第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 10 讲 函数的奇偶性与周期性、对称性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数 关于 对称 f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数 关于 对称 f(x)就叫做奇函数 2、周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋ T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x) 的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调 性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝ (a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝ (a>0)． 3．函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线 对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝ 对称． f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点 对称． 1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7． ❑ 22 若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ） k=1 A．−21 B．−22 C．−23 D．−24 2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则22 ∑❑f(k)=（ ） k=1 A．−3 B．−2 C．0 D．1 3、【2021年甲卷文科】设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4、【2021年甲卷理科】设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5、【2021年乙卷文科】设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 6、【2021年新高考2卷】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 （ ） A． B． C． D． 7、【2020年新课标2卷理科】设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 8、【2020年新课标2卷文科】设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 1 y  y  x1 x y  x|x| A B C D 2、已知 f(x)是奇函数，且当x0时， f(x)eax ．若 f(ln2)8，则a__________． 3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数 是奇函数，则 的值为 ___________. 4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数， 则 ______. 考向一 奇偶性的定义与判断 例1、判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝ 变式1、判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)＝x lg (x＋)； (2) f(x)＝(1－x) ； (3) f(x)＝ (4) f(x)＝. 方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对 称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结 合定义作出判断． 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－ f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反 例就可以了． 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 x＞0或x ＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函 数才具有确定的奇偶性． 考向二 函数的周期性及应用 例2、已知定义在 上的函数满足 ，且 图像关于 对称，当 时， ，则 ________. 变式1、函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ． f(x) x31 1 x1 f(x)f(x) 变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时， ；当 1 1 1 x f(x ) f(x ) 2 2 2 时， ，则f(6)= A．−2 B．−1 C．0 D．2 变式3、若函数f(x)＝则f(2 023)＝________. 方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T． (2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综 合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． (4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件： ， ， ， ， ， 等 考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用 f x 0, 例3、（1）设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则 1 A． f （log 34 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ） 1 B． f （log 34 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ） 1 C． f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （log 34 ） 1 D． f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （log 34 ） （2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称； 丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x，x∈D，都有f(x·x)＝f(x)＋f(x). 1 2 1 2 1 2 (1) 求f(1)的值； (2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； (3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集． 变式2、已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时，，下列命题正确的是（ ） A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数 C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为 方法总结： 1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由 f(－x)＝ －f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一 种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果． 2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数 在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着 极大的帮助，要予以足够的重视． 1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数 是R上的奇函数，当 时， ，若 ， 是自然对数的底数，则 （ ） A． B． C． D． 2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 的图 象如图所示，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D． 4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则 （ ） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． D． 5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数 ，若 ， ， （e为自然对数的底数），则（ ）． A． B． C． D． 6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 ，以下结论正确的是（ ） A． B． 在区间 上是增函数 C．若方程 恰有3个实根，则 D．若函数 在 上有6个零点 ，则 的取值范围是