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专题 08 长方形和正方形解决问题（解决问题专项）
1．下面几组直线中，哪些互相平行？哪些相交？相交的直线中，哪些互相垂直？
【答案】②④互相平行；①③⑤相交；①⑤互相垂直。
【分析】在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相
交的特殊情况。同一平面内不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成直角时，这两条直线互
相垂直。②④中的两条直线不会相交，是互相平行的关系；①③⑤中的两条直线相交了，且①⑤
中的两条直线相交成了直角，是互相垂直的关系。
【解答】答：②④互相平行，①③⑤相交，相交的直线中，①⑤互相垂直。
2．园艺师傅在修剪花圃的时候会拉一条和地面平行的直线来判断花圃是否修剪得一样高。你知
道这是为什么吗？
【答案】根据两条平行线之间所有垂直线段的长度都相等可知，两人拉着的直线与地面平行，这
样就能保证花圃修剪得一样高。
【分析】根据“两条平行线之间所有垂直线段的长度都相等”即可解答。
【解答】因为两条平行线之间所有垂直线段的长度都相等，所以两人拉着的直线与地面平行，这
样就能保证花圃修剪得一样高。
3．小美的爸爸是一名工程师，他设计的大桥很美观（如图）。请用你学过的知识分析一下桥梁
为什么要设计成平行线？
【答案】因为平行线间的距离处处相等，所以桥梁要设计成平行线。
【分析】平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线，平行线间的距离处处相等，像画格子一
样，保证桥面宽度不变，车开起来较稳，同时桥架形成三角形，利用三角形的稳定性让大桥更牢
固，据此解答。
【解答】根据分析：因为平行线间的距离处处相等，让路更平，使车开起来较稳，所以桥梁要设计成平行线。
4．小林说：“如图所示，直线a与直线b永远不会相交，所以它们是平行线。”你认为小林说
得对吗？为什么？
【答案】不对；在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，直线a和直线b不在一个平面内，
所以不是平行线。
【分析】通常，我们学过的平行线和垂线都是在同一平面内。而直线a和直线b不在同一个平面
内（分别位于长方体的前面和右面的两个平面内），虽然永远不会相交，但也不能说它们是平行
线。
【解答】小林说得不对；在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，直线a和直线b不在一个
平面内，所以不是平行线。
5．仿照例子分别写出三组互相平行和互相垂直的线段。例：AB与DC互相平行，AC与DB互
相垂直。
【答案】见详解
【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直
角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。找互相平行的线段就是找不相交
的线段，找互相垂直的线段就是找夹角是直角的线段。
【解答】
答：AB与EG互相平行，AD与BC互相平行；DC与EG互相平行。（答案不唯一）AB与FH互相垂直，DC与AD互相垂直，EG与BC互相垂直。（答案不唯一）
6．下图是张强同学的沙坑跳远情况。图中测量成绩的方法正确吗？如果不正确，请在图中画出
可供测量成绩的线段。
【答案】不正确；图见详解
【分析】本题判断跳远成绩测量方法是否正确，跳远成绩应是从落脚点（直线外一点）到起跳线
（直线）的垂直距离，即垂直线段的长度。图中测量线未与起跳线形成直角，因此方法错误。正
确做法是过落脚点向起跳线作垂直线段。
【解答】图中的测量方法不正确。
理由：跳远成绩应该是从落脚点（F点）到起跳线的最短距离，这个最短距离是“垂直线段”的
长度。图中画的线段是斜的，不是垂直于起跳线的垂线段，所以测量方法错误。
正确画法：从落脚点F向起跳线画一条垂直线段（使这条线段与起跳线相交成直角），这条垂直
线段的长度才是正确的跳远成绩（如图）。
7．找一找，说一说。
（1）在图中分别找出一条线段、射线、直线，并写下来。
（2）在图中分别找出一组互相平行、互相垂直的线，并写下来。
【答案】（1）线段：EF；射线：BC；直线：AC（答案不唯一）
（2）AC与EF互相平行，EB与BC互相垂直（答案不唯一）
【分析】（1）直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），无端点，可向两边无限
延伸，射线：直线上的一点，可向一方无限延伸.有一个端点，线段：直线上两点间的一段，有两个端点，根据以上定义找；
（2）互相垂直：两条直线互相垂直，所夹的角为直角，也就是90度，互相平行：两条直线永远
