文档内容
第 02 讲 简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形
课程标准 学习目标
1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
①等腰三角形的性质
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质
②等边三角形的性质
解决有关问题．(难点)
知识点01 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三
角的三线合一）
图形：如下所示； A
12
符号：在 中，AB＝AC，
1 / 47 B D C
学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】
1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图， ，点D在 上，且 ，则 的
度数为 ．
【答案】 /36度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】设 ，根据等边对等角可得 ，再根据三角形外角的性质可得
，根据 可得 ，根据 可得 ，
最后利用三角形内角和定理可得 ，由此可解．
【详解】解：设 ，
，
，
根据三角形的外角性质， ，
，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰
三角形中“等边对等角”．
2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为 ， ，其中 ， 满足
，那么这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、绝对值非负性
【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出a、b的值是解
题的关键．
先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰
和底边两种情况讨论求解即可
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当边长为a的边为腰时，则等腰三角形三边长为 ， ， 不能构成三角形，不符合题意；
当边长为a的边为底边时，则等腰三角形三边长为 ， ， 能构成三角形，符合题意，此时等腰三角形的
周长为 ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在 中， ， 是边 上的中线，已知
， ，则 的度数是 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、三线合一、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为 ， 是边 上
的中线，所以 是等腰三角形， ，求得 ，结合 ，利用三角形的外
角性质即可作答．
【详解】解：∵在 中， ， 是边 上的中线，
∴ 是等腰三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在 中， ．
(1) 是 上的高， ．
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学科网（北京）股份有限公司①如图1，如果 ，则 _____°；
②如图2，如果 ，则 _____．
(2)思考：通过以上两小题，你发现 与 之间有什么关系？请用式子表示：_____．
(3)如图3，如果 不是 上的高， ，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】(1)①10；② ；
(2) ；
(3)仍成立，理由见解析．
【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等
角的性质是解题的关键．
（1）①等腰三角形三线合一，所以 ，又因为 ，所以 ，所以
．
②同理，证明 ，所以 ．
（2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得 ，再根据 ，得
，再根据 ，从而可得出结论
．
（3）由于 ，所以 ，根据已知，证明 ，而 ，所
以 ．
【详解】（1）解：①在 中， ， 是 上的高，
，
，
，
，
，
是 上的高，
．
故答案为：10；
② 在 中， ， 是 上的高，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：20；
（2）解：在 中， ， 是 上的高，
，
∵
∴ ，
∵ 是 上的高，
∴
∴
∴ ．
（3）解：仍成立，理由如下：
，
，
，
又 ，
，
，即 ．
知识点02 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于 ；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
【即学即练2】
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知 三条边的长都为 ，三个内角都相等，点 、 同
时从点A出发，点 以每秒 速度沿 向点 运动，点 以每秒 速度沿折线 运动，当点
到达点 时，点 也同时停止运动．如果点 在边 上，且以A、 、 中的两点和点 为顶点构成的
三角形与 全等，那么运动的时间为 秒．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2或 或4．
【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是
解题的关键．
分当点Q在 上时以及当点Q在 上时的有两种情形 或 满足条件，分别构建方程求
解即可．
【详解】解：当点Q在 上时， 时， ，
∴ ，
∴ ，解得： ．
当点Q在BC上时，
如图：当 时， ， ， ；
∴ ，解得： ；
如图：当 时， ，
∴ ，解得 ，
综上所述，满足条件的t的值为2或 或4．
故答案为：2或 或4．
6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边 中，点E在线段 的延长线上，点D在直线
上，且 ．若 的边长为1， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】4
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、含30度角的直角三角形
【分析】过点E作 于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出 ， ，根
据直角三角形的性质得出 ，根据含 角的直角三角形的性质推出 ，根据等腰三
角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了含 角的直角三角形的性质，熟记含 角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点E作 于点F，
∵ 是等边三角形，边长为1， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图， 中， ， ， 于点 ，延长
至点 ，连接 ，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】（ ）证明 为等边三角形即可求解；
（ ）由等边三角形的性质可得 ， ，进而由三角形外角性质得
，即得 ，即可求证；
本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，掌握等边三角形的判定和性
质是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
（2）证明：∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上．且
与 相交于点于点 于点 ．
(1)求证： ；
(2)分别求出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ；
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）证明 即可说明 ；
（2）利用全等三角形的性质得到 ，再由垂直得到 进而解
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学科网（北京）股份有限公司答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据 证明 ．
【详解】（1）证明: 是等边三角形
在 和 中
（2）解：
题型01 等腰三角形两腰相等求解
例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知 是等腰三角形，若 ，那么
的周长是 ．
【答案】11或13
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分 为腰和 为底两种情况，确定对
应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：当 为腰时，则该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为 ；
