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特训01 丰富的图形世界（难点，压轴）
一、单选题
1．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
【答案】D
【解析】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7
个、8个、9个或10个.
故选D.
2．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要 个小立方块，最少要 个
小立方块，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由左视图和俯视图可得，如图所示：
第1个图最多共有6+1＝7个，第2个图最少有3+1+1＝5个，故x=7，y=5,所以x+y=12．
故答案是12．
3．如图所示，每个小立方体的棱长为1，按如图所示的视线方向看，图1中共有1个1立方体，其中1个
看得见，0个看不见；图2中共有8个立方体，其中7个看得见，1个看不见；图3中共有27个小立方体，
其中19个看得见，8个看不见；…，则第11个图形中，其中看得见的小立方体个数是（ ）
1A．271 B．272 C．331 D．332
【答案】C
【分析】根据图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,
图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
归纳出变化规律:
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,将第11个代入即可求解.
【解析】图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,
图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,
所以则第11个图形中,其中看得见的小立方体有113-103=331个,
故选C.
【点睛】本题主要考查图形变化规律,解决本题的关键是要通过题目条件进行归纳找出图形变化规律.
二、解答题
4．一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，
这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？
【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体
2【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论．
【解析】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：
最多有： （个），
最少有： （个），
即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体．
【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题
型．
5．在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，
小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图
2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是___________；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影
表示出其余缺失部分，并标出边的长度．
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是________cm；请你在图方格中画出小刘的
模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形．
3【答案】（1） ；（2）5；（3）①见解析；②72，图见解析
【分析】（1）根据正方体由12条等长的棱即可计算．
（2）根据立体图形求出小刘的模型的棱长之和，再根据题意即可列出关于a的方程，求出a即可．
（3）①由题意可知另两个阴影再第一行和第三行第一个正方形内，再根据所给出的阴影，画出在第一行
和第三行第一个正方形内的阴影即可．
②展开图周长最长时，此时有12个5cm的边在展开图的最外围，画出此时的展开图，计算即可．
【解析】（1）12×a=12acm
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为
（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长
之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）①如下图
4②如下图，此时展开图的周长
【点睛】本题考查正方体及其平面展开图，掌握正方体的几种展开图是解答本题的关键．
6．如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出
大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有
错误，请予修正．
【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解
析
【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；
（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；
（3）根据展开图判断即可．
【解析】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a
＝b
故答案为：a＝b；
（2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比m
正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的；
5（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示．
【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是
抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量．
7．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
面数（ ） 顶点数（ ） 棱数（ ）
图1
图2
图3
（2）猜想三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）2020
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出 ．
（3）代入 求出即可．
【解析】解：（1）
面数（ ） 顶点数（ ） 棱数（ ）
图1 7 9 14
6图2 6 8 12
图3 7 10 15
（2）猜想： ；
（3） ， ，
，
，
即它的面数是2020．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
8．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个
无盖的长方体盒子．请回答下列问题：
（1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；
（2）如果设原来这张正方形纸片的边长为 ，所折成的无盖长方体盒子的高为 ，那么，这个无盖
长方体盒子的容积可以表示为 ；
（3）如果原正方形纸片的边长为 ，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取
时，计算折成 的无盖长方体盒子的容积得到下表，由此可
以判断，当剪去的小正方形边长为 时，折成的无盖长方体盒子的容积最大
剪去的小正方 形的边长
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折成的无盖长
方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0
7【答案】（1）相等；（2）h（a-2h）2；（3）3
【分析】（1）根据图形作答即可；
（2）根据长方体体积公式即可解答；
（3）将h=2，3分别代入体积公式，即可求出m，n的值；再根据材料一定时长方体体积最大与底面积和
高都有关，进而得出答案．
【解析】解：（1）由折叠可知，
剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等，
故答案为：相等；
（2）这个无盖长方体盒子的容积=h（a-2h）（a-2h）=h（a-2h）2（cm3）；
故答案为：h（a-2h）2；
（3）当剪去的小正方形的边长取2时，m=2×（20-2×2）2=512，
当剪去的小正方形的边长取3时，n=3×（20-2×3）2=588，
当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小，
当剪去的小正方形的边长为3cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了几何体的体积求法以及展开图问题，根据题意表示出长方体体积是解题关键．
9．如图①是一张长为18 ，宽为12 的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为 的小正方
形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积 ；（用含 的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当 取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
1 2 3 4 5
160 ________ 216 ________ 80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出 的值；如果不是正方
形，请说明理由．
8【答案】（1） ；（2）224，160；（3）不可能是正方形，理由见解析
【分析】本题考查的是长方体的构造：
（1） 根据题意，分别表示出来长方体的长、宽、高，即可写出其体积；
（2） 根据给到的x的值求得体积即可；
（3） 列出方程求得x的值后，即可确定能否为正方形．
【解析】（1）
（2）224，160
当 取2 时，长方体盒子的容积最大
（3）从正面看长方体，形状是正方形时，有
解得
当 时，
所以，不可能是正方形
【点睛】本题考查了简单的几何题的三视图的知识，解题的关键是根据题意确定长方体的长、宽、高，之
后依次解答题目．
10．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系
式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
9（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个
顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式进行计算；
（3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【解析】解：（1）根据题意得如下图
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面
20 12 30
体
∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2=72条棱，
设总面数为F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．
【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
11．如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边长为 ，高为 的小长方体达成了
一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭的几何体恰好
可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一个几何体翻转，且假定组成每个几
何体的小长方体粘合在一起）.
