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第 83 讲 变量间的相关关系、统计案例
1. 变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关
系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散
布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2. 两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之
间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为 y ^ ＝ b ^x ＋ a ^ _，其中其中a^，b^是待定参数
(3)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间
几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3. 独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x ， x }和{y ， y }，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
1 2 1 2
y y 总计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝ ( 其中 n ＝ a ＋ b ＋
c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
常用结论
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x－，y－)．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
1、（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说
法正确的是A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】
【解析】 相关系数 ，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选： ．
2、（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【答案】
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选： ．
3、【2020年山东卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
PM2.5
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的PM2.5浓度不超过 75，且SO 浓度不超过 150 的天数有
2
32+6+18+8=64天，
64
所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150的概率为 =0.64；
2 100
（2）由所给数据，可得2×2列联表为：
SO
2
[0,150] (150,475] 合计
PM2.5
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据2×2列联表中的数据可得n(ad−bc) 2 100×(64×10−16×10) 2 3600
K2= = = ≈7.4844>6.635，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 80×20×74×26 481
因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
4、【2020年海南卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的PM2.5浓度不超过 75，且SO 浓度不超过 150 的天数有
2
32+6+18+8=64天，
64
所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150的概率为 =0.64；
2 100（2）由所给数据，可得2×2列联表为：
SO
2
[0,150] (150,475] 合计
PM2.5
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据2×2列联表中的数据可得
n(ad−bc) 2 100×(64×10−16×10) 2 3600
K2= = = ≈7.4844>6.635，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 80×20×74×26 481
因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
1、(2022·济宁二模)为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点(x，y)：
x 5 6.5 7 8 8.5
y 9 8 6 4 3
¿ ¿
y a
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 ＝－1.8x＋ ，则据此计算残差为0的样本点是(
)
A. (5，9) B. (6.5，8)
C. (7，6) D. (8，4)
【答案】 C
¿
a
【解析】 由题意可知，＝＝7，＝＝6，所以回归方程的样本中心点为(7，6)，所以6＝－1.8×7＋ ，解
¿ ¿ ¿
a y y
得 ＝18.6，所以 ＝－1.8x＋18.6，在收集的5个样本点中，(7，6)一点在 ＝－1.8x＋18.6上，故计算
残差为0的样本点是(7，6).
2、(2022·聊城一模)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据α＝0.01的独立性检验
(P(χ2)≥6.635＝0.01)，结论为( )
A. 变量x与y不独立
B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
C. 变量x与y独立
D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
【答案】 C
【解析】 按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立．故排除选项A，B；因为6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过
0.01”这个结论．故C正确，D错误．
3、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为( )
A．－5 B．－5.5 C．－6 D．－6.5
【答案】 D
【解析】 由题意结合线性回归方程的预测作用可得，当 x＝6时，y＝6.5×6＋17.5＝56.5，则随机误差的
残差为50－56.5＝－6.5.
4、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025. 根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则认
为选修文科与性别有关系出错的可能性为
【答案】 5%
【解析】 K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修
文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
考向一 相关关系的判断
例1、两个变量的相关关系有①正相关；②负相关；③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间
的相关关系是( )
A. ①②③ B. ②③①
C. ②①③ D. ①③②
【答案】 D
【解析】 第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点
图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的
分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.
变式1、 (1) 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是( )
A. x与y正相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y负相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
【答案】 C
¿ ¿
b a
【解析】 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，所以x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝ y＋
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
b b a b b a
， ＞0，则z＝ y＋ ＝－0.1 x＋ ＋ ，故x与z负相关．
(2) 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
① ②
③ ④
A. r