当 为底时，则该三角形的三边长分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为 ；
综上所述， 的周长是 或 ，
故答案为：11或13．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知 、 为等腰 的边长，且满足 ，则
的底边长是 ．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、绝对值非负性
【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分
类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定 ，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边
关系，分情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得 ，
当等腰 的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11，
能构成三角形；
当等腰 的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5，
∵ ，故不能构成三角形．
综上所述， 的底边长是5．
故答案为：5．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰 的三边长分别为5，11， ，则 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相
关知识是解题的关键．
【详解】解：当腰长为 时，则 ，
解得： ，
此时三边长为 ，
∵ ，
∴不能构成三角形，舍去，
当腰长为 时，则 ，
解得： ，
此时三边长为 ，能构成三角形，
综上， ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形底边长为 ，一腰上的中线把这个三角形的周长分为
两部分，其差为 ，则该等腰三角形的腰长为 ．
【答案】9
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质∶等腰三角形的两腰相等，也考查了三角形三边的关系，分类∶若
或 ，分别求出 ，然后在满足三角形三边的关系的情况下即可得到腰长．
【详解】解∶如图，
为中线，
．
若 ，
．
．
若 ，
．
．
，
(舍去)．
故答案为∶9．
题型02 根据等边对等角求角度
例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰 的一个内角是 ，则它的底角度数为
．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是 ，底角是 即可得
解．
【详解】解：当等腰 的顶角是 ，则它的底角的度数为： ，
当等腰 的底角为 ，则它的底角度数为 ，
综上所述：它的底角的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它顶角的度数是 ．
【答案】 或
【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分 为顶角和底角两种情况计算即可求
解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：当 的角为顶角时，顶角的度数为 ；
当 的角为底角时，顶角的度数为 ；
∴顶角的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为
．
【答案】 或
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关
键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可．
【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知，在 中， ， 为 边上高，且 ，
∴ ；
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知，在 中， ， 为 边上高，且 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述：等腰三角形的顶角度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））如图，在 中 ， ，
， 平分 ，M 为射线 上的一动点． 当 为等腰三角形时， 的度
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学科网（北京）股份有限公司数为
【答案】 或 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角平分线的有关计算
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底
角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形
的性质求出 ， ，根据角平分线的定义求出 ．
分三种情况：当 时，当 时，当 时，画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
①如图，当 时，
，
∴ ；
② 如图 ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
③如图，当 时，
∴ ．
综上分析可知： 的度数为： 或 或
故答案为： 或 或 ．
题型03 根据等边对等角证明
例题：（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 ，
．求证： ．
【答案】证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据等边对等角证
明
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质
得到 ，再证明 得到 ，则可证明 ．
【详解】证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（2025·陕西西安·三模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司与 交于点H．求证： ．
【答案】证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先判定 ，得到
，再利用等角对等边的性质即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上， ，
， 与 相交于点 ，求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出 ，进而证明
是解题的关键．
（1）由 ，推导出 ，而 ，即可根据“ ”证明 ，
则 ；
（2）由全等三角形的性质得 ，即可根据“等角对等边”证明 ．
【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图， 中， ，点 为 的中点，过点 分
别作 于 于 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）由等边对等角得 ，再证 ，即可得出 ；
（2）由 得 ，结合 ，可得 ．
【详解】（1）证明： ，
，
为 中点，
，
又 ，
，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
；
（2）证明：由（1）得： ，
，
又 ，
，
．
题型04 根据三线合一求解
例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，且 ，则 长
为
【答案】2
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到 即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：2．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中， ， 于点D，若
，则 的周长是 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出 的长，再根据三角形周长计算公式
求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的中
线，点 在 上， ，则 等于 ．
【答案】 /110度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得 是
的角平分线，再根据 得出 ，结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】解： 中， ， 是 的中线，
是 的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等腰 的底边 长为4，面积是 ，腰 的垂直平分
线 分别交 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则 的周长
最小值为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接 ，根据中垂线
