第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 10 讲 函数的奇偶性与周期性、对称性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函 关于 y 轴 对称 数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么 关于原点对称 函数f(x)就叫做奇函数 2、周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋ T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调 性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 3．函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称． f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称． 1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7． ❑ 22 若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ） k=1 A．−21 B．−22 C．−23 D．−24 【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称， 所以g(2−x)=g(x+2)， 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)， 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5， 代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2， 所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(−2)×5=−10， f (4)+f (6)+…+f (22)=(−2)×5=−10. 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=−2−f (0)=−3. 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5， 联立得，g(2−x)+g(x+4)=12， 所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)=6 因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1. 所以 ❑ 22 ∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=−1−3−10−10=−24. k=1 故选：D 2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则 22 ∑❑f(k)=（ ） k=1 A．−3 B．−2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令 x=0可得，f (y)+f (−y)=2f (y)，即f (y)=f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得， f (x+1)+f (x−1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=−f (x−1)， f (x−1)=−f (x−4)，故f (x+2)=f (x−4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6． 因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1， f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以 一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，22 所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3． k=1 故选：A． 3、【2021年甲卷文科】设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值. 【详解】 由题意可得： ， 而 ， 故 . 故选：C. 4、【2021年甲卷理科】设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ． 故选：D． 5、【2021年乙卷文科】设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】 由题意可得 ， 对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数； 对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 6、【2021年新高考2卷】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论. 【详解】 因为函数 为偶函数，则 ，可得 ， 因为函数 为奇函数，则 ，所以， ， 所以， ，即 ， 故函数 是以 为周期的周期函数， 因为函数 为奇函数，则 ， 故 ，其它三个选项未知. 故选：B. 7、【2020年新课标2卷理科】设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结 果. 【详解】 由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确. 故选：D. 8、【2020年新课标2卷文科】设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ， 所以函数 为奇函数． 又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增， 而 在 上单调递减，在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增． 故选：A． 9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 可得： 或 或 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ， 故选：D. 1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为1 y  y  x1 x y  x|x| A B C D 【答案】D 【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D． 2、已知 f(x)是奇函数，且当x0时， f(x)eax ．若 f(ln2)8，则a__________． 【答案】a3 【解析】： f(ln2)ealn2 f(ln2)8，得2a 8，a3． 3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数 是奇函数，则 的值为 ___________. 【答案】 【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，即 ， 整理得 恒成立，解得 ，经检验当 时，函数 是奇函数. 故答案为： 4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数， 则 ______. 【答案】 【解析】依题意函数 是定义在 上的奇函数， 所以 ， ， ， 恒成立，所以 ， 所以 . 故答案为：考向一 奇偶性的定义与判断 例1、判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝ 【解析】：(1)∵由得x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)∵由得－2≤x≤2且x≠0． ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝＝＝， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时， －x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． 变式1、判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x lg (x＋)； (2) f(x)＝(1－x) ； (3) f(x)＝ (4) f(x)＝. 【解析】 (1) 因为x＋>0恒成立， 所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋)＋lg (－x＋)]＝0，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数． (2) 由题意，得解得－1≤x<1， 所以定义域不关于原点对称， 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数． (3) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．不妨设x>0. 因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0， 所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数． (4) 由题意，得解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称． 因为f(x)＝＝＝， 所以f(x)＋f(－x)＝－＝0， 所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数． 方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对 称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结 合定义作出判断． 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－ f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反 例就可以了． 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 x＞0或x ＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函 数才具有确定的奇偶性． 考向二 函数的周期性及应用 例2、已知定义在 上的函数满足 ，且 图像关于 对称，当 时， ，则 ________. 【答案】-2 【解析】 因为 图像关于 对称，则 ， ， 故 是以8为周期的周期函数，故答案为： . 变式1、函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ． 【答案】 【解析】因为函数 满足 ( )，所以函数 的最小正周期是4．因为在区间 上， ，所以 ． f(x) x31 1 x1 f(x)f(x) 变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时， ；当 1 1 1 x f(x ) f(x ) 2 2 2 时， ，则f(6)= A．−2 B．−1 C．0 D．2 【答案】D 1 x1 【 解 析 】 当 时 ， 为 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， 所 以 ．而 ，所以 ，故选D． 变式3、若函数f(x)＝则f(2 023)＝________. 【答案】 －1 【解析】 当x>0时， f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，① ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，② ①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)， ∴f(x)的周期为6， ∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1) ＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T． (2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综 合命题． (3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． (4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件： ， ， ， ， ， 等 考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用 f x 0, 例3、（1）设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则 1 A． f （log 34 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ） 1 B． f （log 34 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ） 1 C． f （ 2  3 2 ）＞ f （ 2  2 3 ）＞ f （log 34 ） 1 D． f （ 2  2 3 ）＞ f （ 2  3 2 ）＞ f （log 34 ） 【答案】C 1 【解析】 f x是定义域为 R 的偶函数，所以 f(log 3 4 ) f(log 3 4)，因为 log 3 4log 3 31 ， 3 2 02  3 2 2  2 3 20 1 ， 所 以 02  2 2  3 log 4， 又 f x在 (0,) 上 单 调 递 减 ， 所 以 3  3  2 1 f(2 2) f(2 3) f(log )． 故选C． 3 4 （2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称； 丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x) 在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数 的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D． 变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x，x∈D，都有f(x·x)＝f(x)＋f(x). 1 2 1 2 1 2 (1) 求f(1)的值； (2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； (3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集． 【解析】 (1) 由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. (2) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0， 所以f(－1)＝0， 所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)， 即f(x)＝f(－x)， 所以f(x)为偶函数． (3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2， f(x)＋f＝f(1)＝0， 所以f(x)＝－f. 不妨设x>x>0， 1 2 则f＝f(x)＋f＝f(x)－f(x)>0， 1 1 2 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为偶函数． 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减． 因为f(x－1)<2＝f(16)， 所以 解得－15