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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 13 三角形中的“四心”问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、三角形的四心定义
外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；
重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
二、三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
重要结论：（1）设点 是△ 所在平面内的一点，则当点 是△ 的重心时，有
或 （其中 为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若 、 、 、 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 、
、 ， ，则有 .
三、三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
重要结论：若点 是△ 的外心，则 或；反之，若 或
，则点 是△ 的外心。
四、三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
重要结论：若点 是△ 的内心，则有 ；反之，若
，则点 是△ 的内心．
五、垂心
三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.
重要结论：若 是△ 的垂心，则 或
，反之，若HAHBHBHCHCHA或
，则 是△ 的垂心．
二、题型精讲精练
【典例1】若 为 的重心（重心为三条中线交点），且 ，则 ___．
【答案】
【解析】在 中，取 中点 ，连接 ，由重心的性质可得 为 的三等分点，且 ，
又 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 .故答案为：【典例2】已知点 是 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足 ，则点 一
定是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 中点为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
又由 为 中点可得点 在 的垂直平分线上，所以点 是 的外心，故选：B
【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足
，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，由 ，可得 ，即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过 的内心.故选：C.
【典例4】设 为 的外心，若 ，则 是 的（ ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】在 中， 为外心，可得 ，
∵ ，∴ ，设 的中点为 ，则 ， ，
∴ ，可得 在 边的高线上．同理可证， 在 边的高线上，
故 是三角形 两高线的交点，可得 是三角形 的垂心，故选：C
【题型训练-刷模拟】
1 . 重心
一、单选题
1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为
O，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得.
【详解】设 分别是 的中点，
由于 是三角形 的重心，
所以 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【分析】根据向量线性关系可得 ，结合 的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【详解】由题设 ，
而 所在直线过 中点，即与 边上的中线重合，且 ，
所以P的轨迹一定通过 的重心.
故选：D
3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在 中，设 ， ，
为 的重心，则用向量 和 为基底表示向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】如图， 为 的重心，延长 交 于点 ，
由题意可知 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的重心，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为 为 重心，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）边长为2的正 中，G为重心，P为线段BC上一动点，则
（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】B
【分析】建立适当的直角坐标系，根据题意求出点 和点 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可
求解.
【详解】如图：以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线所在直线为 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知： ，
因为G为 的重心，所以 ，
因为点 为线段 上一动点，设点 ，
所以 ， ，则 ，
故选： ．
6．（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形 中， 为 的重心，
，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】设 与 相交于点 ，根据 为 的重心，化简得到 ，结合
，求得 和 的值，即可求解.
【详解】如图所示，设 与 相交于点 ，由 为 的重心，
可得 为 的中点，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 .
故选：A.7．（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC的
△
重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【详解】取 中点为 ，
三个式子相加可得 ,
又
,
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，
若 ， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B【分析】设出 的中点 ，利用向量的运算法则化简 ； 据向量共线的充要条件得到
在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ．又 ，
，即 ．
又 ，
点在射线 上．
故 的轨迹过 的重心．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边
交于M，N两点，设x ＝ ，y ＝ ，则 的值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【分析】由向量共线的推论知 且 ，结合已知有 ，
再由重心的性质有 ，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.【详解】由题意 且 ，而x ＝ ，y ＝ ，
所以 ，
又G是△ABC的重心，故 ，
所以 ，可得 ，即 .
故选：A
10．（2023·全国·高三专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满
足： ＝ ，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】取线段BC的中点E，则 ．动点P满足： ， ，则
．即可判断出结论．
【详解】取线段BC的中点E，则 ．
动点P满足： ， ，
则
则 .
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．11．（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在 中，过重心E任作一直线分
别交AB，AC于M，N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到 ，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值.
【详解】在 中，E为重心，所以 ，
设 ， ，（ ， ）
所以 ， ，所以 .
因为M、E、N三点共线，所以 ，
所以 （当且仅当 ，即 ， 时取等
号）．
故 的最小值是3．
故选：C．
12．（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题）在 中， ，G为
的重心，若 ，则 外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求△ABC外接圆的半
径即可解决.
【详解】由 ，可得 ，则有 ，又在 中， ，G为 的重心，则 为等边三角形，
∵ ，则 ，
∴ 外接圆的半径为
故选：C．
13．（2023·全国·高三专题练习）记 内角 的对边分别为 ，点 是 的重心，若
则 的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平向向量的线性运算得到 ，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角
形重心的性质求得 ，从而利用平面向量的数量积运算得到 ，结合余弦定理
整理得 ，从而求得 .
