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专题24.50 圆中的动点问题（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图，B，C是 上两点，且 ，
A是 上一个动点 不与B，C重合 ，则 为（ ）
A． B． C． 或 D．
2．（2020·浙江·模拟预测）如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点， 的
度数为100°， =2 ，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（ ）
A．R B． R C． R D． R
3．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
点 是 边上的动点，连接 ，过点 作 于点 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点 是 上两点， ，点P是 上的动点（P与
不重合），连接 ，过点O分别作 交 于点E， 交 于点F，则 等于
（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考一模）如图， 是等边 的外接圆，点 是劣弧 上一
动点（不与A、C重合），则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·重庆潼南·九年级统考期末）如图， 是 的切线，B为切点，连接 ，与 交于
点C，D为 上一动点（点D不与点C、点B重合），连接 ．若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西太原·统考二模）如图，正五边形 内接于 ，点F是 上的动点，则
的度数为（ ）A．60° B．72° C．144° D．随着点 的变化而变化
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 内接于 ， ， 的半径为8，点Q是
上一动点，点P是弦 的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）
A． B．2π C． D．
9．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着
圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
10．（2023·河南周口·统考二模）如图，在扇形 中， ，点 为 的中点，点 为
上一动点，点 为 上一点，且 若 ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019春·广东中山·九年级阶段练习）如图，正三角形ABC内接于圆O，AD⊥BC于点D交圆于点
E，动点P在优弧BAC上，且不与点B，点C重合，则∠BPE等于 ．
12．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，在 中，AD为直径，弦 于点H，连接
OB．已知 ， ．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线 以
1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为 ．当 时， 的值为 ．
13．（2023·安徽合肥·统考一模）如图， 的弦 ，点P是 上一动点，若 的直径是 ，
则 的长的取值范围是______．
14．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设
点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
15．（2022秋·九年级单元测试）如图， ， 分别与 相切于 ， 两点， 是优弧 上的一
个动点，若 ，则 ．16．（2012·广东广州·统考中考模拟）如图， 是以边长为6的等边 ABC一边AB为半径的四分之一
△
圆周，P为 上一动点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为 ．（结果用根号表示）
17．（2022春·河南周口·九年级校考阶段练习）如图，在扇形AOB中，OA＝2，点P为 上一动点，
过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的周长为 ．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知 的直径 ，AC是 的弦，连接BC，若
，点Q在劣弧BC上一个动点，当 时，则弧CQ的长度是 ．
三、解答题
19．（2021秋·全国·九年级期末）已知:如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、轴分别交于 两点， 是直线 上一动点，⊙ 的半径为2．
（1）判断原点 与⊙ 的位置关系，并说明理由；
（2）当⊙ 与 轴相切时，求出切点的坐标．
20．（2022·广东·一模）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A，B
的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且
DG=GH=HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C是 上运动时，在CD，CG，DG这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请
指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．21．（2021秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，点O是弧 的圆心， ，且
，C是 上的一个动点，且不与A、B重合， 于E， 于D．
（1）若 ，求 长；
（2）在 中是否存在长度保持不变的边，若存在，求出该边的长；若不存在，说明理由．
22．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如图， 、 为 上的两个定点， 是 上的动点（
