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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范
围）问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.正弦定理
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
.（其中 为 外接圆的半径）
（边化角）
（角化边）
2.余弦定理：
3.三角形面积公式：
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB 1
ΔABC 2 2 2 (a+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半) 径
=2
4.三角形内角和定理：
在△ABC中，有 .
5.基本不等式（优先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范
围，求面积或者周长的最值。
二、题型精讲精练【典例1】若 ， ，求 的最大值．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得 ，代入三角形面积公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到 ，结合 的范围，
由正弦型函数值域的求法可求得 的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得： ，
（当且仅当 时取等号）， ，
（当且仅当 时取等号）， 的最大值为 ；
方法二：由正弦定理得： ，
；
， ， ， ，
， 的最大值为 .
【典例2】若 ， ，求 周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．
法二：正弦定理＋辅助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据 可求得 的最大值，结合三角形三边关系可
求得结果；
方法二：利用正弦定理角化边，可将 化为 ，结合 的范围，由正弦型函数值域的求
法可求得结果.解：方法一：由余弦定理得： ，
又 （当且仅当 时取等号）， ，
解得： （当且仅当 时取等号），
又 ， ， 周长 的取值范围为 ；
方法二：由正弦定理得： ，
，
， ， ， ，
即 周长的取值范围为 .
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
2．（2020·全国·统考高考真题） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【题型训练2-刷模拟】
1 . 面积的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
.
(1)求角 ；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求 ABC面积的最小值.
△
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求∠C.
(2)若 ，求 面积的最小值.5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知 的三个内角分别为 、 、 ，其对边分别为 、 、 ，若
．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．
6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，已
知 .
(1)求角 的值；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
7．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，
，D为 边上一点， 平分 ．
(1)求角A；
(2)求 面积的最小值．
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 面积的取值范围．
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值；
(2)若 内切圆的半径为 ，求 面积的最小值.10．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 面积的取值范围．
11．（2023·江西·校联考二模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
12．（2023·广东茂名·统考二模）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 、 在边 上， ，求 面积的最小值.
13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
．
(1)求A；(2)点D在边 上，且 ， ，求 面积的最大值．
15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求三角形ABC面积的最大值．
16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
2 . 周长（边）的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若 ，求c的取值范围．
3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形 中， ，若
， 的面积为 ．(1)求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求BC边上的高AD的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，C= .
(1)当 时，求 的面积;
(2)求 周长的取值范围.
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ．
(1)求角B的大小；
(2)求 的取值范围．
8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在 中，内角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)点 为边 上一点（不包含端点），且满足 ，求 的取值范围．
9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
(1)求B；
(2)若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
11．（2023·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
12．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知 ABC中，C＝ ，角A，B，C的对边分别为
△
a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若 ABC的外接圆面积为π，求 ABC周长的最大值.
△ △
13．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
14．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最大值.
15．（2023·陕西西安·长安一中校考二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知
．
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求△ABC周长的取值范围．
16．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ， ．
(1)若 ，求出 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求边长 的取值范围．17．（2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