【详解】依题意，作出图形，
因为点 是 的重心，所以 是 的中点，故 ，
由已知得 ，
因为 ，所以 ，
又因为点 是 的重心，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又由余弦定理得 ，所以 ，整理得
，因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 .
故选：D.
.
14．（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点 是 的重心， ，则
（ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可.
【详解】记 ，
因为 是 的重心，
所以 ， ，
因为
所以整理得
所以 ，解得 ，即
故选：A
15．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形ABC的重心，且
，当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得 ，结合 ， 及余弦定理可得
，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
所以当 取最大值时， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性
质和余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.
二、多选题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的重心， ， ，则 的可能取值
为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】CD
【分析】利用重心性质把 用 表示后平方求模，得出其取值范围后可得正确选项．
【详解】如图， 是 的重心，记 ，则 ，
，
又 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．即 ．只有CD满足．
故选：CD．
17．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图， 是 所在平面内
任意一点， 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知， 、 、 分别为 、 、 的中点，
所以， ，同理可得 ， ，
所以， ，A错；
对于B选项，由重心的性质可知 ， ， ，
由A选项可知， ，
所以， ，B对；
对于C选项，由重心的性质可知 ， ， ，
所以，
，C对；
对于D选项， ，
同理可得 ， ，
因此， ，D对.
故选：BCD.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点分别为 ，
，若 ，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【分析】设 ，利用重心的性质，把 用 、 表示，再由 ， ， 三点共线得关于 ，
的方程，再由三角形面积比得关于 ， 的另一方程，联立即可求得实数 的值．
【详解】解：如图， ， ，即 ，设 ，则，
三点共线， ， ，
所以 ， 与 的面积之比为 ， ，
即 ，化简得 ，解得 或3.
故选：BD
三、填空题
19．（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在 中， 为重心，
， ，则 = .
【答案】
【分析】设 中点为 ，根据向量线性表示可得 ， ，然后根据向量数量积的
运算律结合条件即得.
【详解】设 中点为 ，
为 的重心且 ，， ，
因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
20．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边 的重心为O，边长为3，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.
【详解】在等边 中，延长 交 于 ，如图，
因为 为重心，则 ， ，
所以 .
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若
， ，则 .
【答案】3
【分析】先由向量的线性运算求得 ，再由G，D，E三点共线得 ，即可求
得 .【详解】
如图，设F为BC的中点，则 ，又 ， ，
则 ，又G，D，E三点共线，∴ ，即 .
故答案为：3.
22．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为 的重心，
， ，则 .
【答案】
【分析】根据 及余弦定理建立方程得出 ，再由余弦定理求解即可．
【详解】连接AO，延长AO交BC于D，
由题意得D为BC的中点， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，得 .
故
故答案为：
23．（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在 中， ，， ， 为 的重心， 在边 上，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据 为 的重心，得到 ，再由 和 ，利用等面积法求
得 ，进而得到 ，方法一：利用基底法求解；方法二：以 坐标原点， 为 轴， 为 轴建立
平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为 为 的重心，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
在 中， ．
方法一：因为 ，
，
所以 ，
．
方法二：以 坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ，
由方法一可知 ， ，
所以 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的重心，若 ，则
．
【答案】
【分析】注意到结论“ 为 重心，则 ”，不妨创设条件：
，则可得直角三角形，从而可得 .
【详解】因为 为 重心，则 ，
又因为 ，
不妨设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以
故答案为： .
25．（2023·全国·高三专题练习）若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】设 中点为 ，连接 ，可得 ， ，利用平面向量的加法和减法运算得出
， ，由此可得 ，化简得出 ，利用余
弦定理结合基本不等式可求得 的最小值，进而可求得 的最大值.
【详解】设 中点为 ，连接 ，角 、 、 的对边为 、 、 ，
， 为 的中点，所以 ， ，
，即 ，
， ，
可得 ， ，
由余弦定理得 ，当且仅当
时，等号成立，
所以， .因此， 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于
中等题.
2 . 外心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点 是平面 外一点，且 ，则点 在平面 上的射影
一定是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】过点 作 平面 ，因为 ，得到 ，即可求解.