不能相交于一点，根据平行、垂直的定义找。
【解答】根据分析 ：
（1）EF是线段，BC是射线，AC是直线；（答案不唯一）
（2）AC与EF互相平行，EB与BC互相垂直。（答案不唯一）
8．老旧小区改造工程正在进行中。
（1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画
一画并说明理由。
（2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（ ）。
【答案】（1）见详解；点到直线的垂直线段最短。
（2）互相平行
【分析】（1）从小区 A、B 到水管的最短连接方式是分别作 A、B 到管道的垂线，这样用料最
省。理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。
（2）画出的这两条水管在平面内的位置关系是平行，因为它们都与同一条直线（原水管管道）
垂直。
【解答】根据分析可知
（1）画图如下：
理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。
（2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是互相平行。9．一天内（0～24时）时针与分针互相垂直的情况有很多，请画出其中的两种情况（只画出整
时），并写出对应的时间。
【答案】见详解
【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一
条直线的垂线。钟面有12个大格，每一大格是30°，30°×3＝90°，当时针与分针之间夹角是3个
大格时，时针与分针互相垂直。
【解答】
10．下图是某街区的平面示意图。
（1）和人民路平行的是（ ）路，和人民路垂直的是（ ）路。
（2）银杏小区需要铺设一条水管，主管道在幸福路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出
来。
【答案】（1）幸福；光明
（2）图见详解
【分析】（1）永不相交的两条直线互相平行，人民路所在的直线与幸福路所在的直线不会有交
点，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，人民路与光明路相交且两条所在的直线相交
成直角。据此解答。（2）要使水管最节省材料，要使其最短，即从银杏小区向幸福路作垂线段，将直角三角尺的一
条直角边与幸福路重合，使得银杏小区在另一条直角边上，沿着这条直角边过银杏小区所在点的
位置向幸福路画线段，即为垂线段，这条垂线段即为铺设管道的路线。
【解答】（1）和人民路平行的是幸福路，和人民路垂直的是光明路。
（2）作图如下：
11．运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳
在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你画的两条线段互相（ ）。（填：“垂直”或“平行”）
（3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210
厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。
【答案】（1）见详解；
（2）平行；
（3）张阳；因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩（理由答案不唯一）
【分析】（1）从图中2个位置分别画2条到踏跳板的垂线段，过直线上或直线外一点作垂线的
步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在
三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就
是已知直线的垂线；
（2）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关
系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况；（3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，
再比较两人最好的成绩即可；据此解答。
【解答】根据分析：
（1）
（2）我画的两条线段互相平行。
（3）张阳：220＞196
李康：215＞210＞205
220＞215
答：我认为张阳会获胜，因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩。（理由答案不唯一）
12．想一想，画一画。
（1）在下图上量一量，音乐楼和体育馆的距离是（ ）厘米。
