第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 10 讲 函数的奇偶性与周期性、对称性
1、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函 关于 y 轴 对称
数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么 关于原点对称
函数f(x)就叫做奇函数
2、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋
T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调
性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．
1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．
❑ 22
若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ）
k=1
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2−x)=g(x+2)，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(−2)×5=−10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(−2)×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=−2−f (0)=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g(2−x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1.
所以
❑ 22
∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=−1−3−10−10=−24.
k=1
故选：D
2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则
22
∑❑f(k)=（ ）
k=1
A．−3 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】因为f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令
x=0可得，f (y)+f (−y)=2f (y)，即f (y)=f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得，
f (x+1)+f (x−1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=−f (x−1)，
f (x−1)=−f (x−4)，故f (x+2)=f (x−4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6．
因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，
f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．
k=1
故选：A．
3、【2021年甲卷文科】设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】
由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
4、【2021年甲卷理科】设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
5、【2021年乙卷文科】设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
6、【2021年新高考2卷】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
7、【2020年新课标2卷理科】设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出
单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结
果.
【详解】
由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
8、【2020年新课标2卷文科】设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为1
y 
y  x1 x y  x|x|
A B C D
【答案】D
【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．
2、已知 f(x)是奇函数，且当x0时， f(x)eax ．若 f(ln2)8，则a__________．
【答案】a3
【解析】： f(ln2)ealn2 f(ln2)8，得2a 8，a3．
3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数 是奇函数，则 的值为
___________.
【答案】
【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
整理得 恒成立，解得 ，经检验当 时，函数 是奇函数.
故答案为：
4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，
则 ______.
【答案】
【解析】依题意函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
，
，
恒成立，所以 ，
所以 .
故答案为：考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
【解析】：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，
－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x lg (x＋)；
(2) f(x)＝(1－x) ；
(3) f(x)＝
(4) f(x)＝.
【解析】 (1) 因为x＋>0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋)＋lg (－x＋)]＝0，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
(2) 由题意，得解得－1≤x<1，
所以定义域不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(3) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．不妨设x>0.
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(4) 由题意，得解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称．
因为f(x)＝＝＝，
所以f(x)＋f(－x)＝－＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对
称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结
合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－
f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反
例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 x＞0或x
＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函
数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、已知定义在 上的函数满足 ，且 图像关于 对称，当 时，
，则 ________.
【答案】-2
【解析】
因为 图像关于 对称，则 ，
，
故 是以8为周期的周期函数，故答案为： .
变式1、函数 满足 ，且在区间 上， 则
的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数 满足 ( )，所以函数 的最小正周期是4．因为在区间
上， ，所以 ．
f(x) x31 1 x1 f(x)f(x)
变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时， ；当
1 1 1
x f(x ) f(x )
2 2 2
时， ，则f(6)=
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
1 x1
【 解 析 】 当 时 ， 为 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， 所 以
．而 ，所以 ，故选D．
变式3、若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
【答案】 －1
【解析】 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综
合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件： ， ，
， ， ， 等
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
f x 0,
例3、（1）设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则
1
A． f （log 34 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ）
1
B． f （log 34 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ）
1
C． f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （log 34 ）
1
D． f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （log 34 ）
【答案】C
1
【解析】 f x是定义域为 R 的偶函数，所以 f(log 3 4 ) f(log 3 4)，因为 log 3 4log 3 31 ，
3 2
02  3 2 2  2 3 20 1 ， 所 以 02  2 2  3 log 4， 又 f x在 (0,) 上 单 调 递 减 ， 所 以
3
 3  2 1
f(2 2) f(2 3) f(log )． 故选C．
3 4
（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)
在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数
的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．
变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x，x∈D，都有f(x·x)＝f(x)＋f(x).
1 2 1 2 1 2
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【解析】 (1) 由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，
f(x)＋f＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f.
不妨设x>x>0，
1 2
则f＝f(x)＋f＝f(x)－f(x)>0，
1 1 2
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数．
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
因为f(x－1)<2＝f(16)，
所以
解得－15<x<1或1<x<17，
所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17).
变式2、已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时，
，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数
C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为
【答案】A
【解析】函数 是 上的奇函数， ，由题意可得 ，
当 时， ，
，A选项正确；
当 时， ，则 ， ，
，
则函数 不是 上周期为 的函数，B选项错误；
若 为奇数时， ，
若 为偶数，则 ，即当 时， ，
当 时， ，若 ，且当 时， ，
，
当 时，则 ， ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
由奇函数的性质可知，函数 在 上的值域为 ，
由此可知，函数 在 上的值域为 ，D选项错误；
如下图所示：由图象可知，当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点，
当 或 时， ，此时，函数 与函数 没有交点，
则函数 与函数 有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
方法总结： 1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由 f(－x)＝
－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一
种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数
在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着
极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数 是R上的奇函数，当 时， ，若
， 是自然对数的底数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：依题意得 ， ，由 ，即 ，得 ，所以
当 时 ，所以 .
故选：D2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为 是偶函数，所以 等价于 ．
又 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
由 ，得 或
又 ，解得 或 ．
故选：D
3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 的图
象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为 为偶函数，所以函数图象关于 轴对称，
由图可得 时 ， 时 ， 时 ；
又当 时 ， 时 ， 时 ， 时 ，
不等式 等价于 或 ，
所以 或 或 ，即不等式的解集为 ；
故选：A
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则
（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． D．
【答案】B
【解析】
因为 是奇函数，
∴ ，
∵ 是偶函数，
∴ ，即 ，
，
则 ，即周期为8；
另一方面 ，
∴ ，即 是偶函数.故选：B.
5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数 ，若 ， ，
（e为自然对数的底数），则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知，函数 为偶函数，且在 上单调递增，又 ， ，
，所以 ，故 ．
故选：D
6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 ，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间 上是增函数
C．若方程 恰有3个实根，则
D．若函数 在 上有6个零点 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
函数 的图象如图所示：
对A， ， ，所以 ，故A错误；对B，由图象可知 在区间 上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知 ，直线 与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数 在 上有6个零点 ，则
，所以当 时， ；当 时， ，所以 的取值
范围是 ，故D正确.
故选：BCD.