【详解】如图所示，过点 作 平面 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 为 的外心.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知O为锐角三角形 的外心， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求
解即可.
【详解】设锐角三角形 的外接圆的半径为 ，即 ，
，
，显然 是锐角，
因为O为锐角三角形 的外心，所以O在锐角三角形 内部，
由圆的性质可知： ，显然 是锐角，
，或 舍去，
故选：A
3．（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点O为 所在平面内一点，在
中，满足 ， ，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由 ，利用数量积的定义得到 ，从而得到点O在边AB
的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意， ，即 ，
所以 ，则向量 在向量 上的投影为 的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
4．（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在 中，设
，那么动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D【分析】设线段 的中点为 ，推导出 ，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段 的中点为 ，则 、 互为相反向量，
所以， ，
因为 ，即 ，
所以， ，即 ，
即 ，即 ，
所以， 垂直且平分线段 ，
因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必通过 的外心.
故选：D.
5．（山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）在 中，内角
所对的边分别为 ，且 ，点 为外心，则 （ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】C
【分析】结合图形，利用垂径定理得到 ，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果.
【详解】记 的中点为 ，连结 ，如图，
因为点 为 的外心， 为 的中点，所以 ，则 ，
所以
.
故选：C.6．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题） 的外心 满足
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】从 这个条件可以考虑设 的中点为 ，从而得到 三点共线可求.
【详解】设 的中点为 ，则 可化为
即为 ， 三点共线且 ， 为等腰三角形，
由垂径定理得 ，代入数据得 ,
解之： ， .
故选：B.
7．（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点 是 的外心， ，
， ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如图，点O在 、 上的射影是点 、 ，根据数量积的几何意义求出 、 ，
再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律得到 、 的方程组，解得再代入计算可得.
【详解】如图，点O在 、 上的射影是点 、 ，它们分别为 、 的中点．由数量积的几何意义，可得 ， ．
又 ，所以 ，
又 ，
所以 ，即 ．
同理 ，即 ，解得 ．
所以 ．
故选：C.
8．（2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题）在 中， ， ，点 满足
，点 为 的外心，则 的值为（ ）
A．17 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】将 用向量 和 表示出来，再代入 得， ，求出代入即可得出答案.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的外心， ，
，
，
，
同理可得 ，
故选：D.
【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，点 为 的外心，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，再求出 ，得到 ,（1），同理得到
，（2），解之即得解.【详解】由题得 ,
由余弦定理得 ，
所以 ，
因为点 为 的外心，
所以 ,
所以 ,（1）
同理 ,（2）
解（1）（2）得 .
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到关于 的方程，其中一个是根据平面向量的数量积定义得到
方程，另外一个是平面向量的线性运算和数量积的运算得到方程.
10．（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）已知O是 的外心,且满足
,若 在 上的投影向量为 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 得到 点位置,进而得到 是以A为直角顶点的直角三角形,过 向 作
垂线,垂足为 ,连接 ,根据 在 上的投影向量为 ,找出 之间等量关系,进而得到
之间关系,根据直角三角形得到 ,在直角三角形 中,即可求得 .
【详解】解:由题知, ,所以 ,
即 ,所以 三点共线,且 是 的中点,
因为O是 的外心,所以 是圆的直径,
故 是以A为直角顶点的直角三角形,
过 向 作垂线,垂足为 ,连接 ,如图所示:
因为 在 上的投影向量为 ,
所以 在 上的投影向量为:
,
而 ,
则 .
故选:C.
11．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 为 的外心， ， ，
则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】设 的中点为D,E，将 ，变为 ，根据数量积的几何意义可得 ，同理求得 ，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】如图，设 的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故 ，即 ,
即 ，故 ,
，即 ,
即 ，故 ,
故 ,
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 是 的外心 ，若 ，则
（ ）
A． B．3 C．6 D．6
【答案】C
【分析】取 中点H，连接 ，由已知及正弦定理可求 ， ，再根据平面向量的数量积运算求
解即可．
【详解】如图，取 中点H，连接 ，
则 ， ，所以 ，
在 中， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
故选：C．
13．（福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题）已知平面向量 ， 满足
， ，点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 ， 的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出 的值.
【详解】由题意， ，
∵ ，解得： ，
∴两向量夹角 ，
∵ ，
以 为坐标原点, ,垂直于 所在直线为 , 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则 , 设 , 由 , 知 ,
解得 ,∴
又E为 的外心，
∴ ，
∴ 为等边三角形,
∴ ，
∴ ,
∴ .