的性质，得到 ，进而得到 的周长 ，三线合一
求出 的长即可得出结果．
【详解】解：连接 ，
∵腰 的垂直平分线 分别交 边于E，F点，点M为线段 上一动点，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵等腰 的底边 长为4，面积是 ，点D为 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴ 的周长最小值为： ；
故答案为： ．
题型05 根据三线合一证明
例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， ， ，垂足为 ， ，
交 于点 ． 是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】△ 是等腰三角形，理由见解析．
【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△ 是等腰三
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学科网（北京）股份有限公司角形，由等腰三角形三线合一的性质推出 ，由平行线的性质推出 ，得到
，推出△ 是等腰三角形．
【详解】解：△ 是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
△ 是等腰三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在 中， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到 ，然后证明出 ，得到 ， ，然后利用
等腰三角形三线合一性质证明即可．
【详解】证明： ， ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图 ， ， ， 是 的中点．
求证： ．
【答案】见详解
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合
一证明
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的
性质得 ，由三角形外角的性质得 ，由 可判定 ，由全等三角形
的性质得 ，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的
性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
是 的中点，
．
3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在 中， ， 是 边上的中线，
，垂足为E．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 的面积是2，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证
明
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键．
（1）先证明 ， ，然后根据 即可证明 ；
（2）由中线的性质得 ，由全等三角形的性质得 ，进而可求出四边形 的面
积．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ；
（2）解：∵ 是 边上的中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积是2，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 的面积为6．
题型06 根据等边三角形的性质求解
例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，
∴ ，
∴等边三角形的周长为 ，
故答案为：9
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图， 为等边三角形， ， ，则
的度数为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质
是解决问题的关键．根据等边三角形性质得 ，再根据 得
，然后根据平行线性质得 ，最后根据周角的定义可得出 的
度数．
【详解】解： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形 中， ，点D是 的中点，过点D
作 于点F，过点F作 于点E，则 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】5
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形，根据在直角三角形中， 角所对的直角
边等于斜边的一半，求得 ， ， ，再由等边三角形 的边长为4，得出 的长．掌握 角所
对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解： 为等边三角形， ，
， ，
， ，
，
，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知点 、点 分别是等边三角形 中 、
边的中点， ，点 是 边上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的性质、根据成轴对称图形
的特征进行求解
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质三线合一，全等三角形的知识点，解题关
24 / 47
学科网（北京）股份有限公司键是熟练运用等边三角形的性质三线合一的知识点．
连接 交 于 ，连接 ，则 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），再
根据等边三角形的性质求出 的长即可．
【详解】解：连接 交 于 ，连接 ，如图所示，则 最小（根据两点之间线段最短；点到
直线垂直距离最短）
点 、点 分别是等边三角形 中 、 边的中点，
， ， ， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
在 ，
由勾股定理得： ，
的最小值为： ．
故答案为： ．
题型07 根据等边三角形的性质证明
例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 和 是等边三角形，点 ， 分别在 ，
上，且 ，连接 与 交于点 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2) ；
(3) 平分 ．
25 / 47
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角
形的性质
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由等边三角形得到 ， ，然后证明出 ，即可得到
；
（2）由 得到 ， ，然后得到 ，进而求解即可；
（3）作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，由等边三角形得到 ，
， ，求出 ， ，然后由全等得到
，然后证明出 ，得到 ，进而求解即可．
【详解】（1） 和 是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）由（1）知 ，
， ，
，
，
，
，
；
（3）作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，
，
和 是等边三角形，
26 / 47
学科网（北京）股份有限公司， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在 的平分线上，
即 平分 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边 中，点 、 在边 、 上，且 ，
连接 、 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）根据等边三角形的性质得到 ，运用“边角边”即可求证；
（2）根据题意 ，由 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
27 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵在等边 中， ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）如图，D是等边 内一点，且 ，点P是等边 外
一点， ， ．
(1)求 的度数；
(2)设 交 于点E，连接 ， 的边长为10， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)25
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】（1）连接 ，由等边三角形的性质推出 ，判定 ，
得到 ，求出 ，判定 ，推出 ；
（2）过 作 于 ，由等腰三角形的性质推出 ，由平行线的性质判定 ，得到
是等腰直角三角形，因此 ，得到 ，求出 ，得到
，由含 30 度角的直角三角形的性质得到 ，即可求出 的面积．
【详解】（1）解：连接 ，
是等边三角形，
，
，