（2）在图上设计一条从音乐楼到草坪最近的路。
【答案】（1）5
（2）见详解
【分析】（1）根据题意可知，将尺子的边缘同时贴合两个端点，且尺子保持与两点间的直线重
合。将直尺的0刻度线对准音乐楼的端点，让直尺的边缘紧紧贴住体育馆的端点，确保直尺处于
两点的直线上。直接读取体育馆端点对应的直尺刻度，这个数值就是两点间的距离（厘米数）；
测量时尺子要放正，避免歪斜导致读数误差；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以画出音乐楼到草坪边界的
垂线段就是最近的路线。
【解答】（1）经测量可知：音乐楼和体育馆的距离是5厘米。（以实际测量为准）（2）
13．从两副同样的三角板中选出两块，能拼成一个正方形或长方形吗？先拼一拼，再说说拼成的
为什么是正方形或长方形。
【答案】能；理由见详解
【分析】“两副同样的三角板”意味着拥有两块完全相同的直角三角板。根据正方形（四条边相
等，四个角都是直角）和长方形（对边相等，四个角都是直角）的定义。最后通过拼接两块完全
相同的直角三角形的斜边，验证即可。
【解答】根据分析得出：
用两副同样的三角板，可以拼成一个长方形和一个正方形，如图：
拼正方形：选取两块两条直角边相等的三角板，将它们的斜边重合拼接。拼成的图形四个角都是
直角，且四条边长度相等，符合正方形的特征。
拼长方形：选取两块两条直角边不相等的三角板，将它们的斜边重合拼接。拼成的图形四个角都
是直角，且对边长度相等，符合长方形的特征。
所以，能拼成一个正方形或长方形。
14．选择合适的小棒搭不同的长方形，并分别说出它们的长和宽。选择哪些小棒可以搭出正方
形？
【答案】长方形的长是5cm，宽是3cm（答案不唯一）
选4根5cm的小棒，或4根3cm的小棒，或4根4cm的小棒，都可以搭出正方形（答案不唯
一）
【分析】长方形两组对边分别相等，正方形四条边都相等，由长方形和正方形的特点选择小棒（答案不唯一）。
【解答】根据图中小棒长度，选出两根5cm和两根3cm组成长方形，长方形的长是5cm，宽是
3cm。（答案不唯一）
正方形需要4根长度相等的小棒，因此选4根5cm的小棒，或4根3cm的小棒，或4根4cm的小
棒，都可以搭出正方形。
15．乐乐在公园晨跑，第一天沿路线①跑，第二天沿路线②跑。乐乐哪天跑的路程多？为什么？
【答案】一样多。因为长方形的对边相等，两条路线的长度都是长方形的一条长加一条宽，所以
两天跑的路程一样多。
【分析】本题涉及长方形周长的概念，长方形周长等于（长＋宽）×2。路线①和路线②分别是
长方形的两条长与两条宽的不同组合，需要分析两条路线的长度与长方形长和宽的关系。
【解答】把这个图形看作长方形，路线①的长度是长方形的一条长加上一条宽，路线②的长度也
是长方形的一条长加上一条宽。因为长方形的对边相等，所以路线①和路线②的长度是相等的。
所以，乐乐两天跑的路程一样多，因为路线①和路线②的长度都等于长方形的一条长与一条宽
的和。
16．想一想，说一说。
哪几根小棒可以搭成一个长方形？
① 4厘米 ② 2厘米
③ 3厘米 ④ 2厘米
⑤ 5厘米 ⑥ 4厘米
【答案】①②④⑥
【分析】长方形有4条边，它的对边长度相等。有四个角，都是直角。据此选择4根小棒，且2
组相等的小棒即可。
【解答】4厘米、4厘米、2厘米、2厘米的小棒可以搭成长方形，如下图：答：选择①②④⑥可以搭成一个长方形。
17．
（1）用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要
多少个？
（2）用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种
图形各需要多少个？
【答案】（1）正方形需要 个，长方形需要 个；
或正方形需要6个，长方形需要1个。
（2）正方形需要 个，长方形需要3个；
或正方形需要6个，长方形需要2个。
【分析】根据题意可知：要拼成一个边长是 厘米的正方形，使用边长 厘米的小正方形需要 个
并排放置，此时保证长是 厘米，而宽是 厘米，需要再用 个长 厘米，宽 厘米的长方形，即
可拼成；也可以用6个边长为1厘米的正方形拼成2排和一个长 厘米，宽 厘米的长方形
要拼成一个长 厘米，宽 厘米的长方形，需要 个边长1厘米的小正方形和一个长为 厘米，宽
为 厘米的长方形并排放置，此时长 厘米，宽 厘米，再按照这样的方式再摆两排即可拼成；也
可以6个正方形和一个长方形拼成，用据此解答。
【解答】（1）
答：正方形需要 个，长方形需要 个。答：正方形需要6个，长方形需要1个。
（答案不唯一）
（2）
答：正方形需要 个，长方形需要 个。
答：正方形需要6个，长方形需要2个。
（答案不唯一）
18．学校有一个长9米、宽4米的长方形花圃（如图）。为了让同学们行走方便，在花圃中间铺
了一条小路，把原来的长方形花圃变成了两个正方形花圃。这条小路的宽是多少米？【答案】1米