故选：B.
14．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知O是 的外心，外接圆半径为2，且满足
，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由已知可得 且 ，根据已知投影向量可得 ，进而有 ，
再由 即可得求结果.
【详解】由 ，故 为 中点，又O是 的外心，
易知： ，且 ，
由 在 上的投影向量 ，即 ，所以 ，
由图， .
故选：A
15．（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）在 中,
,O是 的外心,则 的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】取 中点为 ,将 写为 ,展开后,将 作为一组基底,将其他向量写为 的形
式,再将三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正弦定理求出变量范围,求出最大值
即可.
【详解】解:由题知,记 的三边为 ,
因为O是 的外心,
记 中点为 ,
则有 ,
所以
且 ,
所以①,
在 中,由余弦定理得:
,
即 ,
即 ,
代入①中可得:
,
在 中,由正弦定理得:
,
所以 ,
所以 ,
当 时取等,
故 的最大值为3.
故选:C
二、多选题
16．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设点 是 的外心，
且 ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 是正三角形，则
D．若 ， ， ，则四边形 的面积是
【答案】ACD
【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.
【详解】对选项A：因为 ，则 ， ， 三点共线，且点 是 的外心，
所以 ，所以 为 中点，所以 是以 为直角顶点的直角三角形，故A对；
对选项B：因为 ，则 ， ， 三点共线，
易知 是以 为直角顶点的直角三角形，且 为 的中点，则 ， ，故B错；
对选项C：因为 是正三角形，故 ，则 ，故C对；
对选项D：因为 ，故 在 外，又 ，
所以 ，又 ， ，则 ，故D对.
故选:：ACD.
17．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的角平分线
交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得 ，结合平面向量的线性运算求 ；对于C、
D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，
因为 ， ， 为 的角平分线，
可知 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
故A正确，B错误；
分别取 的中点 ，连接 ，可知 ，
因为 为 的外心，则 ，
，
所以 ，
故C正确；D错误.
故选：AC.
18．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，
已知 ， ， 的面积S满足 ，点O为 的外心，满足
，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】已知 ，结合余弦定理化简求得 ，再利用三角形面积公式求出 ，即
可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算 的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再
根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出 和 的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知 ，则 ，
由余弦定理可知 ，所以 ，即
，
等号两边同时平方，可得 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
因为 ，则 ，
，A选项正确；
对于B， ，
因为点O为 的外心，所以 ， ，
则 ，B选项正确；对于C，由余弦定理 ，
由正弦定理 ，则 ，C选项错误；
对于D，因为 ，则 ，
即 ，所以 ①，
同理 ，
即 ，所以 ②，
联立①②，解得 ， ，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
19．（2023·河北·校联考一模）已知O为 的外心，若 ，且 ，则
.
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得 ， ，
故 .
故答案为：
20．（2023·河北·模拟预测）已知 为 的外心， ， ，则 ．
【答案】【分析】由题意画图，然后结合数量积的性质及运算求解即可.
【详解】如图： 分别为 的中点，则
故答案为： .
21．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 为其外心， ，若 ，则
．
【答案】
【分析】设 外接圆的半径是 ，对 两边同时平方，由数量积的公式可求出
，设 ，则在等腰 中，求出 ，再由 求出答案.
【详解】设 外接圆的半径是 ，
．设 ，则在等腰 中， ．
所以 ．
故答案为： .
22．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）已知O是 的外心， ，若
且 ，则 的面积为 .
【答案】 或24
【分析】根据外心特点可知 ， ，利用向量数量积的定义和运算律，结合
可构造方程组求得 ，进而得到 ，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】 为 的外心， ，
， ，
，
即 ；①
，
即 ；②
由 得 ，③
把③代入①②得 ，解得 或 .
又 ，
当 时， ， ；当 时， ， .
故答案为： 或24.
23．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角 的外心， ， ， ，
若 ，则 ．
【答案】
【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得 和 列出方程组求
解即可.
【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．
由数量积的几何意义，可得 ， ．
依题意有 ，即 ．
同理 ，即 ．
将两式相加得 ，所以 ．
故答案为: .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知 是 的外心，且 ，则 ．【答案】
【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得 ， ， ，再求出
， ， ，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】 ，即 ，设 ，
两边同平方得 ，解得 ，
同理可得 ， ，
，
，则 ，
， ，
.
