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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为
首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首
项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通
项整理可得法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便
可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化
为第一种形式便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型第一种形式的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为累加法，求出 之后得 ．
二、题型精讲精练
【典例1】在数列 中， ， .求 的通项公式.
【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】因为 ，
所以当 时，
，
又 适合上式，所以 .
【典例2】已知数列{a }，a =1，(n＋1)a ＝na ，求通项公式a .
n 1 n+1 n n
【答案】a ＝
n
【分析】由题得 ＝ ，再利用累乘法求解.
【详解】∵(n＋1)a ＝na ，，∴ ＝ .
n+1 n
∴ ＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得 .∵a ＝ (n≥2)
n
又a ＝1满足上式，∴a ＝ (n∈N*)．
1 n
【典例3】已知数列 中， ，且对任意 ，都有 ．求数列 的通项公式；【分析】(1)构造等比数列求通项；
【详解】（1）由 得
又 ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以
.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次放缩可得
出 ．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题
目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
二、解答题3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
【题型训练2-刷模拟】
1 . 累加法
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.
【详解】解：因为 ，则 ，
，
，
，
累加得 ，
所以 .
当n=1时也成立
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 得 ，∴
，∴ ，当 时也符合，∴数列的通项公式为 .故选
C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【分析】根据题意利用累加法求解即可
【详解】因为数列 满足 ， ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先把 ，利用累加法和裂项相消法可求答案.
【详解】因为 ，所以 ，则当 时， ，
将 个式子相加可得 ，
因为 ，则 ，当 时， 符合题意，
所以 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 且 ，则数列 的第100项为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B【分析】直接用累加法求解即可．
【详解】解：由题意，因为 ，
所以 ，
，
，
以上99个式子累加得 ，
．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用累加法求得 的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.
【详解】解：当 时，由累加法可得：
，
所以 （ ），
又因为 ，所以 （ ），
当 时， ，符合，
所以 （ ），
所以 ，
所以 ．
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4043
【答案】B
【分析】先由 得到 ，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， ，
， ，
累加，得 ，
即 ，即 ，n=1成立则 .
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：在数列 中，
故选A.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
【答案】A
【分析】由所给表达式 ，结合累加法可求得 的通项公式；
进而求得 的表达式，因为 取正整数，利用最低点附近的 求 的最小值．
【详解】因为 ，所以由递推公式可得当 时，等式两边分别相加，得
，
因为 ，则 ，而 满足上式，
所以 ，
即 , ，
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,又因为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 的最小值为 ，
故选: .
二、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，则数列 中最大项的数值为
．
【答案】10
【分析】利用累加法，求出 是一个二次函数类型的数列，通过二次函数的最值求解即可
【详解】当 时，，
所以当 时，数列{ }中最大项的数值为10.
故答案为：10.
11．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，则 = .
【答案】
【分析】利用累加法和等比数列的前 项和公式直接求通项即可.
【详解】因为数列 满足 ， ，
所以当 时，
.
所以 ， ，
因为 ，也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ，
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则数列
的前100项的和为 .
【答案】
【分析】先根据累加法求出数列 的通项公式，然后利用裂项求和进行求解.【详解】由 ，则 ， …… ，于是
，则 ，
故数列 的前 项的和为： .
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均不为零，且满足 ， （ ，
），则 的通项公式 ．
【答案】
【分析】变换得到 ，设 ，得到 ，利用累加法计算得到答案.
【详解】 ，则 ，
设 ， ，则 ，
，
而 也符合该式，故 ，故 .
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， 且 ，则 .【答案】100
【分析】先裂项，然后由累加法可得.
【详解】∵ ，∴
∵ =9，即 =9，解得n=100
故答案为：100
三、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为 ，公差为2.数列 满足
(1)求 取得最小值时 的值；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；
（2）利用裂项求和法结合条件即得.
【详解】（1）由 ，得 ，
累加可得： ，
所以 ，
显然 取最小值时， 的值为2.
（2）若 ，则 ，即 ，所以
显然 时， ，
可得 .
16．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列 中， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 得 ，然后利用累加法求出 即可得证；
（2） ，利用分组求和法和错位相减法可得答案.
【详解】（1）由 得 ，
∴ ，
，
⋯⋯，
，∴ ，
∴ ， ， ,
∴数列 是等比数列；
（2）由（1）可得 ，
∴ ，
令 ，①
∴ ，②
错位相减，②﹣①，得：
，
∴ .
17．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2) 且
【分析】（1）由 ，利用累加法求数列通项公式，注意验证 ；（2）由题设得 ，讨论 的奇偶性分别求出对应前n项和即可.
【详解】（1） ，
当 时
，检验知：当 时上式也成立，
故 ．
（2） ．
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， 且 ，
又 时 满足上式，此时 ；
且 .
18．（2023·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最
简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方
形的摆放规律相同)，设第 个图形包含 个小正方形.
(1)求出 ；
(2)归纳出 与 的关系式，并根据你得到的关系式求 的表达式；(3)求证： .