10（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）19
（2） ，
（3）
【分析】（1）确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数
量，求差即可．
（2）根据图形，画出左视图,计算表面积即可.
（3）画出王亮所搭几何体的俯视图，即可求出表面积.
【解析】（1）∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体 个，
∵张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36−17=19个小立方体.
（2）张明所搭几何体的左视图有三列，第一列有4个长方形，第二列有2个长方形，第三列
有1个长方形：
11表面积为：
（3）王亮所搭几何体的俯视图如图所示，图中数字代表该列小正方体的个数.
故王亮所搭几何体的表面积为：
【点睛】本题主要考查的是由三视图判断几何体的知识，能够根据题意确定出两人所搭
几何体的形状是解答本题的关键；
12．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图．
(1)当组成这个几何体的小正方体的个数为8个时，几何体有多种形状．请画出其中两种几何体的左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的最小值和最大值；
(3)主视图和俯视图为下面两图的几何体有若干个，请你画出其中一个几何体．
【答案】(1)画图见解析；(2) n最小为8，最大为11； (3)画图见解析．
【分析】（1）由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列，由主视图可得共有3层，那么其中一列
必为3个正方形，另一列最少是1个，最多是3个；（2）由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及
最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第二列第二层最少有1个正方体，最
多有2个正方体，第3列第2层，最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多
有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能的值．（3）根据三
视图画出符合条件的一个几何体即可．
12【解析】(1)如图所示；下图中的任意两个即可．
（2）∵俯视图有5个正方形，
∴最底层有5个正方体，
由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；
由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体；
∴该组合几何体最少有5+2+1=8个正方体，最多有5+4+2=11个正方体，
∴n的最小值为8，最大值为11．
(3)如图所示．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从
俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
13．观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题.
（1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有___个面，共有___个顶点，共有____条棱.
（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为____棱柱.
（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有____个侧面，共有___个面，共有____个顶点，共有
13_____条棱.
（4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式．
【答案】填表见解析；（1）16，28，42；（2）二十八；（3）n，n+2，2n，3n；（4）a+c-b=2．
【解析】试题分析：
棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，边数为n的棱
柱，有3n条棱，有2n个顶点，有(n+2)个面.
试题解析：
填表如下：
（1）16 28 42.
（2）二十八.
（3）n n+2 2n 3n.
（4）a+c-b=2．
点睛：首先要理解棱柱的组成，两个底面互相平行，侧面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互
相平行，根据棱柱的构成则可以得到边数为n的棱柱的顶点数是：上底面的n个顶点+下底面的n个顶点
=2n个；面数是：1个上底面+1个下底面+n个侧面=(n+2)个；棱数是：上下底面与侧面相交的棱有2n个+侧
面相交的棱有n个=3n个.
