文档内容
⾼ 级⾼⼀上学期第⼀学⽉考试
2025
数学
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹钢笔或签字笔将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考⽣必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 集合 中的元素个数为（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合 ，下列不是集合A的真⼦集的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
5.“ 是矩形”是“ 是正⽅形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 命题“ ，有 ”的否定是（ ）
A. ，有 B. ，有
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. ，有 D. ，有
7. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正实数 ， 满⾜ ，则 的最⼩值为（ ）
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列各组中 表示不同集合的是（ ）
A. ，
B ，
C. ，
D. ，
10. 若“ 或 ” 是“ ” 的必要不充分条件，则实数 的值可以是（ ）
A.1 B. C. D.
11. 已知不等式 解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 ⾮选择题（92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知集合 ，则 ___________．
13. 《南京照相馆》、《浪浪⼭⼩妖怪》、《⻓安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了
该社区的部分市⺠的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63⼈、观看了《浪浪⼭⼩妖怪》
的有89⼈，观看了《⻓安的荔枝》的有47⼈，三部电影都观看了的有24⼈，观看了其中两部电影的有46
⼈，这三部电影都未观看的有15⼈．则接受调查的市⺠共有________⼈
14. 不等式 对于 恒成⽴，则m的取值范围______.
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ，
（1） ；
（2） .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数m的取值范围;
（2）若 ， ，p是q 充分不必要条件，求实数m的取值范围
17. 菏泽市某⾼中为了更好的开展⾼⼀社团活动，现要设计如图的⼀张矩形宣传海报，该海报含有⼤⼩相等
的左右两个矩形栏⽬（即图中阴影部分），这两栏的⾯积之和为 ，四周空⽩的宽度为 ，两
栏之间的中缝空⽩的宽度为 .
（1）怎样确定矩形栏⽬⾼与宽的尺⼨（单位： ），能使整个矩形海报⾯积最⼩，并求最⼩值；
（2）如果要求矩形栏⽬的宽度不⼩于⾼度的 倍，那么怎样确定矩形栏⽬⾼与宽的尺⼨（单位： ），
能使整个矩形海报⾯积最⼩，并求最⼩值.
18. 已知关于 的不等式 的解集构成集合A，其中 .
（1）若 ，求A；
（2）若A中有4个整数，求a的取值范围；
（3）若 ，解关于x的不等式 .
19. 已知集合 ，且 ， ，其中 ，且 ．若 ，
且对集合 中 任意两个元素 都有 ，则称集合 有性质 ．
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）判断集合 否具有性质 ；
（2）若集合 具有性质 ．
①求证： 的最⼤值⼤于等于 ；
②求 的元素个数 的最⼤值．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⾼ 级⾼⼀上学期第⼀学⽉考试
2025
数学
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹钢笔或签字笔将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考⽣必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 集合 中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举法表示集合，可得解.
【详解】 ，该集合中的元素有 个，
故选：B.
2. 已知集合 ，下列不是集合A的真⼦集的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 的真⼦集，即可判断.
【详解】根据题意，集合 的真⼦集为：
所以不是集合A的真⼦集的是 .
故选：C
第1⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司3. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】 ，
故选：A
4. 若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B 关系，再根据集合的运算可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分包含于集合 ，与集合 的交集为空集，
所以阴影部分表示的集合是集合 与集合 的交集.
因为全集 ，集合 ，所以 或 .
因为集合 ，所以 .
故选：D.
5.“ 是矩形”是“ 是正⽅形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 是矩形得不到 是正⽅形，故充分性不成⽴；
第2⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 是正⽅形⼀定可以得到 是矩形，故必要性成⽴，
所以“ 是矩形”是“ 是正⽅形”的必要不充分条件.
故选：B
6. 命题“ ，有 ”的否定是（ ）
A. ，有 B. ，有
C. ，有 D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤全称量词命题的否定直接判断得解.
【详解】命题“ ，有 ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是： ，有 .
故选：B
7. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤不等式性质，结合作差法⽐较⼤⼩逐项判断.
