文档内容
第10讲 根思想在导数中的应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求在曲线上一点处的切线方程
卡根思想在导数中 用导数判断或证明已知函数的单调性
2023年全国甲卷理数，第21题,12分
的应用. 根据极值求参数
由函数对称性求函数值或参数
卡根思想在导数中 利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2023年全国乙卷理数，第21题,12分
的应用 利用导数研究不等式恒成立问题
卡根思想在导数中 利用导数研究方程的根
2022年新I卷，第22题,12分
的应用 由导数求函数的最值 (含参)
卡根思想在导数中 求在曲线上一点处的切线方程 (斜率
2022年全国乙卷理数，第21题,12分
的应用 利用导数研究函数的零点
卡根思想在导数中 利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2021年全国甲卷理数，第21题,12分
的应用 利用导数研究方程的根
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能用卡根思想结合零点存在性定理综合解题
【命题预测】在零点个数及方程的根等综合问题研究中，参变分离和数形结合都是解题的方法，但也都有
局限性，同时对函数图像画法要求较高；包括在零点个数研究中还有放缩方法，但是放缩的不等式变化较
多，这样对学生又提出了比较严苛能力要求。此时卡根法是此类题型的另一方法。同时卡根法也常应用于
导数研究函数性质的过程中，其本质是虚设零点（设而不求），利用零点满足的关系式化简，从而得到范
围或符号。高考中常用的解题方法，需要学生复习中综合掌握知识讲解
“卡根”问题的一般方法，其具体步骤如下
1. 根据函数的增长速度判断函数值变化的趋势，以便确定是否存在零点;
2. 根据函数表达式的特点进行拆分，一般拆分成和或乘积形式;
3. 根据函数的增长速度，将指、对数函数放缩成幂函数及其和的形式;
4. 根据相关不等式的解集，利用零点存在定理来确定零点存在的区间
零点存在性定理：
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内必有零点，即 ，使得
注：零点存在性定理使用的前提是 在区间 连续，如果 是分段的，那么零点不一定存在
考点一、 卡根思想在导数中的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
3．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
1．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）令 ，若 在 恒成立，求整数a的最大值．
参考数据： ，
2．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
3．已知函数 ， ．
(1)函数 的图象与 的图象无公共点，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？
若存在，求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2024·福建福州·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的值
2．（2024·山东日照·三模）已知函数 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，对 ， ，求正整数 的最大值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，其中e为自然对数的底数， ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)当a＝0时，若存在 使得关于x的不等式 成立，求k的最小整数值．（参考数据：
）
4．（2023·江西上饶·一模）已知 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， ，试讨论 在 内的零点个数．（参考数据： ）
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)试比较 与 的大小；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
7．（2024·安徽安庆·三模）已知函数 在点 处的切线平行于直线 ．
(1)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 是函数 的极值点，求证： ．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
9．（2022·河北唐山·二模）已知函数 ， ，曲线 和 在原点处有相
同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数 在 上零点的个数，并说明理由．
10．（2023·海南海口·二模）已知 .
(1)若 在 处取到极值，求 的值；
(2)直接写出 零点的个数，结论不要求证明；(3)当 时，设函数 ，证明：函数 存在唯一的极小值点且极小值大于 .
11．（2021·四川南充·模拟预测）已知函数 ， ， ，令
．
（1）当 时，求函数 的单调区间及极值；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
12．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)当 时， ，求a的取值范围.
(2)若 ，证明： 有三个零点 ， ， （ ），且 ， ， 成等比数列.
1．（2021·全国·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2020·全国·高考真题）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
3．（2017·全国·高考真题）已知函数 且 .
（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
