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专题24.51 圆中的动点问题（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P
到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．已知平面直角坐标系 中，点P为直线 上的动点，点 ，设 的最小值为
t．则随着k值的变化，t的值不可能等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图， 矩形 中， 分别是边 上的两个动点， 将 沿着直线 作轴对称
变换， 得到 ， 点 恰好在边 上， 过点 作 ， 连结 ． 若
时， 则 （ ）
A．3 B．6 C． D．
4．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D
为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ）
A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4
5．如图， 是 的直径，点C为 的中点，点D为 上的一个动点，连接CD，作 ，
交 于点E，连接 ．若 半径为5，且 ，则 的面积为（ ）A．6 B．7．5 C． D．10
6．如图，点A的坐标是 ，点C是以 为直径的 上的一动点，点A关于点的C对称点为点
P，当点C在 上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，则k
的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，正六边形 的边长为2， 是 边上一动点，过点 作 交 于 ，作
交 于 ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．随着点 的移动而改变
8．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半
径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
9．如图，在 中， ， ．⊙C的半径长为2，P是 边上一动点
（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形 中， ， ，点 是 边上的动点，过点 作直线 的垂
线，垂足为 ，当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，正方形 中， ，以 为圆心， 为半径画圆，点 是 上一个动点，连
接 ，并将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，在点 移动的过程中， 长度的取值范围是．
12．如图，在矩形纸片 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一个动
点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是 ．
13．如图， 的半径是5，AB是 的弦，C是AB上一点， ， ，点P是 上一动
点，连接OC，则 ，点P与点C之间的最小距离是 ．
14．已知直线l:y=x﹣4，点A（1,0），点B（0,2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为
时，过P、A、B不能作出一个圆.
15．在 中， ，M是 外一动点，满足 ，若 ，
， ，则 的长度为 ．
16．如图，点A，B在圆O上，且 ，点P是射线 上一动点（不与点O重合），连接 ，将 沿 折叠得到 ，当 的边所在的直线与圆O相切时， 的度数为 ．
17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，
则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．
18．如图， ， 分别是射线 上的动点， 的长始终为 ，点 为 的中点，
则点 的运动路径长为
19．如图，在 中， ， ， ，以 为直径作 ，过点O作
于点D，P为 上的一个动点，连接 、 ，则图中阴影部分的面积为 ．
20．如图所示，在平面坐标系内， ， ， ，点 是平面内的一个动点，点 是
轴上的一动点，且 ，则 的最小值 ．三、解答题
21．如图，A，B、C三点均在 上，且 ，D为弦下 方圆上的一动点，连接 ，连接
并延长至点E，使 ，连接 ．
（1）如图1，若，且点D在点C的左侧运动， ．
①若点O在 上，则四边形 的形状为______；
②若D为 的中点， ，求 的长．
（2）如图2，若 ，连接 ，当四边形 满足什么要求时， 是 的切线？并说
明理由．
22．如图，点B，C为 上两定点，点A为 上一动点，过点B作 ，交 于点E，点D
为射线 上一动点，且 平分 ，连接 ．（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
23．如图， 是半圆 的直径，点 是半圆上不与点 、 重合的一个动点，延长 到点 ，使
， 是 的中点，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，当四边形 是菱形时，求 的度数．
24．已知，如图①，在 中， ， ，点E为 上的一动点，连接 ，
过点C作 于点H，以 为腰作等腰直角 连接 ．（1）求证：四边形 为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求 的值；
（3）求 的最小值．
参考答案
1．B
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，判断出当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直
线 的距离最大，由此即可得．
解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，
当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的性质，正确判断出点 到直线 的距离最大时，点 的位置是解题关键．
2．A
【分析】当直线 与线段 有交点时，可得 ；当直线 与线段 没有交点时，
作点O关于直线 的对称点 ，可得 的最小值为 的长度，点 在如图3中优弧上运动，求出 的最大值即可得到t的最大值，进而得出答案．
解：设 ，则直线 过定点B，
如图1，当直线 与线段 有交点时，
可得点P为交点时， 取最小值，最小值t为 的长，即 ；
如图2，当直线 与线段 没有交点时，
作点O关于直线 的对称点 ，连接 与直线 交于点P，则此时 的最小值
为 的长度，
如图3，以点B为圆心， 的长为半径作 ，设直线 与 交于点C，
∵ ，
∴当直线 与线段 没有交点时，点 在如图3中优弧 上运动，
∴当点 运动到点C的位置时， 取最大值，最大值为 的长度，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的最大值为8，
∴当直线 与线段 没有交点时，t的最大值为8，
∴t的值不可能等于10，
故选：A．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质，勾股定理等知识，
判断出点 的运动轨迹，求出 的最大值是解题的关键．
3．D
【分析】延长 交 于 ，由 得到 ，再证四边形 是矩形，由勾
股定理求得 ，设 ，根据勾股定理求解即可．
解：解: 延长 交 于
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
和 关于 对称，
，
，
，
，
，
设 ， 则 ，
，，
，
，
故选：D
【点拨】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，关键是掌握并灵活应用以上知识点．
4．C
【分析】连接OM，OC，由垂径定理的推论可知OM⊥CD，从而由∠CPO=∠OMC=90°，可知点P，O，