14．某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板
制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
14【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b
（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若 ， ，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b
（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若 ， ，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为 的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，
若 ，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
【答案】(1)
(2)
(3)2倍
【分析】（1）由折叠可得底面是边长为 的正方形，进而求出底面积即可；
（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为 ，根据体积公式进行计算即可；
（3）当 时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．
【解析】（1）如图1，若 ，
则长方体纸盒的底面是边长为 的正方形，
因此面积为 ，
故答案为： ；
15（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正方形和两个同样大小的小长方形，
再沿虚线折合起来可得到长为 ，宽为 ，
高为 的长方体，当 ，
该长方体纸盒长为 ，
宽为 ，高为 ，
所以体积为 ，
故答案为： ；
（3）当 时，
，
按图2作的长方体的纸盒的体积为：
，
（倍），
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折
叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．
15．综合与实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
16盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是 ．
(3)如图3，有一张边长为50 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖
长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为6 的小正方形，这个纸盒的容积．
【答案】(1)C
(2)环
(3)①见解析；②8664
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
（3）①画出相应的图形即可；
②先表示出折叠后的长方体的容积，再把 代入求值即可．
【解析】（1）∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
17（2）根据“相间、Z端是对面”可知，“小”字相对的面为“环”，
答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环；
（3）①所画出的图形如图所示：
②设折叠后的长方体的高为x ，底面是边长为 的正方形，
其面积为 ，
体积为 ，
当 时， （ ），
答：当小正方形边长为6 时，纸盒的容积为8664 ．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的
关键．
16．阅读材料，解决下面的问题：
柏拉图体
柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形．
正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正
八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体．
（注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边
形…）
(1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体．
18①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为
，若原正方体的棱长为 ，该正多面体的体积为______ ：
(2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何
体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方
体，他新搭几何体的表面积最小是______；
(3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小
华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______．
【答案】(1)①八，6，12；②4.5
(2)21，50
(3)正四面体
【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据
该正多面体的体积与原正方体体积的比为 求解即可；
（2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可
求出表面积；
（3）直接根据图形解答即可．
19【解析】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱；
② ．
故答案为：①八，6，12；②4.5；
（2）解：至少需要 个，
表面积最小是 ．
故答案为：21，50；
（3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称
是正四面体．
故答案为：正四面体．
【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉
图体的定义是解答本题的关键．
17．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选） ；
A． B． C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则
下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选） （填序号）；
(3)下图是题(2)中长方体的一种表面展开图，它的外围周长为52，事实上，题（2）中长方体的表面展开图
还有不少，请聪明的你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为 ．
【答案】(1)B
20(2)①②③
(3)70
【分析】（1）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，正方体的展开图共有11种，只要对
比选项，选出属于这11种的图的选项即可．
（2）由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题，选出属于长方体展开图的项即可．
（3）画出图形，依据外围周长的定义计算即可．
【解析】（1）正方体的所有展开图，如下图所示：
只有B属于这11种中的一个，
故选：B．
（2）可能是该长方体表面展开图的有①②③，
故答案为：①②③．
（3）外围周长最大的表面展开图，如下图：
21观查展开图可知，外围周长为 ，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关
键．
18．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀
展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所
学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，
你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是
880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米
【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；
（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【解析】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
22（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a＝880，
解得a＝100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面
图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
19．如图（1），一个正方体的三个面上分别写有1、2、3，与它们相对的三个面上依次写有6、5、4．这
个正方体的每一条棱处各嵌有一根金属条，每根金属条的质量数（单位：克）等于过该棱的两个面上所写
数的平均数．
(1)这个正方体各棱上所嵌金属条的质量总和为多少克？
(2)沿这个正方体的某些棱（连同嵌条）剪开，得到图（2）所示的展开图，其周边棱上金属条质量之和的
最小值为多少克？在图（2）中把这个正方体的六个面上原有的数字写出来（注：写字的这一面是原正方
体的外表面）．
【答案】(1)这个正方体各棱上所嵌金属条的质量总和为42克
(2)周边棱上金属条质量之和的最小值为21克，这个正方体的六个面上原有的数字是a＝1，b＝5，c＝4，
d＝6，e＝3，f＝2
【分析】（1）先分别求出每根金属条的质量，再相加即可；
（2）由于要使周边棱上金属条质量之和的值最小，根据正方体的展开图可知相邻的三个数字大的正方形
填在中间．
23【解析】（1）每个面上由4条棱围成，计算质量和时，要把各面上的数的一半相加4次．
故各棱上金属条质量的总和为（1+2+3+4+5+6）×4× ＝42（克）．
（2）要使剪开的棱上金属条质量和最小，就要使未剪开的棱上金属条的质量和最大，所以，未剪开的5条
棱应尽可能是大数所在面的公共棱．
如图，d面周围有3条棱未剪开，故取d＝6；b、c两面各有2条棱未剪开，经观察，有b＝5，c＝4，a＝
1，e＝3，f＝2．
故未剪开的棱上金属条质量和为21克，从而被剪开的棱上金属条质量之和是21克，即周边棱上金属条的
质量和的最小值为21克．
【点睛】本题考查了算术平均数，正方体的空间图形和展开图，有一定难度．解题关键是由于要使周边棱
上金属条质量之和的值最小得出展开图中间的三个数是4、5、6．
20．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，他们利用长为 ，宽
为 长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子， 请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝
处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若 ，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，再沿虚线
折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若 ，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体
纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，折痕用虚线表示；
（3）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ；若 ，求有盖正方体纸盒的表面积．
24【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 或 ，600cm2
【分析】（1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有 .