【详解】对于A，由 ，得 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，B错误；
对于C，由 ，得 ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：D
8. 已知正实数 ， 满⾜ ，则 的最⼩值为（ ）
第3⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离常数后整理化简转化为求 的最⼩值，由 ,利⽤“乘1法”转换变
形后，利⽤基本不等式可得.
【详解】由正实数 ， 满⾜ ，所以 ， .
，
当且仅当 ，结合已知求解得当 ， 时等号成⽴.
所以 的最⼩值为 .
故答案为：C.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列各组中 表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中， 是数集， 是点集，⼆者不是同⼀集合,故 ；
第4⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司选项B中， 与 表示不同的点，故 ；
选项C中， ， ，故 ；
选项D中， 是⼆次函数 所有 组成的集合，⽽集合 是⼆次函数 图
象上所有点组成的集合，故 .
故选：ABD.
10. 若“ 或 ” 是“ ” 的必要不充分条件，则实数 的值可以是（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得 的取值范围，进⽽确定正确答案.
【详解】依题意，“ 或 ” 是“ ” 的必要不充分条件，
所以 或 ，解得 或 ，
所以ACD选项正确，B选项错误.
故选：ACD
11. 已知不等式 解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利⽤不等式性质，整理不等式为⼀元⼆次不等式，结合分类讨论思想，可得答案.
【详解】由 ，则 ， ，
易知 ，可得 ，
当 时，解得 ，
由 ，则 ，
可得 ，解得 ；
当 时，解得 ，由 ，则 ，
第5⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司可得 ，解得 .
故选：BD.
第II卷 ⾮选择题（92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12 已知集合 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合交集的运算直接求解即可．
【详解】 ，
．
故答案为： ．
13. 《南京照相馆》、《浪浪⼭⼩妖怪》、《⻓安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了
该社区的部分市⺠的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63⼈、观看了《浪浪⼭⼩妖怪》
的有89⼈，观看了《⻓安的荔枝》的有47⼈，三部电影都观看了的有24⼈，观看了其中两部电影的有46
⼈，这三部电影都未观看的有15⼈．则接受调查的市⺠共有________⼈
【答案】
【解析】
【分析】根据题意⽤Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算出结果.
【详解】如图所示，⽤Venn图表示题设中的集合关系，
不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪⼭⼩妖怪》、《⻓安的荔枝》的市⺠分别⽤集合 表示，
则 ，
不妨设总⼈数为 ，观看了《南京照相馆》、《浪浪⼭⼩妖怪》的⼈数为 ，
观看了《浪浪⼭⼩妖怪》、《⻓安的荔枝》的⼈数为 ，
第6⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司观看了《南京照相馆》、《⻓安的荔枝》的⼈数为 ，
则 ，
由三个集合的容斥关系公式得，
，
解得 ，故接受调查的市⺠共有 ⼈．
故答案为： .
14. 不等式 对于 恒成⽴，则m的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意不等式 对于 恒成⽴，故只需结合基本不等式求得 的最⼩值
即可.
【详解】因为不等式 对于 恒成⽴，
所以不等式 对于 恒成⽴，
所以不等式 对于 恒成⽴，
所以不等式 对于 恒成⽴，
⽽当 时， ，
等号成⽴当且仅当 ，所以当 时， 有最⼩值3，
则m的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
第7⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司15. 已知集合 ，
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】(1)根据交集和并集的定义运算即可；
(2)利⽤补集和交集的定义运算即可.
【⼩问1详解】
，
则 ；
【⼩问2详解】
或 ，则 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数m的取值范围;
（2）若 ， ，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论 ， 两种情况，结合交集运算的结果得出实数 的取值范围；
（2）由p是q成⽴的充分不必要条件，得出 是 的真⼦集，再由包含关系得出实数 的取值范围．
【⼩问1详解】
由 ，得
①若 ，即 时， ，符合题意；
第8⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司②若 ，即 时，需 或 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
【⼩问2详解】
∵p是q的充分不必要条件，
∴ ，
∴ 是 的真⼦集．
则 不同时取等号，解得 ．
实数 的取值范围为 ．
17. 菏泽市某⾼中为了更好的开展⾼⼀社团活动，现要设计如图的⼀张矩形宣传海报，该海报含有⼤⼩相等
的左右两个矩形栏⽬（即图中阴影部分），这两栏的⾯积之和为 ，四周空⽩的宽度为 ，两
栏之间的中缝空⽩的宽度为 .