故答案为： .
25．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】设 外接圆的半径为 ，由已知条件可得 ，即 且 ，取 的中点
，连接 可得 ，计算 的值，再由余弦定理求出 ，在 中，
由正弦定理即可求解.【详解】
设 外接圆的半径为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
在 中由余弦定理可得：
，
在 中，由正弦定理可得： ，
故答案为： .
3 . 内心
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则直线 通过
的（ ）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心【答案】D
【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到 在 的角平分
线上，从而作出判定.
【详解】因为 ,∴ ，
设 ,则 ，
又 ，
∴ 在 的角平分线上，
由于三角形中 ,
故三角形的 边上的中线，高线，中垂线都不与 的角平分线重合，
故 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选D.
2．（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）在 中， ，点D，E分别在线段
， 上，且D为 中点， ，若 ，则直线 经过 的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形 为菱形，即可得到 平分 ，从而得到结果.
【详解】
因为 ，且D为 中点， ，
则 ，
又因为 ，则可得四边形 为菱形，
即 为菱形 的对角线，
所以 平分 ，即直线 经过 的内心
故选:A3．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ，O为△ABC的内心，若
，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据三点共线可得 ，结合图像分析运
算．
【详解】如图：圆O在边 上的切点分别为 ，连接 ，延长 交 于点
设 ，则 ，则
设
∵ 三点共线，则 ，即
即
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面上有 及内一点O满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为 ， ， ， ，
因为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点P是△ABC的
内心.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）平面内 及一点 满足 ，则点
是 的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【分析】由 可得 ，
，从而可知 ， 是角平分线，即可得点 的性质.
【详解】解：由 知， ，
即 ，即 ，则 是 的角平分线，
同理 ，即 ，则 是 的角平分线，
则点 是 的内心.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，考查了三角形的“三心”.本题的关键是结合数量积运算得到 ， .在三角形中，中线的交点为重心，角平分线的交点
为内心，高的交点为垂心，三边垂直平分线的交点为外心.
6．（山东省聊城市2021届高三三模数学试题）在 中， ， ， ，M为BC中点，
O为 的内心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，求得内切圆半径，用 表示出 ，而
，从而求得 .
【详解】由题知， ，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径 ，
四边形AEOF为矩形，
则 ，又
则
则 ，则
故选：A
【点睛】关键点点睛：求得内切圆半径，得到 ，从而利用，求得参数值即可.
7．（2023·全国·高三专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件
，则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【分析】由 得 ，即可得 平分 ，
同理证得 平分 ， 平分 ，即可得出答案.
【详解】 且 ， ，
化简得 ，设 ，又 与 分别为 和 方向上的单位向
量，
平分 ，又 共线，故 平分 ，同理可得 平分 ， 平分 ，故
O是△ABC的内心.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，动点M满足 ，则直线AM一
定经过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】B
【分析】延长AC，使得AC=CD，则 ，由 ，得 ，从
而可得AM平分 ，即可得出结论.
【详解】解：延长AC，使得AC=CD，
则 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分 ，
直线AM一定经过 的内心.
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 为三角形所在平面上的一点，且点 满足：
，则 点为三角形的
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【分析】在 上分别取单位向量 ，记 ，则 平分 ，用 表示出
，代入条件所给等式，用 表示出 ，则可证明 三点共线，即 平分 .同理证
得 在其它两角的平分线上，由此求得 是三角形的内心.
【详解】在 ， 上分别取点 使得 ，则 ，作菱形 ，则由
所以 为 的平分线.因为 ，所以，所以
，所以 三点共线，即 在 的平分线上. .同理证得 在其它
两角的平分线上，由此求得 是三角形的内心.，故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量的加法运算，考查三点共线的证明，考查数形结合的数学思想方法，属
于中档题.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若 ，则cos∠BAC = （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则四边形 为菱形，设该菱形的边长为 ，则 ，
表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出 的长，然后转化为等腰三角形处理即可
【详解】解：由 ，设 ，则四边形 为平行四边形，
因为点O是ABC的内心，所以 ，
所以四边形 为菱形，设该菱形的边长为 ，则 ，
因为 ∥ ， ，
所以 的内切圆半径 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 为等腰三角形，
所以 ，
故选：C
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，设O为 的内心，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】通过正弦定理和余弦定理可得 ，通过三角形面积公式可得内接圆半径为 ，进而可得结
果.