（2）仔细思考，实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的
剪出形状即可.
（3）根据所剪的图形和正方体棱长都相等的性质，有 ，转化形式即可；将 代入前面的等式
求得 和小正方体的棱长，根据正方体的表面积公式计算即可.
【解析】解：（1） (或 )..
（2）所画图形如图所示(图形不唯一，画出一个即可).例如
（3） 据题意得， ，
故 或 或
当 时， .
由（1）可知制作的正方体的底面边长 ，
25有盖正方体纸盒的表面积为 .
【点睛】本题主要考查了正方体的性质与展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关
系是解答关键.
21．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀
展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所
学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，
你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在图上补 全．（请在备用图中画出所
有可能）
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的4倍．现在已知这个长方体纸盒的底面
是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是720cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】（1）8,
（2）四种可能,图形见详解
（3）128000 cm2
【分析】（1）根据展开后的图形即可解题,（2）根据长方体的展开图的特点，进行画图，注意考虑周全.,
（3）利用底面是正方形, 最长的一条棱是最短的一条棱的4倍,棱长的和是720cm，求出长宽高,即可解题.
【解析】解：（1）由展开图发现,小明一共剪开了8条棱,
故答案是8,
（2）如下图,四种可能,
26（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长即高为acm，则长与宽相等为4acm.
∵长方体纸盒所有棱长的和是720cm，∴4(a+4a+4a)=720，解得a=20
这长方体纸盒的体积为20×80×80=128000cm2
故答案是8;四种情况；128000 cm2
【点睛】本题考查了立体图形的展开,属于简单题,熟悉立体图形的性质是解题关键.
22．某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：
（1）求长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可
能少（纸箱的表面积尽可能小）
【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为792cm2
【分析】（1）设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据长方体的展开图可见产品的一个
宽+2个长+一个高=25，从而列出方程，求解得出长方体产品的长宽高，再根据长方体的体积计算方法即可
算出答案；
（2）由于产品的长宽高是固定的，厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且
要使该纸箱所用材料尽可能少，故在装这10件产品时，让产品重叠在一起的面积尽可能的大，从而得出设
计的包装纸箱为15×12×8规格，再根据长方体的表面积计算方法即可算出答案.
【解析】（1）解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据题意可得：
12﹣2x+8+x+8=25，
27解得：x=3，
所以长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
长方形的体积为：8×6×3=144cm3；
（2）解：由要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），可知纸箱的装法
有两种，即每层一个共10层或每层两个共5层，
①每层一个共10层：
（ⅰ）当3×6的面叠加在一起时，
表面积为2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,
（ⅱ）当3×8的面叠加在一起时，
表面积为2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2,
（ⅲ）当6×8的面叠加在一起时，
表面积为2（30×8+30×6+8×6）=936cm2,
②每层两个共5层：
（ⅰ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×8的面贴地面时，
表面积为2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2,
（ⅱ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×8的面贴地面时，
表面积为2（6×16+6×15+16×15）=852cm2,
（ⅲ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×6的面贴地面时，
表面积为2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2,
（ⅳ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，
表面积为2（12×8+8×15+12×15）=792cm2,
（ⅴ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×3的面贴地面时，
表面积为2（6×8+6×30+8×30）=936cm2,
（ⅵ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×3的面贴地面时，
表面积为2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2,
所以当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，表面积最小，
为792cm2，设计的包装纸箱为长为12cm，宽为8cm，高为15cm.
故答案为792cm2
【点睛】本题考查几何体的表面积，几何体的展开图.（1）根据展开图合理设未知数，找到等量关系列式
计算.（2）关键是列出所有纸箱装法并计算表面积.
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