【分析】正方形四条边的长度相等，根据题意可知，两个正方形花圃的边长等于长方形的宽4
米，则用长方形的长9米减去两个正方形的边长，即可求出小路的宽。据此解答。
【解答】9－4×2
＝9－8
＝1（米）
答：这条小路的宽是1米。
19．如图，三个同样大小的正方形一个顶点重合地叠在一起。已知图中 ， 。∠2
的度数是多少？
【答案】33°
【分析】正方形的四个角都是90°角，把∠1和∠2之间夹着的锐角看作∠4，再把∠2和∠3之间
夹着的锐角看作∠5，发现∠1＋∠4＋∠2＝90°；∠4＋∠2＋∠5＝90°；即∠5＝∠1，因此∠2＝
90°－∠3－∠5。
【解答】
已知∠1＝41°，∠3＝16°
∠1＋∠4＋∠2＝90°；∠4＋∠2＋∠5＝90°；所以∠5＝∠1，∠5＝41°。∠2＝90°－∠3－∠5
＝90°－16°－41°
＝74°－41°
＝33°
答：∠2的度数是33°。
20．淘气用同样长的小棒摆长方形和正方形。下图是他摆出的一部分，要摆完各图形至少还需要
多少根小棒？画“√”。
摆长方形 摆正方形
3根 4根 6根 3根 4根 6根
【答案】见详解
【分析】长方形的两组对边分别相等；读图可知，这个长方形的长是2根小棒，宽是1根小棒，
需要摆成一个完整的长方形，需要2根小棒摆长边（长），1根小棒摆短边（宽），即需要3根
小棒；
正方形的四条边长度都相等。这个正方形的边长是2根小棒，还需要3个2根，才能围成一个正
方形。据此解答。
【解答】2＋1＝3（根）
2×3＝6（根）
摆如图中的长方形还需要3根小棒；摆如图中的正方形还需要6根小棒。
作答如下：21．动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利。小兔
和小猪已经站到自己图形的顶点上了（如下图）。
（1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。
（2）你认为这样的比赛公平吗？为什么？
【答案】（1）图见详解；（2）公平；原因见详解
【分析】（1）要想跑到对面的路线最短，即从小兔现在所在的位置，向其对面的边作垂线段，
垂线段即为最短路线，借助直角三角尺，把直角三角尺的一条直角边与小兔对面的边重合，使得
小兔所在的点在另一条直角边上，过这一点沿着这条直角边向其对面的边画线段，即为最短路
线，再按照同样的方法，画出小猪的最短路线图。
（2）由（1）中的图可知，小兔的路线图占小正方形的4条边，小猪的路线图也占小正方形的4
条边，两条线段一样长，所以这个比赛是公平的。
【解答】
（1）
（2）答：比赛公平，因为小兔与小猪所跑的路程是一样长的。
22．如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样
测量她的立定跳远成绩？（1）请在图中表示出合理的测量方法。
（2）画出的两条线段的位置关系是互相（ ）。
【答案】（1）见详解；（2）平行
【分析】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线
作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。
（2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。
【解答】（1）如图：
（2）画出的两条线段的位置关系是互相平行。
23．选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。
（1）选择（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒，就能摆出一个长方形，
请把这个长方形画在下面的方格纸上。（下面方格纸中每个小正方形的边长表示1厘米）
【答案】（1）4；2；
（2）2；3；2；1；图见详解【分析】（1）根据“四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形”，结合图可知，选择
4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）根据“两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形”，结合图可知，选择2
根3厘米和1根1厘米的小棒，就能摆出一个长方形，并把这个长方形画在下面的方格纸上即
可。
【解答】（1）根据分析可知，选择4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）选择2根3厘米和2根1厘米的小棒，就能摆出一个长方形；画图如下：
【点睛】正确理解长方形的特征、正方形的特征，是解答此题的关键。
24．想一想、画一画、量一量。
（1）在上面的点子图上画出已知直线的一条平行线。