【详解】当 时，由正弦定 ，可得 ，
结合 ，由余弦定理 ，解之得 ，若O为 的内心，则设 的内接圆半径为 ，
由 ，可得 ， ，
故 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： .
12．（2023·天津·三模）设 ， ， 是 的三个内角， 的外心为 ，内心为 ． 且
与 共线．若 ，则 ．
【答案】2
【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用 与 共线得到线段的长度关系，用 ，
表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，
则 ， ，
因为 与 共线，所以 ，又因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为：2
13．（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若 为
的内心，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义和三角形的面积公式和余弦定理求 ，证明 为直角三角形，再求内
切圆半径，结合向量运算公式求 .
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 为以 为斜边的直角三角形，
设 的内切圆与边 相切于点 ，内切圆的半径为 ，
由直角三角形的内切圆的性质可得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 .
故答案为： .14．（2023·全国·高三专题练习）已知G为 的内心，且 ，则
．
【答案】 /
【分析】本题利用结论得 ，结合本题的条件与正弦定理得
，即 ，同理得到另外两角相等，则得到 的大小.
【详解】首先我们证明一个结论：
已知 是 所在平面上的一点， , , 为 的三边长，若 ,则 是 的
内心.
证明: ,
则 ,
等式两边同时除以 得，
，
表示 方向上的单位向量，同理 表示 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知表示 的角平分线方向上的向量，
则 为 的角平分线，同理 、 分别为 的角平分线，所以 是 的内心.
于是我们得到本题的一个结论 ．
又∵ ，
∴由正弦定理与题目条件可知 ．
由 可得 ，
可得 ，同理可得 ，即 ．
故答案为： .
【点睛】结论点睛：三角形四心与向量的关系结论：
重心：1.已知 是 所在平面上的一点，若 ,则 是 的重心.
2.已知 是 所在平面上的一点，若 ,则 是 的重心.
垂心：1.已知 是 所在平面上的一点，若 ,则 是 的垂心.
2.已知 是 所在平面上的一点，若
则 是 的垂心.
内心：本题中的结论.
外心：1.已知 是 所在平面上的一点，若 ,则 是 的外心.
2.已知 是 所在平面上的一点，若
,则 是 的外心.
4 . 垂心
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线的三点，若
， 一定是 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】由题意知， 中， ，
则 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
同理， ， ；
所以 是 的垂心.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三
角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被
称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出 ，知CD正误.【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， ，
， ，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中 、 、 两两垂直， 是 在平面 内的射
影，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】连接 ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可以得到 ， ，进而得点
是 垂心.
【详解】解：连接 ，
点 是 在平面 内的射影， 面 ，
面 ， ，
∵ 、 、 两两垂直，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
面 ， 面 ，
面 ， 面 ，面 ， 面 ，
；
∴ 是△ 的高线的交点，记为垂心．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知H为 的垂心， ， ，M为边BC的中点，则
（ ）
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算， ， ，而 ，代入计算即
可．
【详解】由题意 ， ， ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到 ，由
，这样 ＝ ，这两个向量都可以用 表示，这就与已知条件建立了联系．
5．（2023·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且 则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】由 得到 ，从而得到 ，
同理证明即可.
【详解】 ，
得 ，即 ；
，
得 ，即 ；
，
，即 ，所以 为 的垂心.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 、 、 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】计算 的值，可得出结论.
【详解】因为 ，
，，因此，点 的轨迹经过 的垂心，
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知H为 的垂心，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 ， ，利用 、 得 ，
，解得 ， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意， ，同理 ．
由H为△ABC的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ．同理有 ，
即 ，可知 ，
即 ，解得 ，
，又 ，
所以 ．
故选：C．8．（2023·全国·高三专题练习）设 是 所在平面上一点，点 是 的垂心，满足
，且 ，则角 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的减法运算可得 ，从而可得 ，设点 是边 的
中点，即 ，进而点 在边 的中垂线上，即点 是 的外心，利用向量的数量积求出
的值，从而可得角 的大小.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ， ，
即 （点 是边 的中点），所以点 在边 的中垂线上.
同理点 在边 的中垂线上.因此点 是 的外心.
设 外接圆的半径是 .
.