【答案】(1)41
(2) ，
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据图形中小正方形排列规律可得；
（2）先对已知的前几个图形中小正方形个数作差（后一个减去前一个），从而找出规律，进而归纳出
，然后利用累加法求出 ；
（3）根据 的特点，利用裂项相消法求和，进而证出不等式.
【详解】（1）∵ ， ， ， ，
∴ .
（2）∵ ， ， ， ，
，
∴ ， ，
， ， ，
以上各式相加得 ，
∴ ，
又 时， 也适合 ，
∴ .
（3）当 时， ，，
∴ .
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列 的前n项和为 ，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设函数 ，且 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列 的通项公式；
（2）由条件可得 ，利用错位相减法求数列 的前n项和 .
【详解】（1）由 ，可得 ，
当 时， ，
以上各式分别相加得 ，又 ，
所以当 时， ，
经检验 符合 ，所以 ， ；
（2） ，
，
，
两式相减得：
，
所以 ，
故 ，
所以 .
20．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的
前 项的和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件证明数列 为等比数列，利用累加法求数列 的通项公式；
（2）数列 中在 之前共有 项，由此确定前 项的值，再分组，结合等
比求和公式可求得答案.【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以数列 为首项为1，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以当 时，
，
所以 ，
所以当 时， ，又 也满足该关系，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）数列 中在 之前共有 项，
当 时， ，当 时
2 . 累乘法
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】通过累乘法可求出 ，再利用递推式求出 ，进而答案可求.【详解】解： ，
，∴
∴ ， ，∴ ，∴ ，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则数列 的通项公式是
（ ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，再利用累乘法计算可得；
【详解】由 ，得 ，
即 ，
则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， （ 为正整数），则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出 ，进而可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 ，又由 ，后由累乘法可得答案.
【详解】注意到 ，则当 时，
.
故 .
故选：B
5．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列 满足 且
，则满足不等式 的最大正整数 为（ ）
A．20 B．19 C．21 D．22
【答案】A【分析】由题意利用累乘法可得 ，解不等式 即可得解.
【详解】 ,
当 时， ，
，
当 时， ， ，
又 ， ，解得 ，
又 ，故所求 的最大值为 .
故答案为：A.
【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为
．
【答案】
【分析】根据累乘法求出当 时的通项公式，并验证 也满足，从而得到 的通项公式.
【详解】因为数列 满足 ， ，则 ，
所以，当 时， ，
也满足 ，所以，对任意的 ， ．
故答案为：7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，若 ， ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】将 变为 ，利用累乘法即可求得答案.
【详解】由题意知 ，故 ，
故
，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，
则通项 ．
【答案】
【分析】当 时， 与 两式相减，
可得出 ，再由累乘法计算即可得出答案.
【详解】由题意得： ①，
当 时， ，
当 时， ②，
① ②得： ，所以 ， ， ， ，…， ，
累乘得 ，当 时， 不满足 ，
则 ．
故答案为： .
三、解答题
9．（2023·浙江金华·校考三模）已知等差数列 的各项均为正数， ， .
(1)求 的前 项和 ；
(2)若数列 满足 ， ，求 的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质得到 ，根据等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的前
项和公式进而求解；
（2）结合（1）的结论得到 ，进而得到 ，利用累乘法求出 .
【详解】（1）等差数列 中，因为 ，所以 ，
又因为等差数列 的各项均为正数.所以 ，
又因为 ，所以 .所以 .
（2）由（1）得 ，因为 ，且 ，所以 ，
所以 .
所以 .
所以 .
当 时也符合.
所以 的通项公式为 .
10．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 得 ，再根据累乘法可求出 ；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，
又 时， 也符合，
所以 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 .
11．（2023春·山西吕梁·高二统考阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)若 是等比数列，且 成等差数列，求 的通项公式；
(2)若 是公差为2的等差数列，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）设 的公比为q，由题意列式求得q，再结合已知可得 ，即可求得答案；
（2）由已知求得 的通项公式，可得 ，利用累乘法求得 的表达式，再用裂项求和法证明
结论.
【详解】（1）设 的公比为q，由于 成等差数列，
故 ，而 ，故 ，
解得 ，
由 ，得 ，
即 是等比数列，且 ，故 ；
（2）证明： 是首项为1，公差为2的等差数列，故 ，
由 ，得 ，
故
，
又 符合上式，
故
.
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系，结合累乘法即可求出数列 的通项公式；
（2）分 和 利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由 ，则 ，
两式相减得： ，
整理得： ，
即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式．
故 ．
（2）由（1）可知： ．
记 ，设数列 的前 项和 ．
当 时， ；
当 时，综上：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系化简，可得 ，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出 ，再由累乘法求解.
【详解】（1）由 ，得 ．
所以 ，
即 ，整理得 ，
上式两边同时除以 ，得 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知， ．
所以 ．所以 ．
3 . 构造法
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）在数列 中， ，且 ，则 的通
项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，即可得到 是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比
数列的通项公式计算可得；
【详解】解：∵ ，∴ ，
由 ，得 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ，即
．
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析得到数列 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列 的通项即得
解.