（2）过直线上的3个点A、B、C分别向另一条直线画垂直线段。度量可以发现画出的这三条垂
直线段的长度（ ），可以试着再画几条并量一量它们的长度。由此可以得出结论：
________________________。
【答案】（1）见详解
（2）画图见详解；相等；在两条平行线之间，所有的垂线段的长度都相等。
【分析】（1）画已知直线的平行线：先把三角板的一条直边与已知直线重合，并把直尺靠在三
角板另一条直边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与任意点重合，最后沿着三
角板直角边过点画出直线，即为已知直线的平行线。（2）过点A、B、C分别画已知直线的垂线：先将直尺的一边与已知直线重合，把直角三角板的
一条直角边靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边分别与已知点A、B、C重
合，最后沿着三角板另一条直角边画出两平行线之间的垂线段，并标直角符号。通过刻度尺测量
得出结论即可。据此解答。
【解答】（1）（2）如图所示：
（画图、度量长度不唯一）
度量可以发现画出的这三条垂直线段的长度相等，可以试着再画几条并量一量它们的长度。由此
可以得出结论：在两条平行线之间，所有的垂线段的长度都相等。（结论说法不唯一）
25．下图表示的是上海世博会的“一轴四馆”，“一轴”是世博轴，“四馆”是世博中心、世博
会文化中心、世博会主题馆和中国国家馆。
（1）请分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，用数学的眼光来看，我这样画图的依据
是：（ ）；其中到世博轴距离最近的是（ ）。
（2）如果要经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，那么该怎样修呢？在图中画出来。
（3）请你在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线，用数学的眼光来看，我这样画图
的依据是：（ ）。
【答案】（1）见详解；点到直线之间垂线段最短；中国国家馆
（2）见详解
（3）见详解；两点之间线段最短
【分析】（1）根据点到直线之间垂线段最短，结合垂线的画法，分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，解答即可。过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线
滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。
（2）根据平行线的画法，经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，在图中画出来即可。过直
线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，
当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。
（3）根据两点之间线段最短，在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线即可。
【解答】（1）分别画出从“四馆”到“一轴”的最短路线，如图所示，这样画图的依据是：点
到直线之间垂线段最短；3厘米＞2厘米5毫米＞2厘米，所以其中到世博轴距离最近的是中国国
家馆。
（2）经过中国国家馆修一条与世博轴平行的路，经过中国国家馆画世博轴的平行线即可，如图
所示。
（3）在图中画出从世博会主题馆到世博中心最近的路线，如图所示，这样画图的依据是：两点
之间线段最短。
26．如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。
（1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画
图帮助解决）
（2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困
难，可以通过画图帮助解决）
【答案】（1）画图见详解；4厘米
（2）画图见详解；长8厘米、宽2厘米或者长16厘米、宽1厘米
【分析】（1）因为宽是1厘米，长是4厘米，可以如下图拼成正方形：
，边长是4厘米；（2）如果拼成一个长方形，有两种不同拼法，第一种如图：
，长为4×2厘米，宽为1×2厘米；
第二种如图：
，长为4×4厘米，宽为1厘米。
【解答】
（1） ，正方形边长为4厘米；
（2）有两种不同拼法，第一种：
4×2＝8（厘米）
1×2＝2（厘米）
第二种：
4×4＝16（厘米）
答：如果拼成一个长方形，长方形的长为8厘米，宽为2厘米或者长为16厘米，宽为1厘米。