M，C四点共圆，PM为此圆的弦，因此当弦为直径时取最大值．
解：连接OM，OC，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆中的最值问题，把PM的长转化为圆中弦的最值问题是解题的关键．
5．B
【分析】延长 交 于点F，连接 ，设 ，则 ， ，在 中，
，利用勾股定理计算即可求解．
解：延长 交 于点F，连接 ，∵ ，则 ，
∴ 是 的直径，
∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，设 ，则 ， ，
∴ ，
在 中， ，
，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．B
【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在 上运动时，所有这样的
点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，推出 ，然后根据勾股定理和等积
法分别求出 和 ，进而确定点P的坐标，然后代入直线 即可求出k的值．
解：如图，连接 ， ，由题意可知，点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，∴ ，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵点C的运动轨迹是以点B为圆心， 为直径的圆，即： ，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以 为半径的圆，
∵ ，当 时，无论 取何值， ，
∴直线 过定点 ，即： ，
∵当点C在 上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，
即：直线 与 相切，
∴ ，
∴ ，
过点P作 轴于点 ，
在 中，由勾股定理得： ，
由等积法，可得： ，
即： ，
解得：
在 中， ，
∴点P的坐标为 ，把点 的坐标代入 ，得： ，
解得： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位
置关系，勾股定理，等积法，熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键．
7．B
【分析】作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解．
解：如图，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，则有
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN，
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM= AM，HP= BP，PL= PC，NK= ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=2，GH=LK=2，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3×2=6，
故选：B．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关
键．
8．D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延
长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接
，
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高
的最大值是解题关键．
9．B
【分析】过点 作 于点 ，过点 作⊙C的切线 ，则点 为距⊙C最近的点，则 是⊙C最短的切线，再解直角三角形即可得到 的长，过点 作⊙C的切线 ，切点为 ，同理可得到
是⊙C最长的切线，再解直角三角形即可得到 的长．
解：过点 作 于点 ，过点 作⊙C的切线 ，切点为 ，连接 ，如图，
， ， ，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为⊙C的切线
∵
∴
，
∴
过点 作⊙C的切线 ，切点为 ，连接 ，
，
∴
，
∴
P是 边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4
个，∵
，
∴
.
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了切线长定理及应用，熟练掌握切线长定理再根据题意分析点 运动轨迹中，成为
⊙C切线的最大和最小值是解题的关键．
10．A【分析】取 的中点O，连接 ， ，则点G在以O为圆心2为半径的圆弧 上运动，易得
，则由弧长公式即可求得结果．
解：如图，取 的中点O，连接 、 相交于点H，连接 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点G在以O为圆心2为半径的圆上运动，
当点E与点A重合时，点G与点H重合；当点E与点B重合时，点G与点B重合，
∴点G在以O为圆心2为半径的圆弧 上运动，
∵O、H分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，求圆弧长等知
识，确定出点G的运动路径是解题的关键．
11．
【分析】连接 ，如图，根据正方形的性质和旋转的性质证明 ，得出
，求出 cm，然后根据 即可求解．
解：连接 ，如图，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ cm，
∵将 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆的基本知识、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，
正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
12．8
【分析】先由折叠可知 ，则可得点 在以 为圆心，以 的长为半径的圆上，然后结合已
知条件求出 、 、 的长度，最后求出 的长的最小值．
解：由折叠可知，
∴点 在以 为圆心，以 的长为半径的圆上，如图，连接 ，交圆 于点 ，此时 的长取最
小值，
∵ ， ，点 为 的中点，
∴ ， ，
故答案为：8．【点拨】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到
定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键．
13． /
【分析】过点O作 于点G，连接 、 、 、 ，根据勾股定理得
，求出 ，再利用三角形三边关系求出 的取值范围，即可得出答案．
解：如图，过点O作 于点G，连接 、 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，O为圆心，AB是 的弦，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ,
∴点P与点C之间的最小距离是 ，故答案为： ， ．
【点拨】本题考查垂径定理、勾股定理以及三角形三边关系，解决问题的关键是遇弦作弦心距构造直
角三角形．
14．（2，－2）
解：设直线 的解析式为
解得
解方程组 得
∴当 的坐标为 时，过 三点不能作出一个圆．
故答案为:
15． /
【分析】过点B作 交 的延长线于点H，过点D作 于点E，过点D作
于点F，点A,M,B,C四点共圆，得 ，解直角三角形 ， ，
面积法求解， ，得 ．
解：过点B作 交 的延长线于点H，过点D作 于点E，过点D作 于点
F，如图所示：
∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三
角形是解题的关键．
16． 或 或
【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当 所在直线与圆O相切于点A时，当
所在直线与圆O相切于点A时，当 所在直线与圆O相切时，不同情况进行解答即可.