不与 、 重合），我们称 为 上关于 、 的滑动角．已知 是 上关于点 、 的滑
动角．
（1）若 为 的直径，则 ______ ；
（2）若 半径为 ， ，求 的度数．23．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图， 是 的外接圆， ， ，P是
上的一动点．
（1）当 的度数为多少时， ；
（2）若以动点P为切点的切线为 ，那么当 的度数为多少时，切线 与 一边平行？
24．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知
．
（1）若 的半径为5，求 的长；
（2）试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）参考答案
1．C
【分析】在优弧 上取一点 ，连接 ， ，利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解
决问题．解：在优弧 上取一点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：C．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
2．C
【分析】作点D关于AB的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最
小长度，求出弧BC的度数，再求出弧BD的度数，从而得到弧CD′的度数，连接OD′，过点O作OE⊥CD′，
然后根据垂径定理求解即可．
解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，
由轴对称确定最短路线问题，CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，
∵弧AC的度数为100°，
∴弧BC的度数为180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度数= ×80°=40°，
∴弧CD′的度数=80°+40°=120°，
连接OD′，过点O作OE⊥CD′，
则∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2× R= R．
故选C．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握最短路线的确定
方法，找出点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．3．A
【分析】取 中点 ，连接 、 ．易得点 在以 长为直径的圆周上上运动，当点 、 、
在同一直线上时， 最短．据此计算即可．
解：如图，取 中点 ，连接 、 ．
， ，
点 在以 长为直径的圆周上上运动，当点 、 、 在同一直线上时， 最短．
， ，
，
，
，
即 的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点
到点到这点的线段长是解题的关键．
4．C
【分析】先根据垂径定理得出 ，故可得出 是 的中位线，再根据中位线定
理即可得出结论．
解： 于 于 ，
，
是 的中位线，
．
故选：C．
【点拨】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
5．C【分析】根据等边三角形的性质得 ，然后利用圆内接四边形对角互补求解即可．
解： 是等边 的外接圆，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键在于熟
练掌握圆内接四边形对角互补．
6．B
【分析】如图：连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，再根据直角三角形两锐角互余求得∠COB，
然后再根据圆周角定理解答即可．
解：如图：连接OB，
∵ 是 的切线，B为切点
∴∠OBA=90°
∵
∴∠COB=90°-42°=48°
∴ = ∠COB=24°．
故选B．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为
解答本题的关键．
7．B
【分析】求出正五边形每条边所对的圆心角的度数，再根据圆心角和圆周角的数量关系式即可求得．
解：连接 、 ，
∵ ，
∴ ，故选：B．
【点拨】此题考查了正多边形和圆，解题的关键是熟悉正多边形和圆的性质．
8．C
【分析】连接 ，由垂径定理知 ，则点P在以 为直径的 上运动，设 与
交于点 ，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为 的长，利用弧长公式进行计算即
可．
解：连接 ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴点P在以 为直径的 上运动，
设 与 交于点 ，
则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为 的长，
∵ ， 的半径为8，
∴ ， ，
∴点P所经过的路径长为 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了动点的运动轨迹，垂径定理，圆周角定理等知识，确定点P的运动路径是解题的关键．
9．A
【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用
勾股定理即可得出AS的长．
解：沿着S所在的母线展开，如图，
连接AS，则AB＝ ×16＝8，BS＝ BC＝6，
在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，
解得AS＝10．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．
故选：A．
【点拨】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求
解是解答此题的关键．
10．B
【分析】连接 ，作 于点 ，作 于点 ，求出 ，证明
，得出 ，根据 求出结果即可．
解：连接 ，作 于点 ，作 于点 ，如图所示，
点 为 的中点， ，，
点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
