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专题突破卷 23 圆锥曲线大题归类
1.轨迹问题
1．已知点 ，点P是圆 上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点
M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆 的位置关系.
2．在平面直角坐标系 中，设点 的轨迹为曲线 .①过点 的动圆恒与 轴相切， 为该圆的直
径；②点 到 的距离比 到y轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线 的方程；
3．已知圆 ： ，圆 ： ，圆 ，圆 ．
(1)若动圆 与圆 内切与圆 外切. 求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若动圆 与圆 、圆 都外切. 求动圆圆心 的轨迹 的方程．
4．已知反比例函数 的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设 为双曲线C的两个顶点，点 是双曲线C上不同的两个动点．求直线 与
交点的轨迹E的方程；
5．在平面直角坐标系 中，已知圆心为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为
曲线E．
(1)求E的方程；6．如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设 为大圆上任意一点，连接 交
小圆于点 ，设 ，过点 分别作 轴， 轴的垂线，两垂线交于点 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
2.求值问题
7．（ 2023·四川·校联考一模）已知点 在椭圆C： 上，点 在椭
圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的
斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.8．已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点 ， 在双曲线C的右支上，且 ， ， ，过点P且斜率为
的直线与过点Q且斜率为 的直线交于线段AB上一点M，且 ，求实数 的值.
9．已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
10．已知圆 ： ，圆 ： ，圆M与圆 外切，且与圆 内切．
(1)求圆心M的轨迹C的方程；
(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点， ，则当的面积最大时，求 的值．
11．（ 2023·四川泸州·统考三模）已知椭圆 的右焦点为 ，短轴长等于焦
距．
(1)求 的方程；
(2)过 的直线交 于 ，交直线 于点 ，记 的斜率分别为 ，若
，求 的值．
12．已知 是椭圆 上的两点， 关于原点 对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线
和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的
面积最大时，求 的值.3.定点问题
13．如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为
，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆
分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
14．已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点A， ，当直线 的倾斜角为 时，
.
(1)求抛物线 的标准方程和准线方程；
(2)记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定点，
并求出定点坐标.15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在双曲线上，若
，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)如果 为双曲线 右支上的动点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
16．设椭圆C： 的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B
两点．若直线PA与PB的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M
作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理由．17．数学试题）已知椭圆 的焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
18．椭圆 的离心率是 ，点 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与
椭圆相交于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
4.定值问题
19．已知半椭圆 和半圆 组成曲线 .如图所示，半椭圆内切于矩
形 ，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点 处时，的面积最大.
(1)求曲线 的方程；
(2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证： 为定值.
20．已知双曲线C： 一个焦点F到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得 为定值？如
果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
21．已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异于坐标原
点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
22．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，
且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
23．已知点 与定点 的距离和它到定直线 的距离比是 .
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)若直线 与轨迹 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由.
24．已知圆 ，直线 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线 ，其中为切点，且 最小．
(1)求直线 的方程；
(2) 为圆 与 轴正半轴的交点，过点 作直线 与圆 交于两点 ，设 ， 的斜率分别为 ，
求证： 为定值．
5.定直线问题
25．椭圆 ： 的上顶点为 ，下顶点为 ，离心率为 ，点 .
(1)水椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 ， 两点（不同于 ， 两点），若直线 与直线 交于点 ，试
问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
26．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问： 的内心是否在一条定直线上？
若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．27．已知椭圆 右焦点分别为 ， 是 上一点，点 与 关于原点 对称，
的面积为 .
(1)求 的标准方程；
(2)直线 ，且交 于点 ， ，直线 与 交于点 .
证明：①直线 与 的斜率乘积为定值；
② 点在定直线上.
28．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
29．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，从 发出的光线经过图2中的 、 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直
线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
30．已知点 在双曲线 上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交 的两条渐近线于 两点，其中O为坐标原点，求证： 的面积 是
定值；
(2)已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上．6.证明问题
31．已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近
线上一点， 的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
32．已知椭圆 ，其离心率 ，长轴长为6．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上下顶点分别为 ，右顶点为 ，过点 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，点 与点
关于 轴对称，直线 交 于 ，直线 交 于点 ，点 ，求证： ．
33．已知A是椭圆E： 的左顶点，斜率为 的直线交E与A，M两点，点N在E上，
.
(1)当 时，求 的面积；(2)当 时，证明： .
34．定义：若椭圆 上的两个点 满足 ，则称 为
该椭圆的一个“共轭点对”，记作 .已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求“共轭点对” 中点 所在直线 的方程；
(3)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，（2）中的直线 与椭圆 交于两点 ，且 点
的纵坐标大于0，设四点 在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形 的面积小于 .
35．已知椭圆C： 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为 ，O为坐标原点，线
段OA的中点为D，且 .
