1.
又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
变式1、求下列直线的方程．
(1) 过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的；
(2) 过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5；
(3) 经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等．
【解析】 (1) 设所求直线的斜率为k.
由题意，得k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1，3)，
所以直线的方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2) 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设直线的斜率为k，
则直线的方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，
解得k＝，
故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－5＝0或 3x－4y＋25＝0.
(3) 设直线l在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即直线l过(0，0)，(4，1)两点，
所以直线l的方程为y＝x，即x－4y＝0；
若a≠0，则设直线l的方程为＋＝1，
因为直线l过点(4，1)，
所以＋＝1，所以a＝5，
所以直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.变式2、求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
(2)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【解析】(1)当直线不过原点时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，
则－5k＝2，解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为
x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性．过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程；
在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程．在求直线方程时，最后结果
要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况．
考向三 直线方程的综合应用
例4、过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
【解析】 设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0).
因为直线l经过点P(4，1)，所以＋＝1.
(1) ＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2) 因为＋＝1(a＞0，b＞0)，
所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
变式1、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值
并求此时直线l的方程.(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四
象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝，等号成立，
∴S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0
min
方法总结：(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出
“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等
式求解最值．
1、(2022·江苏如皋期初考试)直线 的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－，令x＝0，解得y＝－，故答案选C.
2、(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)下列说法正确的是( )
A．方程 能表示平面内的任意直线；
B．直线 的倾斜角为 ；
C．“ ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件；D． “直线 与 垂直”是“直线 和 的斜率之积为 ”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】由题意，对于选项A，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为＝，为直线的两点式方程；当直
线平行于x轴，则原方程可化为y＝y；当直线平行于y轴，则原方程可化为x＝x；综上所述，可表示平面
1 1
内任意直线，故选项A正确；对于选项B，直线l的斜率k＝，则其倾斜角为－α，故选项B错误；对于选
项C，方程表示双曲线，则(9－k)(k－4)＜0，解得k＞9或k＜4，则k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条
件，故选项C错误；对于选项D，当一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，可以满足两直线垂直，则
选项D正确；综上，答案选AD.
3、(2022·江苏如皋期初考试)过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
【答案】4x＋3y－13＝0
【解析】由题意可设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方
程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
4、 (2022·湖北荆州中学高三期末)已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为
3，则直线l的方程为___________________________．
【答案】 x－6y－6＝0或x－6y＋6＝0
【解析】 由题意可设直线l的方程为＋＝1，则|ab|＝3，且－＝，解得或所以直线l的方程为＋＝1或＋＝
1，即x－6y－6＝0或x－6y＋6＝0.
5、 已知三角形的三个顶点 A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为
______________．
【答案】 x＋13y＋5＝0
【解析】 由题意，得BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
5. (2022·临沂三模)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线
上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线
方程为________．
【答案】 x－y＋2＝0
【解析】 设△ABC的重心为G，垂心为H.由重心坐标公式，得x ＝＝－，y ＝＝，所以G.由题意，得
G G
△ABC的边AC上的高线所在直线方程为x＝0，直线BC：y＝x＋4，A(2，0)，所以△ABC的边BC上的高线
所在直线方程为y＝－x＋2.联立得H(0，2)，所以欧拉线GH的方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0.
6、(2022·江苏如皋期初考试)已知直线 过点(2，1)，点 是坐标原点
（1）若直线 在两坐标轴上截距相等，求直线 方程；（5分）
（2）若直线 与 轴正方向交于点 ，与 轴正方向交于点 ，求 的最小值及此时的直线方程.
（5分）
【解析】（1）当 过坐标原点时，方程为 ，即 ，满足题意；当 不过坐标原点时，可设其方程为： ， ， ；
综上所述：直线 方程为： 或 ；
（2） 的最小值为 ，此时直线方程为：
