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专题 3 用导数研究函数的极值
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的
重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极
值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.
二、解题秘籍
(一) 求函数的极值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的
左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的
左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x 处取极大值；如果左负右
0 0
正,那么f(x)在x 处取极小值.
0
3.对极值理解：
(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的 函
数没有极值．
(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x)比在点x 附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对
0 0
应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x)比在点x 附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小
0 0
值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也
可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定
比极小值大；
(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋
∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x)＝0,则x 不一定是极值点,即f′(x)＝0是f(x)在x＝x
0 0 0 0
处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；
(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之
间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且
有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
【例1】(2024届四川省叙永第一中学高三上学期入学考试) 已知函数 ,其中 , .
(1)当 时,求函数 的极值；
(2)若方程 恰有两个不相等的实数根,求 的取值范围.
【解析】（1）当 时, , .
, 当 时, ；当 时, .
函数 单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
的极小值为 ,无极大值.
（2） , ,由方程 ,得 ,
令 ,则 .
令 ,则 .
当 时, ；当 时, .
函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
, 方程 有唯一解 .
方程 有两个不等的实数解等价于方程 有两个不相等的实数解.
等价于方程 有两个不相等的实数解.
构造函数 ,则 .
, 当 时, ；当 时, .函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
, ； , .
只需要 ,即 .
构造函数 ,则 .
当 时, ；当 时, .
函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
, 当 时, 恒成立.
的取值范围为 .
(二)函数极值点的个数问题
可导函数 的极值点的个数,通常转化为方程 实根个数,再根据 的单调性或图象求解,求解
时要注意 是 的必要不充分条件.可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的
变号零点,即 ,且在 左侧与右侧, 的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数 ,
在极小值点 是不可导的.
【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数 .
(1)当 时,求 的单调区间；
(2)求证：当 时,函数 有三个不同的极值点.
【解析】（1）当 时, ,
,所以在区间 单调递增,
在区间 单调递减.
所以 的增区间为 ；减区间为 .
（2）依题意 ,
,
对于函数 ,
,
所以 有两个零点,设为 ,则 ,
不妨设 ,
所以在区间 单调递减；
在区间 单调递增,
所以 有三个不同的极值点 .
(三)由函数极值点个数确定参数范围
此类问题一般是先把问题转化为 实根个数问题,可借助图象分析,若 可化为二次方程问题,
可利用二次方程根的分布求解.
【例3】（2024届福建省龙岩市上杭县高三第一次月考）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 有两个极值点 、 ,且 .（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： .
【解析】（1）解：因为 ,该函数的定义域为 ,且 .
①当 时,对任意的 , ,则函数 的增区间为 ；
②当 时,由 可得 ,由 可得 或 ,
此时,函数 的减区间为 ,增区间为 、 .
综上所述,当 时,函数 的增区间为 ；
当 时,函数 的减区间为 ,增区间为 、 .
（2）解：（i） 有两个极值点 、 ,
则 ,令 ,可得 ,
由题意可知,直线 与函数 的图象有两个公共点（非切点）,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以,函数 在 上为增函数,
当 时, ；当 时, .
所以,函数 的减区间为 ,增区间为 .
所以,函数 在 取得最小值,即 ,如下图所示：由图可知,当 时,即当 时,直线 与函数 的图象有两个公共点（非切点）,
且当 或 时, ,此时函数 单调递增,
当 时, ,此时函数 单调递减,
故当 时,函数 有两个极值点.
因此,实数 的取值范围是 ；
证明：（ii）因为 ,由（i）可知 ,
且函数 的增区间为 、 ,减区间为 ,
令 ,其中 ,
则 ,令 ,
则 ,
所以,函数 在 上为增函数,故当 时, ,
因为 ,则 ,
又当 时, ,因为 、 ,则 ,
所以, .
(四)含参数的函数极值的讨论
求含参数函数 的极值,通常转化为不等式 或 的解集问题,求解时要注意对参数进行分
类讨论.