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线 上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C
于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.36．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 ： ．
(1)求出双曲线 的渐近线方程；
(2)过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(3)设斜率为1的直线l交 于P，Q两点，若l与圆 相切，求证： ．
7.范围最值问题
37．已知椭圆 的左右顶点分别为A， ，椭圆的离心率为 ，动点 在曲线
上，且 的面积的取值范围是 ，过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 在第一象限，求 的取值范围．38．已知抛物线C： ，过点 的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为 ，
在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
(1)设直线 ， 的斜率分别为直线 ， ，求证： ；
(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求 的取值范围.
39．已知O为坐标原点， 是椭圆C： 的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线
l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时， 的周长为 ．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求 的取值范围．
40．已知双曲线 ( )左、右焦点为 ，其中焦距为 ，双曲线经过点 ．
(1)求双曲线的方程；(2)过右焦点 作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线 ，其中
，垂足为 为射线 与双曲线右支的交点，求 的最大值．
41．设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
42．已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点 为双曲线右支上一动点，过点 与双曲线相切的直线 ，直线 与双曲线的渐近线分别交于M，N
两点，求 的面积的最小值．
8.存在性问题43．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 为 的左、右焦点，若过右焦点 的直线
与椭圆 交于不同的两点 ， ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，在 轴上是否存在一点 ，使得
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由.
44．已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，上，下顶点分别为 ，四边形
的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点
重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.45．已知椭圆 的左、右焦点分别为点 ，短轴的上、下端点分别为 ，若椭
圆的离心率为 ，四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设两条直线 与 交于椭圆的右焦点，且互相垂直，直线 交椭圆 于点 ，直线 交椭圆 于点
，探究：是否存在这样的四边形 ，使得其面积为 ？请说明理由.
46．设抛物线 ： 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 .
(1)若 ，求 点的坐标；
(2)若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
(3)若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是否存在最小值？若存
在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在 中，设
， ，则 的面积为47．已知 为抛物线 ： 的焦点， 为坐标原点.过点 且斜率为1的直线 与抛物线 交于 ，
两点，与 轴交于点 .
(1)若点 在抛物线 上，求 ；
(2)若 的面积为 ，求实数 的值；
(3)是否存在以 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.
48．如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)一条直线 经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点.
①求证： 不可能是钝角；
②是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，求点 的坐标；否则，说明理由.49．设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且 .
(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
50．已知抛物线 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 ， 分别交C于A，B两点，交C的准线l
于P，Q两点.
(1)若F在线段 上，R是 的中点， 与 平行吗？
(2)若 的面积是 的2倍，求 中点的轨迹方程.
51．已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 ，设 、 分别为椭圆的左右顶点， 、
为椭圆的左右焦点，点 为椭圆 上不同于 、 的任意一点，点 是椭圆 长轴上的不同于 、 的
任意一点
(1)求椭圆 的标准方程；(2)当 内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
(3)设直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，若 的值为定值，则称此时的点 为“稳定点”，
问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
52．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦点为 ， ，且满足______，椭圆 的上、
下顶点分别为 ，右顶点为 ，直线 过点 且垂直于 轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点 ，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上（且在第一象限），直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于点 .试问：
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
53．已知抛物线 ： 上的点 到焦点 的距离为 .(1)求点 的坐标及抛物线 的方程；
(2)过点 的任意直线 与抛物线 交于点 ，过点 的抛物线 的两切线交于点 ，证明：点
在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
54．已知椭圆 的左右焦点为 为椭圆 上异于长轴端点的一个动
点， 为坐标原点，直线 分别与椭圆 交于另外三点 ，当 为椭圆上顶点时，有
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的最大值．
55．在 中，已知点 ， ， 边上的中线长与 边上的中线长之和为6；记
的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ： ， ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ， ，直
线 ， 与曲线 的另一个交点分别是点 ， ，求 面积的最大值.56．过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ， . ， 的中点分别为 ， .
(1)证明：直线 过定点；
(2)若 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值.
57．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一
根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点 处，另一端固定在画板上点
处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在
平面上画出了圆锥曲线 的一部分图象．已知细绳长度为 ，经测量，当笔尖运动到点 处，此时，
， ．设直尺边沿所在直线为 ，以过 垂直于直尺的直线为 轴，以过 垂直于
的垂线段的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线 的方程；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与曲线 交于不同的两点 ，已知 的取值范围为 ，探究：
是否存在 ，使得 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由．58．已知动点 到定点 的距离与 到定直线： 的距离之比为 ，记点 的轨迹
为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知曲线 与 轴的正半轴交于点 ，不与 轴垂直的直线 交曲线 于 两点（ ， 异于点 ），
直线 分别与 轴交于 两点，若 的横坐标的乘积为 ，则直线 是否过定点？若是，求出该
定点的坐标；若不是，请说明理由.
59．已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆的中心，点 为其上的一点满足
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．60．平面直角坐标系 中， 为动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线
垂直，垂足 位于第四象限， 且 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
61．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的直
线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及
取得最小值时直线 的方程.62．已知圆 经过 三点．
(1)求圆 的方程．
(2)已知直线 与圆 交于M，N（异于A点）两点，若直线 的斜率之积为2，试问直线 是否经过定
点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
