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第 66 讲 抛物线的标准方程与性质
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的
焦点，直线l叫做抛物线的准线．
二 、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中 ＝ ＝ ＝ ＝
P(x 0 ，y 0 )) x 0 ＋ －x 0 ＋ y 0 ＋ －y 0 ＋
三 、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
(1)y y ＝－p2，x x ＝.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x ＋x ＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
1 2
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．1、（2022•乙卷（文））设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】 为抛物线 的焦点 ，点 在 上，点 ， ，
由抛物线的定义可知 ， 不妨在第一象限），所以 ．
故选： ．
2、【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则
|AB|=（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
【答案】B
【解析】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，
所以|AB|=√(3−1) 2+(0−2) 2=2√2.
故选：B
3、（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ， 到直线 的距离为 ，
可得 ，解得 ．
故选： ．
4、【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到
y轴的距离为9，则p=（ ）A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
5、（2023•乙卷（文））已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
【答案】 ．
【解析】点 在抛物线 上，
则 ，解得 ，
由抛物线的定义可知， 到 的准线的距离为 ．
故答案为： ．
6、（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【答案】 ．
【解析】法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．
所以 ，所以 的方程为： ，
时， ，
，所以 ，解得 ，所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．
故答案为： ．
1、抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
【答案】 A
【解析】 由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－.
2、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 设P(x ，y)，则|PF|＝x＋＝x＋＝2，∴ x＝，∴ y＝±．
0 0 0 0 0 0
3. (多选)(2022·常德一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列结论中正确的
是( )
A. 焦点F的坐标为(1，0)
B. 过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D. 抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则MN＝4
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知抛物线方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确；对于B，过点A(－
1，0)有抛物线的2条切线，还有y＝0，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误；对于C，联立
消去x并整理，得y2＋4y－4＝0，弦长为|y －y|＝·＝×＝8，故C正确；对于D，联立消去y并整理，得x2
1 2
＋4x－5＝0，解得x＝1(负值舍去)，所以交点为(1，±2)，所以MN＝4，故D正确．故选ACD.
4. (2022·青岛二中高三期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：x＝2交抛物线C于P，Q两点，且
OP⊥OQ，则抛物线C的方程为________．
【答案】 y2＝2x
【解析】 将直线l：x＝2代入抛物线C：y2＝2px(p>0)，得P(2，2)，Q(2，－2)，所以OP＝(2，2)，OQ＝
(2，－2).因为OP⊥OQ，所以OP·OQ＝(2，2)·(2，－2)＝4－4p＝0，即p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.
考向一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____．
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．
【答案】（1）y2＝－8x或x2＝8y （2）y2＝4x
【解析】 (1)直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦
点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上
且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y；故抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y.
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的
定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P ，P 两点，求证：以PP 为直径
1 2 1 2
的圆和该抛物线的准线相切．
证明：如图，设PP 的中点为P，过P，P，P 分别向准线l引垂线，垂足分别为Q，Q，Q．
1 2 0 1 2 0 1 2 0
根据抛物线的定义，得|PF|＝|PQ|，|PF|＝|PQ|，
1 1 1 2 2 2
所以|PP|＝|PF|＋|PF|＝|PQ|＋|PQ|．
1 2 1 2 1 1 2 2
因为PQ∥P Q∥P Q，|PP|＝|PP|，
1 1 0 0 2 2 1 0 0 2
所以|PQ|＝(|P Q|＋|PQ|)＝|PP|．
0 0 1 1 2 2 1 2
由此可知，PQ 是以PP 为直径的圆P 的半径，且PQ⊥l，因此，圆P 与准线相切．
0 0 1 2 0 0 0 0
方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直
线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理
解决．
考向二 抛物线的标准方程及其几何性质
例 2 、 顶 点 在 原 点 ， 对 称 轴 为 坐 标 轴 ， 且 过 点 P( － 4 ， － 2) 的 抛 物 线 的 标 准 方 程 是________________________．
【答案】 y2＝－x或x2＝－8y
【解析】 若焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx，将点P(－4，－2)代入，解得 m＝－1，则抛物线
方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny，将点P(－4，－2)代入，解得n＝－8，则抛
物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－8y.
变式1、 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x ，y)，B(x ，y)是过点F的直线与抛物线的两个交
1 1 2 2
点，求证：
(1) yy＝－p2，xx＝；
1 2 1 2
(2) ＋为定值；
(3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【解析】 (1) 由已知，得抛物线的焦点坐标为.
设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0，
所以yy＝－p2.
1 2
因为y＝2px，y＝2px，
1 2
所以yy＝4p2xx，
1 2
所以xx＝＝＝.
1 2
(2) ＋＝＋＝.
因为xx＝，x＋x＝AB－p，
1 2 1 2
所以＋＝＝(定值).
(3) 设AB的中点为M(x，y)，如图所示，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D，过点M
0 0
作准线l的垂线，垂足为N，
则MN＝(AC＋BD)＝(AF＋BF)＝AB，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
变式2、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
【答案】 A
【解析】 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝
－4.
（2）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y)在抛物线上，K为l与y
0
轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y＝________，p＝________.
0【答案】2 4
【解析】 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
方法总结：1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝
ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了
不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算
1、(2022·江苏第一次百校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为点F，点A(－1，0)，抛物线上点P满足PA＝
PO，O为坐标原点，则PF的长等于
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可设P(x ，y)，因为PA＝PO，所以(x ＋1)2＋y2＝2(x2＋y2)，即可化简为(x －1)2＋y2＝
0 0 0 0 0 0 0 0
2，则点P的轨迹是以点(1，0)为圆心，以r＝为半径的圆，则PF＝r＝，故答案选B．
2、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该
三角形的边长为______．
【答案】4
【解析】由题意可知，点A，B关于x轴对称，且满足∠AOx＝30°，假设点A在第一象限，且设等边三角
形的边长为m，则点A(m，m)，代入到抛物线的方程，可解得m＝4，即等边三角形的边长为4．
3、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，
若M为FN的中点，则|FN|＝ ．
【答案】6【解析】由题意，如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M ，N ，设抛物线的准线与x轴
1 1
的交点为F ，则|NN |＝|OF|＝2，|FF|＝4．因为M为FN的中点，所以|MM|＝3，由抛物线的定义知，则|
1 1 1 1 1
FN|＝2|FM|＝6．
4、（2022·河北唐山·高三期末）已知抛物线C： 的焦点为F， ， 是C上两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】解：由抛物线C： ，
得 ，
又因 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
5、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是拋物线 上一点， 是 的焦点，，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】由定义 ，又 ，
所以 ，解得 .
故选：C
6、（2022·广东东莞·高三期末）已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于
两点.若线段 的长为16， 的中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ， ，
由抛物线的定义可得 ，
又因为 的中点到 轴的距离是6，所以 ，
所以 ，
所以抛物线的方程为： ，
设直线 的方程 ，
联立直线与抛物线的方程： ，整理可得 ，
，
所以 ，
解得 ，所以 的方程为： ，
.故选：B
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，
且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，
设 ，则 ，
MN为梯形ACDB的中位线，则 ，
由AF⊥BF．可得 ，
故 ，
因为 当且仅当a=b时取等号，
故 ，
故选：D.