故选：D
【点睛】本题考查了向量的减法、向量的加法以及向量数量积的定义，属于中档题.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 内任意一点，若满足 ，则称 为 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若 ，则点 为 的重心；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ，则点 为 的垂心；
④若 ， ， 且 为 边中点，则 ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】设 中点为 ，由已知等式可得 ，由重心性质可知①正确；取 中点 ， 中点
，由已知等式可得 ，则可得 与 到直线 距离之比，由此可知②正确；由
可得 ，即 ，同理得 ， ，由垂心定义知③正确；由
已知等式可得 ，由此知④正确.
【详解】对于①，当 时， ；
设 中点为 ，则 ，即 ，
为 的重心，①正确；
对于②，当 ， ， 时， ， ，
取 中点 ， 中点 ，
， ， ，即 ，
到直线 距离 与 到直线 距离 之比为： ，即 ；又 为 中点， 点 到直线 距离 ， ，
，即 ，②正确；
对于③，由 得： ，
，同理可得： ， ，
为 的垂心，③正确；
对于④，当 ， ， 时， ， ，
又 为 边中点， ，
又 ， ， ，④正确.
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）若 是 的垂心，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用垂心的性质，连接 并延长交 于 ，得到 ，把已知条件中的式子化简，得到
，再两边同乘以 ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到
，再把 化为 ，整理后得到 值.【详解】在 中， ，
由 ，
得 ，
连接 并延长交 于 ，
因为 是 的垂心，所以 ， ，
所以
同乘以 得，
因为 ，所以 ，
由正弦定理可得
又 ，所以有 ，
而 ，
所以 ，
所以得到 ，
而 ，所以得到 ，
故选：C.二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
【答案】BCD
【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、
D的结论．
【详解】解：对于A：给定的 ，其外心为 ，所以 ，
故A不正确；
对于B：因为 为给定的 的垂心，故 ，
即 ,
解得： ,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有 ， ，所以
，故C正确；
对于D：由于点 在 的平分线上， 为单位向量，所以 与 的平分线对应向量共线，所以存在实数 使 ，故D正确．
故选：BCD．
12．（2023·全国·高三专题练习）点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点O为 的重心
B．若 ，则点 为 的垂心
C．若 ，则点 为 的外心
D．若 ，则点 为 的内心
【答案】AC
【分析】运用平面向量共线向量定理即可判断A选项，对于其它选项运用平面向量数量积的运算律及性质
逐一判断即可.
【详解】对于A，设边 、 、 的中点分别为 、 、
,则 ，所以
所以 、 、 三点共线，即点 在中线 上，同理点 在中线 上，
则 是 的重心.故A正确
对于B，若 ，则 ，所以
所以 为 的外心，故B错误
对于C，设边 、 、 的中点分别为点 、 、 ，
则 ,所以 为线段 的中垂线，
同理 、 分别为线段 、 的中垂线，所以 是 的外心，故C正确
对于D，由已知， ，
即 垂直 ，也即点 在边 的高上；同理，点 也在边 的高上，
所以则 是 的垂心，故D错误.
故选：AC
13．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在 所在的平面上存在一点 ，，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的重心
D．若 ， ，则点 的轨迹一定过 的外心
【答案】ABD
【分析】由 ，结合向量共线的推论判断 的轨迹，讨论 形状判断A、B正误；根据重心的性
质得 判断C；根据题设确定 ， ， 点的轨迹，讨论 形状判断D.
【详解】若 ，根据向量共线的推论知： 共线，即 在直线 上，
中 ，则 的中点为三角形外心，故 有可能为外心，A错；
中 或 ，则 或 为三角形垂心，故 有可能为垂心，B错；
若 为 的重心，必有 ，此时 ，C对；
若 ， ，结合 ，则 点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形
内（含边界），
为锐角三角形，其外心在 内，则 必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则 必过外心；
为钝角三角形且 ，其外心在 外，即边 的另一侧，
如下图示， 点在平行四边形 内（含边界），
此时，当外心在 内（含边界），则 必过外心；当外心在 外（如下图 为 的中垂
线），则 不过外心；所以， ， ， 的轨迹不一定过 的外心，D错.
故选：ABD
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若
，则 .
【答案】
【分析】由题可得 ， ，利用 ， 得
， ，可得 ， 再利用平方关系结合条件即得.
【详解】因为 ，
所以 ，同理 ，由H为△ABC的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ，
同理有 ，即 ，可知 ，即 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ．
故答案为： .