【例4】（2023届河南省郑州市等3地高三下学期6月冲刺卷）函数 ,
．
(1)讨论 的极值的个数；
(2)若 在 上恒成立,求a的取值范围．
【解析】（1） 定义域为 ,
,令 ,
当a＝0时, , 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 有一个极大值；
当 时,① , 为图象开口朝下的二次函数, ,
∴ 的两根为 ,显然 , ,
∴ 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 有一个极大值；
② ,可知 ,∴ 在 , 上单调递增,
在 上单调递减．所以 有2个极值,一个极大值,一个极小值；
③ 时,可得 ,∴ 在 上单调递增,所以 无极值．
综上所述,当 时, 有一个极大值；
当 时, 有一个极大值,一个极小值；当 时, 无极值．
（2）设 , , ,
∴ ,
∴ ,两边同时取倒数 ,
∴ ,∴ ,
又∵ ,∴ 即可,由 ,可得 ,
设 , ,
∴设 , ,
∴ ,∴ ,∴ 单调递减,
∴ ,∴ ,
∴a的取值范围为 ．
(五)由极值点满足条件求解不等式问题此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等
式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.
【例5】（2023届上海市曹杨第二中学高三模拟）已知函数 ．
(1)若 是定义域上的严格增函数,求a的取值范围；
(2)若 , ,求实数a的取值范围；
(3)设 、 是函数 的两个极值点,证明： ．
【解析】（1）依题意, .
若 是定义域上的严格增函数,
则 对于 恒成立,即 对于 恒成立,
而 ,当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以 ,即a的取值范围为 ；
（2）由（1）知 .
①当 时,在 上 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,所以 不符合题设.
②当 时,令 ,得 ,解得 , ,
所以当 时 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,所以 不符合题设.
③当 时,判别式 ,所以 ,所以 在 上单调递增,所以 .
综上,实数a的取值范围是 .
（3）由（2）知,当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 是 的极大值点, 是 的极小值点.
由（2）知, , ,则 .
综上,要证 ,只需证 ,
因为
,
设 , .
所以 ,
所以 在 上单调递增,所以 .
所以 ,即得 成立．
所以原不等式成立.
【例6】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）已知函数 , .
(1)若经过点 的直线与函数 的图像相切于点 ,求实数a的值；(2)设 ,若 有两个极值点为 , ,且不等式 恒成立,
求实数 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ,
由 ,得 ,则 ,
因为经过点 的直线与函数 的图像相切于点 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
（2） ,则 ,
因为 有两个极值点为 , ,
所以 在 上有两个不同的根,
此时方程 在 上有两个不同的根,
则 ,且 ,解得 ,
若不等式 恒成立,则 恒成立,
因为
不妨设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 在 上递减,所以 ,
所以 ,
即实数 的取值范围为 .
三、典例展示
【例1】（2023届海南省文昌中学高三模拟预测）已知函数 .
(1)若 存在两个极值点,求实数 的取值范围；
(2)若 ,且 在 上有两个极值点 ,求证： .
【解析】（1）由函数 ,可得 ,
因为 存在两个极值点,即方程 有两个不等实根,
即方程 有两个不等实根,
所以 ,解得 ,所以实数 的取值范围为 .
（2）由 ,
可得 ,
因为 在 上有两个极值点 ,即 是方程 的两个根,
令 ,则满足 ,解得 ,
因为 ,且
由,
将 代入上式,可得 ,
根据题意,只需证 ,
令 ,其中 ,
可得 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,即 ,
即当 时, ,所以 .