解：由折叠的性质得 ，
① 当 所在直线与圆O相切于点A时，分两种情况讨论：
a、若点 在 上方，如图（1），由折叠性质可得： ，
∴ ；
b. 若点 在 下方，如图（2），
易得 ，
∴ ；
②当 所在直线与圆O相切于点A时，如图（3），
∵ ，
∴ ；
③当 所在直线与圆O相切时，设切点为C，如图（4），
易知此时点P的位置与图（3）中相同，故 ；
综上， 的度数为 ， 或 ；
【点拨】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.17．4 ．
【分析】连接BO并延长交AC于E，交 于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角
三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：连接BO并延长交AC于E，交 于D，连接AD、CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴ ，
∴OE⊥AC，点D为 的中点，
此时点D到AC的距离最大，
∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，
在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝ BD＝2，
由勾股定理得，AB＝ ＝2 ，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝ ×2×2 ×2＝4 ，
故答案为：4 ．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性
质是解题的关键．
18．
【分析】根据垂直的定义可知 是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知，最后利用弧长公式即可解答．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴点 的运动路径长为弧 ，
∴弧 的长度： ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关
键．
19．
【分析】由已知可证得 ，从而可知 ，由此即可解题.
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知得出 是正确解答的前提．
20． /
【分析】如图所示，以 为直径作圆，圆心为 ，记为 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接
交于 于点 ，交 轴于点 ，此时 有最小值，在 中，可求出 的长度，再根
据 ，由此即可求解．
解：如图所示，以 为直径作圆，圆心为 ，记为 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交
于 于点 ，交 轴于点 ，此时 有最小值，
∵ ， ，
∴ ，则 的半径 ，即 ，∵ ，
∴点 在 上，
∴ ，
过点 作 轴于点 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵点 是点 关于 轴的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考到平面直角坐标系中动点，圆，对称最短路径，勾股定理的综合，掌握以上知识
的综合，数形结合分析是解题的关键．
21．（1）①正方形；② ；（2）当 时， 是 的切线，理由见分析
【分析】（1）①点O在 上， 则 是直径，可得 ，然后证明四边形
是矩形，继而得出正方形；②可推出 是 的垂直平分线，得出 ，求出直径 即可；
（2）证明 ，由等腰三角形顶角的一半与底角的和是 ，得出 ，
从而得出 是圆的切线．
（1）解：①四边形 的形状为正方形，理由如下：
∵点O在 上，
则 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 的形状为正方形,
故答案为：正方形；②连接 ，
∵ ，
∴ 直径，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（2）当 时， 是 的切线，理由如下：
连接 ，并延长 交 于 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
【点拨】本题考查了圆的有关性质及与圆的切线的判定以及三角形全等，等腰三角形的性质，解决问
题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质和判定．
22．（1）见分析；（2）四边形 是矩形，理由见分析
【分析】（1）根据角平分线的定义，可得 ，再根据圆周角定理可得 ，再
根据平行线的性质可得 ，进而得到 ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可
证明结论；
（2）由角平分线的定义，可得 ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得
，即 ，进而得到 ，再根据矩形的判定定理，即可得
出答案．
解：（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵
活运用相关知识是解答本题的关键．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据中位线的性质得到 ， ，由 可证 ；
（2）根据菱形的性质得 ，从而证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．
（1）解： 点 是 的中点， ，
， ，
．
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：连接 ，四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，解题关
键是根据中位线的性质得到 ， ，由 得出 ．
24．（1）见分析；（2）160；（3）
【分析】（1）先证四边形 是矩形，再证四边形 是正方形；
（2） 形式联想到勾股定理，证明三角形 是直角三角形即可；
（3）D，H两点一定一动，由 联想到隐圆．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
（2）解：连接在 中，
（3）解：∵ ，
∴点H在以 的中点O为圆心，以 为半径的圆上运动．
∴
∴ 的最小值
【点拨】本题考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、隐圆等知识点．综
合性较强，需要学生具备丰富的几何知识以及严密的逻辑推理能力.