28 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如（1）图，过 作 于 ，
，
，
，
，
，
∴ 是等腰直角三角形，
，
∵ 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面
积，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是判定 ，由含 30 度角的直角
三角形的性质推出 ．
29 / 47
学科网（北京）股份有限公司3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图， 为等边三角形， ， 交 于点P，
于Q．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度
角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，全
等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选
择恰当的判定条件．
（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理 证得 ；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得 ，所以由“30度角所对的直角边是斜边
的一半”得到 ，进而可得 ，即可得到答案；
（3）证明 ，得到 ，则 ，即求出答案．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
30 / 47
学科网（北京）股份有限公司∵ 于点Q，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（3）解：如图，
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
一、单选题
1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它的底角度数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分
顶角为 和底角为 两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：当它的顶角为 时，
它的底角度数为： ；
当它的底角为 时，
它的底角度数为： ；
∴它的底角度数是 或 ．
故选：C．
2．（24-25七年级下·重庆·期中）等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（
）
A．16 B．20 C．16或20 D．18或20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论；本题考
查了等腰三角形的定义，属于基础题型，明确题意、正确分类求解是关键．
【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8，
此时4、8、8可以构成三角形，
则
∴这个等腰三角形的周长为为20；
②当4为腰时，其它两边为4和8，
∵ ，
∴不能构成三角形，故舍去．
故选B．
3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图， 中， ， 平分 ，则下列结论中，错误的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】等边对等角、三线合一
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 中， ， 平分 ，
∴ ，
故A，C，D正确，
没有条件证明 ，故B错误，
故选：B．
4．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在 中、 、 的平分线相交于 ，过 作
，交 于 ，交 于 ，那么下列结论正确的有（ ）
① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解
题的关键．
根据角平分线的定义，平行线的性质可得 是等腰三角形，由此即可求解．
【详解】解：∵ 是 、 的平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰三角形，故结论①正确；
∴ ， ，
∴ ，故结论②正确；
∴ 的周长等于 ，故结论③错误；
∵ 与 的数量关系不确定，无法判定 与 相等，
∴ ， 不一定相等，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②，共2个，
故选：B．
5．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图， 是等边三角形， ， 于 ，
交 于点 ，下列说法：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证
明 ，再根据全等三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， 正确；
∵ ， ，
∴ ， 正确；
只有当 时， ，②不一定正确；
故选：C．
二、填空题
6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 .
【答案】5
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者
等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问
题的关键．
【详解】解：由题意可知，
①当等腰三角形的腰是3时，
34 / 47
学科网（北京）股份有限公司由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7，
由于 ，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形，
此种情况不成立；
②当等腰三角形的底边是3，
由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5，
∴该等腰三角形的腰长为5，
故答案为：5．
7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在 中， ， 于点 ，点 、 在边 上，点
在点 的左侧，且 ，则图中全等三角形的对数共有 对．
【答案】4
【知识点】全等三角形综合问题、三线合一、等边对等角
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得
出 ， ，推出 ，根据 推出 ，根据 推
出 ，最后根据 推出 ．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
又 ，
，
即有4对全等三角形，
故答案为：4．
35 / 47
学科网（北京）股份有限公司8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在 中， ，点D 在边 上，
，则 ．
【答案】 /27度
【知识点】等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出 ，然后根据
求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点
N和点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短
【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边一半，作M关于
的对称点 ，过 作 交 于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形 角所对直角
边等于斜边一半求解即可得到答案．
【详解】解：作M关于 的对称点 ，过 作 交 于一点P，如图所示，
∵ 是M关于 的对称点， ， ，
∴ ， ， ，
36 / 47
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 中， ， ，射线 从射线 开
始绕点 逆时针旋转 角 ，与 相交于点 ，将 沿射线 翻折至处 ，射线
与射线 相交于点 ．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三
角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得 ， ，再分情
况讨论：（1）当点 在射线 的下方时，① ，② 和③ ；（2）当点 在射
线 的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得．
【详解】解：由折叠的性质得： ， ．
（1）当点 在射线 的下方时，
①如图，当 时， 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，不符合题意，舍去；
②如图，当 时， 是等腰三角形，
37 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，符合题意；
③如图，当 时， 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，符合题意；
（2）如图，当点 在射线 的上方时，
∴ ，