（1）怎样确定矩形栏⽬⾼与宽的尺⼨（单位： ），能使整个矩形海报⾯积最⼩，并求最⼩值；
（2）如果要求矩形栏⽬的宽度不⼩于⾼度的 倍，那么怎样确定矩形栏⽬⾼与宽的尺⼨（单位： ），
能使整个矩形海报⾯积最⼩，并求最⼩值.
【答案】（1）矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 时可使矩形海报的⾯积最⼩为
（2）矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 ，可使矩形海报的⾯积最⼩为
【解析】
【分析】（1）设矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 ，根据题意可知 ，矩形海报的⾯积
第9⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，然后再根据基本不等式，即可求出矩形海报的⾯积最⼩；
（2）由题意可知， ， ，可得 ，由（1）可得
，再根据函数的单调性即可求出结果.
【⼩问1详解】
解：设矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 ，
则 ，矩形海报的⾼为 ，宽为 （其中 ， ），矩形海报的⾯积
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 时可使矩形海报的⾯积最⼩为 .
【⼩问2详解】
解：由题意得， ， ，解得 ，
由（1）可得 ，
令 ，易知函数在 上单调递减，
所以当 时，矩形海报 ⾯积最⼩为 .
故当矩形栏⽬的⾼为 ，宽为 ，可使矩形海报的⾯积最⼩为 .
18. 已知关于 的不等式 的解集构成集合A，其中 .
（1）若 ，求A；
（2）若A中有4个整数，求a的取值范围；
（3）若 ，解关于x的不等式 .
【答案】（1） 或
（2）
第10⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据⼀元⼆次不等式的解法求解即可；
（2）根据含参⼀元⼆次不等式的解法分情况讨论求出集合A，再结合A中有4个整数求解即可；
（3）由 可得 或 ，进⽽分情况讨论求解即可.
【⼩问1详解】
当 时，不等式为 ，
即 ，所以 ，
所以 或 .
【⼩问2详解】
当 时，该不等式可化为 ，即 ，不满⾜题意；
当 时，该不等式可化为 ，
所以 ，则 或 ，
因为 ，所以 ， ， ，
若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2， ， ，
则 ；
同理可得 时， 或 ，
因为 ，所以 ， ， ，
若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2， ， ，
则 ，即 .
综上所述， 的取值范围是 .
【⼩问3详解】
第11⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ， ，所以 ，解得 或 .
不等式 ，可化为 ，
该不等式等价于 ，
当 时， ，该不等式等价于 ，
因为 ，则 ，
所以原不等式的解集为 ；
当 时， ， ，解不等式得 或 ，
所以原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 已知集合 ，且 ， ，其中 ，且 ．若 ，
且对集合 中的任意两个元素 都有 ，则称集合 有性质 ．
（1）判断集合 是否具有性质 ；
（2）若集合 具有性质 ．
①求证： 的最⼤值⼤于等于 ；
②求 的元素个数 的最⼤值．
【答案】（1）该集合不具有性质
（2）10
【解析】
第12⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）由 即可求解.
（2）①设 中元素 ，由 ，即可解决；②要使
的元素个数 的最⼤，由 中的元素满⾜ ，根据①中结论
得 ，然后逐个讨论 的值即可解决.
【⼩问1详解】
由题知，集合 ，
，
该集合不具有性质
【⼩问2详解】
①证明： ，不妨设
，则 ，
故 ，
故 的最⼤值⼤于等于 .
②对任意正整数 ， ，与①类似可得 ，
⼜显然 ， ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
⼜ ，且k为正整数，当 或5时， ，
所以 的最⼩值为11，
所以 ，即 ．
⼜集合 符合性质P，
第13⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司且A中含10个元素，所以n的最⼤值为10．
第14⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
