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23.1 图形的旋转
旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点
称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.
题型1：旋转中的概念及对应元素
1.下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼 D．小明在荡秋千
【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝A'B' B．∠AOA'＝∠BOB'
C．OB＝OB' D．∠AOB'＝100°
【变式1-2】如图（1）中，△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ 和∠ 都是直角，点 在 上，
△ 绕着 点经过逆时针旋转后能够与△ 重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着 点经过逆时
针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60°
旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中：
(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
题型2：旋转的性质及旋转中心的确定
2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )
A．(1，1) B．(0，1) C．(-1，1) D．(2，0)
【变式2-1】如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与它本身重合，则下列说法正确的是（
）
A．这个图形一定是中心对称图形
B．这个图形可能是中心对称图形
C．这个图形旋转216°后能与它本身重合
D．以上都不对
【变式2-2】如图，四边形OABC绕点O旋转得到四边形ODEF，如果∠AOC＝40°，∠COD＝50°，
那么：（1）这个图形的旋转中心是 ；（2）旋转的角是 ；（3）点A的对应点是
，线段OC的对应线是 ．
题型3：求旋转角度3.如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠A=30° ，将 △ABC 绕点C逆时针旋转90°得到
△DEC ，则 ∠AED 的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′
（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（
）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得
到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为（ ）
A．α B．2α C．90°−α D．90°−2α
题型4：求旋转变换中的线段长度
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝√3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到
Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1 B．3 C．√3 D．2√3
【变式4-1】如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形ABCD．此时点A的对应点A恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点D之间的距离为（ ）
A．3 B．6 C．3√3 D．6√3
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转
到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）
A．10 B．2√13 C．2√34 D．4√5
题型5：利用旋转求阴影部分面积
5.如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30º后得到正方形AB´C´D´，若
AB=2√3cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．(12−6√3)cm2 C．3√3cm2 D．4√3cm2
【变式5-1】如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到
△AB′C′，则图中阴影部分的面积是 cm2．【变式5-2】如图，在 ΔABC 中， AB=8 ，将 ΔABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30° 后得到
ΔA BC ，则阴影部分面积为( )
1 1
A．8 B．9 C．16 D．18
旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋
转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
注意：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
题型6：旋转的作图
6.分别画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 和 180° 后的图形．
【变式6-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△ABC，并写出点A 的坐标．
1 1 1 1
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△ABC ，并写出点A 的坐标．
2 2 2
【变式6-2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4.2）．C（3.4）
⑴请画出将△ABC向左平移6个单位长度后得到的图形△ABC；
1 1 1
⑵请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△ABC；
2 2 2
⑶△ABC 可看成将△ABC 以某点为旋转中心旋转而得，则旋转中心的坐标是 ▲ ．
2 2 2 1 1 1
题型7：以等边三角形为背景的旋转问题
7.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE与DC有怎样的数量关系？请用旋转的性质说
明上述关系成立的理由．【变式7-1】如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转
得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．
【变式7-2】如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B
旋转至△BCM.
（1）依题意补全图形；
（2）若OA= √2 ，OB= √3 ，OC=1，求∠OCM的度数.
题型8：以正方形为背景的旋转问题
8.在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF．
【变式8-1】如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG
的位置关系．
【变式8-2】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，连接
EF
（1）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数；
（2）BE与DF之间有怎样的关系？并说明理由
题型9：旋转中的最值问题
9.如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90° ，将 ΔABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△ A′B′C ，
M 是 BC 的中点， P 是 A′B′ 的中点，连接 PM ．若 BC=2 ， ∠BAC=30° ，则线段 PM
的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4√3，BC的中点为D，将△ABC绕点
C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，求DG的最大值和
最小值．【变式9-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求 PA+PB+PC 的最小
值．
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB，CD于E，F两点（
BE>EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G，H两点，满足GH=EF，则这样的直线
GH（不同于直线EF）的条数共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
2．如图，在方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转( )度才能与相邻的叶轮重合。
A．45° B．90° C．60° D．120
3．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°.若AP＋BP＝4，则
PC的最小值为（ ）A．2 B．2√3 C．√5 D．3
4．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB′C′的位
置，连接CC′，若CC′∥AB，则旋转角α的度数为（ ）
A．40° B．50° C．30° D．35°
5．下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B．平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
6．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，将ΔABC绕点A逆时针旋转至ΔAED，使点C的对应点D
恰好落在边AB上，E为点B的对应点．设∠BAC的度数为α，则∠BED的度数为（ ）
3 2 1
A．α B． α C． α D． α
5 5 2
二、填空题
7．正六边形可以看成由基本图形 经过 次旋转而成．
8．如图，△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= °．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D
逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为 ．
三、作图题
10．在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.
四、解答题
11．如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△ABC；
1 1 1
（2）将△ABC 向下平移3个单位，画出平移后的△ABC；
1 1 1 2 2 2
（3）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后的△ABC；并直接写出点A、B 的坐标．
2 2 2 2 3 3 2 3 312．在△AMB中，∠AMB=90°，将△AMB以B为中心顺时针旋转90°，得到△CNB．
求证：AM∥NB．
13．在边长为1的正方形网格中,△AOB的位置如图所示.
（1）将△OAB绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△OCD；
（2）直接写出旋转过程中，点A所经过路径的长为 .
14．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠BAC＝30°）按图①的方式放置，固定三
1 1
角板ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，
1 1
AB与AC交于点E，AC与AB 交于点F，AB与AB 交于点O．
1 1 1 1 1（1）求证：△BCE≌△B CF.
1
（2）当旋转角等于30°时，AB与AB 垂直吗？请说明理由．
1 1
15．如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转，得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②
所示，连接C′C并延长交AB于点E．
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD′≌△CAE．