∴此时要使 是等腰三角形，只能是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
38 / 47
学科网（北京）股份有限公司解得 ，符合题意；
综上， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在 与 中， ， ， ，求证：
．
【答案】详见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，结合 ，运用
证明 ，则 ，最后运用等角对等边，即可作答．
【详解】证明： ，
，
，
12．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题：
(1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．
(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．
【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14
(2)另两边是3.5，3.5或5，2
【知识点】三角形三边关系的应用、构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键．
（1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可；
（2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可；
【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是 ，
，构不成三角形，故舍；
②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是 ，
，
∴可构成三角形，
∴三角形的周长 ．
答：这个等腰三角形的周长是14；
（2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
39 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形；
当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形．
∴另两边是 或 ．
13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段 上有点D，E，且 ．在线段 外侧取
点A，使 ．连结 ， ， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求出图中除 与 外所有的等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)除 与 外所有的等腰三角形为： ， ， ， ，见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
（1）由等边对等角得出 ，求出 ，再证明 ，即可得证；
（2）根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
40 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴除 与 外所有的等腰三角形为： ， ， ， ．
14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点 作
于点 ，延长 和 ，交于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形：
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含 角的直角三角形等知识，
掌握相关知识是解题的关键．
（1）由 ，可知 ，再由 ，可知 ，然后余角的性
质可推出 ，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出 ，于是得到结论；
（2）根据直角三角形 度所对的边是斜边的一半，得到 ，再由 可证明 是等边三角形，
最后可得答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
41 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
15．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在 中， 是 边上一点，以 为
边在 右侧作 ，使 ，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ，求 的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据 证明三角形全等即可．
（2）证明 ，推出 ，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解
决问题即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
42 / 47
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
答： 的度数为 ．
16．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图， 与 均为等腰三角形， ，且
， 为 延长线上一点， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解、等腰三角形的
性质和判定
【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，再由三角形内角和定理可得出答案；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，
，则 ， ，再由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
又 ，
；
（2）证明：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
又 ，
， ，
43 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内
角和定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，证明 ．
17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在 中， 是 的中点， ，
，垂足分别为 ，连接 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)当 的度数为_________时， 为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形
的性质和判定、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形判定，等腰三角形的判定与性质及直角三角
形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键；
（1）首先根据等腰三角形的性质得到 ， ，然后证明出 ，得到
，即可证明出 为等腰三角形；
（2） ，根据直角三角形的性质求得 ，再求出
44 / 47
学科网（北京）股份有限公司，即可证明．
【详解】（1）证明： ， 是 的中点，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
∴ 为等腰三角形；
（2）解：当 时， 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ 为等边三角形
故答案为： ．
18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知 和 均是等边三角形．
(1) 与 之间的数量关系为_____；
(2)如图2，当 绕点C旋转至点D，且在 的延长线上时， ， ， 存在什么数量关系？并说
明理由；
(3)如图3，当 绕点C旋转至 经过点B时，过点A作 于点F，请直接写出线段 ，
与 之间的数量关系．
【答案】(1)相等
45 / 47
学科网（北京）股份有限公司(2) ，理由见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质等知识，
解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由等边三角形得到 ， ， ，然后证明出 ，
即可得到 ；
（2）同（1）可得 ，结合 ， 可得结论；
（3）如图所示，连接 ，同（1）可得， ，得到 ， ，然
后求出 ，得到 ，进而求解即可．
【详解】（1）相等，理由如下：
∵ 和 均是等边三角形
∴ ， ，
∴
∴
∴ ；
（2） ，理由如下：
同（1）可得，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如图所示，连接
同（1）可得，
∴ ，
∵
∴
∴
46 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ．
47 / 47
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