阴影部分的面积是： ，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和
性质，解题的关键是作出辅助线，证明 ．
11．30°
【分析】由于点P始终在优弧BAC上移动，故∠BPE度数不易直接求，可转化为求同弧所对的其他它
圆周角的度数．
解：∵△ABC为正三角形，AD⊥BC，
∴AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝60°× ＝30°，
又∵∠BPE＝∠BAE，
∴∠BPE＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题考查圆周角定理，在解此类动点问题时，一般将位置不固定的角转化为固定角来解，运
用转化思想是解答此题的关键．
12．1s或3s或6s【分析】根据OB=2，∠OBC=30°， ，得出OH= ，分三种情况当点E从O运动到D
的过程中，点E运动到点H时，∠OBE=30°，1t=1，t=1s，当点E从D运动到O的过程中，点E运动到点
H时，∠OBE=30°，1（t-2）=1，t=3s，可证OE=OB=2=OA，点E运动到点A时，∠EBO=30°，
AD=2AO=4，列方程1（t-2）=4，解方程即可t=6s．
解：∵OB=2，∠OBC=30°， ，
∴OH= ，
当点E从O运动到D的过程中，
点E运动到点H时，∠OBE=30°，
∴1t=1，t=1s，
点E从点O运动到点D，则t=2÷1=2s，
当点E从D运动到O的过程中，
点E运动到点H时，∠OBE=30°，
∴1（t-2）=1，t=3s，
∵∠BOH=90°-∠OBH=90°-30°=60°，
∵∠OBE=30°，
∴∠BEO=∠BOH-∠EBO=30°，
∴OE=OB=2=OA，
∴点E运动到点A时，∠EBO=30°，
∵AD=2AO=4，
∴1（t-2）=4，t=6s，当 时， 的值为1s或3s或6s．
【点拨】本题考查圆的性质，30°直角三角形性质，等腰三角判定与性质，一元一次方程，分类思想的
应用使问题完整，本题难度不大，掌握圆的性质，30°直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，一元一次
方程，分类思想的应用使问题完整是解题关键．
13．
【分析】过O点作 于C点，连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定
理得到 ，根据垂线段最短得到 的最小值为3，从而得到 的取值范围；
解：过O点作 于C点，连接 ，如图，
根据垂径定理得到 ，
∵ 的直径是 ，
∴ ，
在 中，
∵ 为半径时最长， 为垂线段最短，
∴ 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾
股定理等内容，掌握垂线段最短知识内容是解题的关键．
14．（−1, 3）【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点
不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即
为所求．
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0,2），点B（2,0），
∴ ，
解得 ，
∴y=−x+2.
解方程组 ，得 ，
∴当P的坐标为（−1, 3）时，过P，A，B三点不能作出一个圆.
故答案为（−1, 3）.
【点拨】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性
质.
15． /70度
【分析】连接 、 ，根据切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和求出
，最后根据圆周角定理即可解答．
解：如图，连接 ， ，
， 分别与 相切于A,B两点，
， ，
，
，
．
故答案为 ．【点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，根据切线的性质得到
是解答本题的关键．
16．12+6
解：连接BE,过E点做AB 的垂线，垂足为F
因为ＡＢ为半径的四分之一圆周, Ｅ是弦ＡＤ的中点，可求出∠EBF=45 ，由因为EB=AB=6，所以
EF2+BF2=EB2，求得EF的长，由此可求出AE的长，从而求得四边形ＡＣＢＥ的周长
17．π+4/4+π
【分析】∠AOB=90°时，CD最大，由求出扇形面积即可．
解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP=180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB=90°时，CD最大，如图：
此时扇形弧长为 ×2π×2=π，
扇形OAB的周长为：π+4，
故答案为：π+4．
【点拨】本题考查扇形弧长计算，解题的关键是掌握∠AOB=90°时，CD最大．
18．
【分析】根据全等三角形的性质，圆周角定理和弧长公式求解即可．
解：如图，连接OQ、OC，∵AB是圆的直径，
∴∠AQB=90°，
∵△BAQ≌△ABC，
∴∠BAQ=∠ABC=25°，
∴∠ABQ=65°，
∴∠CBQ=∠ABQ-∠ABC=40°，
∴∠COQ=80°，
∵AB=6，
∴OC=3
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，圆周角定理和弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
19．（1）外部，理由见分析；（2） 或 ．
【分析】（1）先求出OA，OB，进而根据三角形的面积公式求出 到直线 的距离 ，即可得出结
论；
（2）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P
与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．
解：解（1）令x=0， =
∴ ，
令y=0， =0，解得x=3∴
∴AO=3，OB=
，∠ABO＝30
过 作 D⊥AB,
设 到直线 的距离为 ，
∴d= =
∴原点 在 的外部
（2）如图，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，
在PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴∠APD＝∠ABO＝30 ，
∴在Rt△DAP中，AD＝DP•tan∠DPA＝2×tan30 ＝ ，
∴OD＝OA−AD＝3- ，
∴此时点D的坐标为：（3- ，0）；
当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（3+ ，0）；
综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为： 或 ．【点拨】此题考查了和圆有关的综合题，用到的知识点有一次函数图象上点的坐标的性质、切线的性
质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用．
20．（1）见分析；（2）存在，DG不变，DG=1．
【分析】（1）连接OC交DE于M，证矩形OECD，推出MC=MO，MG=MH即可；
（2）求出OC=DE=3，即可求出答案．
解：（1）证明：连接OC交DE于M，
∵CE⊥OB，CD⊥OA，∠BOA=90°，
∴∠CEO=∠BOA=∠CDO=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴OM=CM，EM=DM，
∵EH=DG，
∴EM-EH=DM-DG，
即HM=GM，
∴四边形OGCH是平行四边形；
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，
∵DG=GH=EH，
∴DG= DE= OC=1，
而CD，CG随着点C的移动而发生变化，
答：DG的长不变，DG=1．【点拨】本题主要考查对矩形、平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能求出MC=MO和MH=MG
是解此题的关键．
21．（1） ；（2） 保持不变，理由见分析
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，然后只需运用勾股定理即可求出线段 的长；
（2）连接 ，如图所示，用勾股定理可求出 的长，根据垂径定理可得 和 分别是线段 和
的中点，根据三角形中位线定理就可得到 ， 保持不变．
（1）解： ，
，
， ， ，
；
（2）解：存在， 保持不变，理由如下：
理由：连接 ，如图所示，
， ，
，
， ，
和 分别是线段 和 的中点，
，
保持不变．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中
位线定理是解决第（2）小题的关键．
22．（1） ；（2） 或
【分析】（1）由 为 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得 的度数．
（2）连接 由勾股定理的逆定理，即可证得 然后由圆周角定理，即可求得答
案．
解：（1） 为 的直径，
，
故答案为： ；
（2）连接
的半径是 ，
又
由勾股定理的逆定理可得
若点 在优弧 上,
若点 在劣弧 上,
∴ 或 ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
23．（1） ；（2） 或 或
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 ，再由 ，可得 ，
再由圆周角定理，即可求解；
（2）分三种情况：当 时，连接 ；当 时，连接 ， ，并反向延长 ，交
于点E；当 时，反向延长 ，交 于点F，连接 ，结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定理，即可求解．
（1）解：在 中，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ；
（2）解：①如图2，当 时，连接 ，
∵ 切 于点P，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②如图3，当 时，连接 ， ，并反向延长 ，交 于点E，
∵ 切 于点P，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
③如图4，当 时，反向延长 ，交 于点F，连接 ，
∵ 切 于点P，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
终上所述， 的度数为 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角内角和定理等知识，熟练掌握圆
周角定理，切线的性质，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）由题意得， ，根据 得 ，根据切线的
性质得 ，即 ，根据题意得 ，则 ，即可得 ，
根据角之间的关系和边之间的关系得 是等边三角形，即可得∴ ，则 ,根据题
意得， ， ，在 中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得， 为等边三角形，可得 ，在中，根据直角三角形的性质得 ，即 ；方法二：连接 ，过点O作 ，
垂足为H，根据题意得，四边形 是矩形，所以 ，根据等边三角形的性质得 ，根
据边之间的关系得CE=OE，根据HL得 ，即可得 ，由此即可得 ．
（1）解：如图所示，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，C为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，垂足为F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为5，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∴在 中， ．
（2） ，证明如下
证明：方法一：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ，
∴ ，
即 ；
方法二：如图所示，连接 ，过点O作 ，垂足为H，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即DE=2EH，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