【例2】（2023届甘肃省张掖市高三下学期第四次模拟）已知函数 , 为 的导函
数．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时, ,求k的取值范围．
【解析】（1） ,记 ,则 ．
①当 时, , 在R上单调递减,故 无极值．
②当 时,令 ,得 ,
当 时, , 单调递增；
当 时, , 单调递减．
所以 在 处取得极大值,且极大值为 ．
综上所述,当 时, 无极值；当 时, 的极大值为 ,无极小值．（2） 可化为 ,
当 时, ,此时可得 ；
当 时,不等式 可化为 ,
设 ,则 ,
设 ,则 ,
所以 单调递增,所以当 时, , ,
当 时, , ,
所以函数 在 和 上都为增函数,
取 ,则 ,
设 ,
则当 时, ,
所以 在 上单调递增,
所以当 时, ,
所以当 时, ,
所以 的最小值为 ,即 ,
所以当 和 时, 没有最小值,但当x趋近－1时, 无限趋近 ,
且 ,又 恒成立,所以 ,所以 ．
综上,k的取值范围为 ．
【例3】（2023届安徽省亳州市第一中学高三最后一卷）已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 ,方程 有两个不同的实根 时,且 恒成立,求正数 的取值范围.
【解析】（1）由题可得 设 , ,
①当 时, 递增,且 ,所以 有
一个变号零点,
②当 时, 在 上递增,在 上递减,且 ,
[1]当 时,即 时,所以 无变号零点；
[2]当 ,即 时, ,
由 取 ,则 ,所以 有两个变号
零点；
综上：当 时,有1个极小值点,无极大值点；
当 时,有1个极小值点和1个极大值点；
当 时,无极值点.（2） 时, 即 即 有两个不同的根 ,
, ,
,
即 ,即 ,
.
下证 对 恒成立,
设 ,
①当 时, ,
；
②当 时, ,
使得 时, ,所以在 上, ,在 上, ,不存在 使不等式成
立；
综上： .
【例4】（2024届湖南省部分重点学校高三上学期入学摸底考试）已知函数 , ．(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 存在极值点 ,且 ,求 的值,并分析 是极大值点还是极小值点．
【解析】（1）当 时, , ,
,又 ,
在 处的切线方程为： ,即 .
（2） , ,即 ①；
, ,
, ,又 , ,即 ,
, ,代入①式得： ,
令 , ,则 ,
当 时, ；当 时, ；
在 上单调递减,在 上单调递增, ,
有唯一解 ,此时 ；
当 时, , ,
令 ,则 ,令 ,解得： ,
当 时, ；当 时, ；在 上单调递减,在 上单调递增,
又 , , ,
当 时, ,即 ；当 时, ,即 ；
在 上单调递减,在 上单调递增,
是 的极小值点.
四、跟踪检测
1.（2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时, 有解,求 的取值范围．
2．（2024届山西省吕梁市高三上学期质量检测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的两个极值点分别为 , ,证明： ．
3．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时,求函数 的极值.
4．（2024届辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体高三第一次摸底）已知函数
．(1)当 时,求证 ；
(2)令 ,若 的两个极值点分别为 ,求证： ．
5．（2024届江苏省镇江中学高三上学期学情检测）已知函数 .
(1)当 时,判断 的单调性；
(2)当 时,记 的零点为 的极小值点为 ,判断 与 的大小关系,并说明理由.
6．（2024届湖南省衡阳市高三上学期8月测试）已知 , .
(1)证明：当 , 有且只有2个零点；
(2)讨论是否存在 使 有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整,有明确的结论）
7．（2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期开学联考）已知函数
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 是 的极大值点,求 的取值范围.
8．（2023届西藏昌都市第一高级中学高三高考全真仿真考试）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)若 为函数 的极值点,求证： ．
9．（2023届四川省绵阳市测试）已知函数 ．
(1)若 在 上存在单调减区间,求实数 的取值范围；
(2)若 在区间 上有极小值,求实数 的取值范围．
10．（2024届广东省华南师范大学附属中学高三上学期开学测数）已知函数
(1)当 时,函数 在 上有极小值,求实数 的取值范围(2)若 , ,证明
11．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考）已知函数 .
(1)证明： 有唯一的极值点；
(2)若 恒成立,求实数a的取值范围.
12．（2024届贵州省高三上学期入学考试）定义函数 ,其中 ．
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：在区间 上, 有且只有两个不同的极值点．