【详解】所以 所以数列 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中, , ,则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
【答案】B
【分析】根据 变形整理为 ,再求出 ,根据等比数列的定义即可选出
选项.
【详解】解:由题知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 是等比数列,
且首项为4,公比为2.
故选:B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的前10项
和 （ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法求和即
可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴数列 的前10项和 ．
故选:C．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【分析】根据 与 的关系，可推得数列 是等比数列，进而得出 的表达式，即可求出 ，
代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为 ，即 .当 时， ，即 ；
当 时， ，
所以 ，
所以 .
又 ，
所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，求出 的值，令 ，由 得出 ，两式作差推导出
，可知数列 是等比数列，确定该等比数列的公比和首项，进而可求得 的值.
【详解】当 时， ，解得 ；
当 时，由 可得 ，上述两式作差得 ，所以， ，
设 ，可得 ，可得 ，解得 ，
所以， ， ，可得 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以， ，因此， .
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现 时，构造等差数列；
（2）当出现 时，构造等比数列；
（3）当出现 时，用累加法求解；
（4）当出现 时，用累乘法求解.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可得到 是 为首项， 为公比的等比数列，从而求出数
列的通项公式.
【详解】因为 ，
设 ，即 ，根据对应项系数相等则 ，解得 ，故 ，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， ，则 ．
【答案】
【分析】先两边取倒数，再构造等差数列即可求解．
【详解】由 ， ，可得 ，
所以 ，即 (定值)，
故数列 以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
9．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为
.
【答案】 ．
【分析】已知式两边同除以 ，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，若 ，则正整数
的值为 .
【答案】8
【分析】推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的通项公式，进而可
得 ，解方程 即可得解
【详解】因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，即 ，可得 ，
对任意的 ，所以 ，等式两边取倒数可得 ，则 ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为1，
所以 ，故 ，
由 可得 .
故答案为：8.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项
公式 ．【答案】
【分析】利用条件构造数列 ，可得数列为等差数列即求.
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ．又 ， ，
∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，
∴数列 的通项公式 ．
故答案为： .
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则 的通
项公式是 ．
【答案】
【分析】由题意可证得 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 ，再由 与 的关系求
出 的通项公式
【详解】 ， ，且 ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
， ．时， ，
且 不满足上式，所以 ．
故答案为： .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】设 ，令 得： ，解得： ；
，化简得， ，
所以 ，从而 ，
故 ，
又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
从而 ，故 ．
故答案为：
三、解答题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)求证：数列 是等比数列；(2)若 ， 为数列 的前n项和，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【分析】（1）根据递推公式证明 为定值即可；
（2）先由（1）求得数列 的通项，从而可得数列 的的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 是以 为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，故 ，
所以 ，
故 ，
则 ，
两式相减得
，
所以 .
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知数列 ，且 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.
（2）由（1）及已知，利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）因为数列 满足 ，则 ，
因此数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，即 ，则 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
则 ，
于是有 ，
两式相减得 ，
所以 .
16．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .
(1)求证： ；
(2)令 ，写出 、 、 、 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 .
【答案】(1)证明见解析(2) ， ， ， ，
【分析】（1）假设 ，根据已知条件得出 ，解得 ，结合题设条件推出矛盾，即可证得
原结论成立；
（2）根据递推公式可写出 、 、 、 的值，由此可归纳出数列 的通项公式，然后通过递推公式
得出 ，可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列 的
通项公式.
【详解】（1）证明：假设 ，因 ， ，则 ，解得 或 ，
于是得 或 ，与题设 且 矛盾，故假设不成立，所以 成立.
（2）解：因 ， ， ，
则 ， ， ，
，
显然有 ， ， ， ， ，
猜想 ，
由 得 ，即 ，又 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，则 ，所以 .
17．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得数列 为常数列，可数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和.
【详解】（1）由 ，得 ，所以数列 为常数列，有 ，
∴
（2） ，
，
，
两式相减， ，
所以
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由 构造出 ，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出 的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
【详解】（1）由已知， ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，①，
又∵由第（1）问， ，②，
∴② ①得， ，∴存在 ， ，两个等比数列 ， ， 使得 成立．
19．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）令 、 及三个数成等差数列列方程组求解即可.
（2）运用数列通项 与其前n项和 关系并构造数列可求得 的通项公式.
【详解】（1）因为 ，
所以令 得： ，即： ①，
令 得： ，即： ②，
又因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ③，
将③代入①②可得 ，即
由①②③得： ， ，故 的值为1.
（2）因为 ，
当 时， ，
两式作差可得： ，所以 ， ，
由（1）知， ，
所以 ，
即： ， ，
将 代入 得： ，符合，
综上， .
故数列 的通项公式为 .
20．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 求出首项及 ，构造法求出通项公式；
（2）求出 ，从而利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ．
可得 ，整理得： ，
从而 ，
又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列；
所以 ，
所以 ，经检验， 满足 ，
综上，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，所以 ，
，
所以
