文档内容
保密★启用前【考试时间：2025年1月14日9：45—11：45】
高中 2024 级第一学期末教学质量测试
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅
笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再
选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：D
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例可判断A、B、D是假命题；利用作差法比较大小可判断C正确.
【详解】对于A，当 时， 不成立，故A是假命题；
对于B，当 时， 不成立，故B是假命题；
对于C，因为 ，则 ，所以 ，故C是真命题；
对于D，当 时， 不成立，故D是假命题；
故选：D
3. 设 有意义， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由 有意义，可得 ，此时显然 成立，
若 ，显然 成立，但是 没有意义，
故选：A
4. 下列函数，满足“对任意 ，且 ，都有 ”的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，即函数在 上单调递减，逐个选项判断即可.【详解】由对任意的 ，且 ，都有 ，
即函数 在 上单调递减.
对于A， ，而函数 在 上单调递增，故A错误；
对于B，由余弦函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故B正确；
对于C， 在 上单调递增，故C错误；
对于D， 在R上单调递增，故D错误.
故选：B.
5. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 的定义域 ，排除B,D,
定义域关于原点对称，因为 ，所以函数 是偶函数，排除C，
所以函数 的图象大致为A.
.
故选：A
6. 设函数 则 （ ）
A. B. 1 C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】 ，
故选：D
7. 将甲桶中的 溶液缓慢注入空桶乙中，经过 后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线
.假设经过 甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到 共需要注入的时间约
为（ ）（参考数据： ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用代入法求出 的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式
进行求解即可.
【详解】因为经过 甲桶和乙桶中的溶液量一样，
所以 ，即
设乙桶中的溶液达到 共需要注入的时间为 ，则有
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式.
8. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，则转化为 ，函数 有三个
不同的零点，转化为 有两个根，一个根在 另一根在 ，根据二次方程
根的分布即可求解.
【详解】令 ，则 ，由函数 有三个不同
的零点，
转化为 有两个零点，一个零点 或另一个零点 ，则
，
则一元二次方程 的两根为 ，即 的一个根在
另一根在 ，
令 ，则有 ，即实数 的取值范围为 ，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 ，函数 的值域是 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可.
【详解】当 时， ，显然此时函数的值域不是 ，不符合题意；
当 时， ，对称轴为 ，
因为二次函数 的值域是 ，且 ，
所以有 ，因此选项AB正确，
若 且 ，所以由二次函数的对称性可得 ，
因此选项C不正确；由 ，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以选项D正确，
故选：ABD
10. 若函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（
）
A.
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 图象关于点 中心对称
D. 当 时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到 且 ，即可判断A，由 可得
的对称轴，即可判断B，再推导出 ，即可判断C，最后根据奇偶性求出函
数在 时的解析式，即可判断D .
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 且 ，
又 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 关于 对称，故B错误；
由 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 ，即 ，所以函数 的图象关于点 中心对称，故C正确；
因为当 时， ，
设 ，则 ，所以 ，
当 时 也成立，
所以当 时， ，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数 （e为自然对数的底数），则（ ）
A. 函数 的定义域为 B. 函数 是增函数
C. 函数 是奇函数 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】由 ，因此选项A正确；
，
当 时，函数 ， 单调递增，
所以 也单调递增，因此选项B正确；
因为 ，所以函数 是不是奇函数，选项C不正确；
由上可得 ，因为函数 是 增函数，
所以有 且 ，因此选项D不正确，故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质进行求解.
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可；
【详解】由题意可得： ，
解得： 且 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
13. 某扇形的圆心角为2弧度，半径为 ，则该扇形的面积为___________
【答案】16
【解析】
【分析】利用扇形的面积S ，即可求得结论．
【详解】∵扇形的半径为4cm，圆心角为2弧度，
∴扇形的面积S 16cm2，
故答案为：16.
14. 已知函数 ，当 时， ，且函数 在 上的最大值与最小
值之差为2，则 的值为__________.【答案】8
【解析】
【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】函数 的图象如下图所示：
当 时， ，因此有 ，
由 ，
于是当 ，即当 时，因为 ，
所以 ，由函数图象可知 ，
， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为函数 在 上的最大值与最小值之差为2，
所以 ，
因此 ，
故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到
，再根据函数的单调性进行求解.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边经过点 .
（1）求 ；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据任意角三角函数定义分别法求解即可；
（2）先应用诱导公式化简，再代入三角函数值计算求解.
【15题详解】
角 的终边经过点 ，
.
.
【16题详解】.
16. 已知关于 的不等式 的解集为 .
（1）求 的值；
（2）若函数 ，当 时，求函数 的最小值（用 表示）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式 的解集为 ，得 是方程 的两根，
根据根与系数的关系即可得解；
（2）函数 的图象的对称轴为 ，根据对称轴分布的情况分类讨论，即可求出函数
的最小值.
【小问1详解】
关于 的不等式 的解集为 ，
是方程 的两根.
由根与系数的关系，得 ，解得 ，.
【小问2详解】
由（1）知 ，所以函数 图象的对称轴为 ，
当 时，函数 在 上递减，
则 ；
当 时，函数 在 上递减，在 上递增，
；
当 时，函数 在 上递增，
.
综上， .
17. 某工厂生产 两种产品， 产品的利润 （单位：万元）与投入金额 （单位：万元）的关系
式为 产品的利润 （单位：万元）与投入金额 （单位：万元）的
关系式为 .已知投入3万元生产 产品可获利润为7万元，投入
32万元生产 产品可获利润为65万元.
（1）求实数 的值；（2）该企业现有47万元资金全部投入 两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？
并求出最大利润.
【答案】（1） ，
（2）A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.
【解析】
【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可.
【
小问1详解】
，
，
解得 .
，
，
解得 .
【小问2详解】
设A生产线投入 万元，则B生产线投入 万元，企业获得利润为 .
由（1），得 ，
，
，
整理，得 ，
变形得， ，即 .
，当且仅当 时等号成立.
.
，
当且仅当 时等号成立.
当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.
18. 函数 的最小正周期为 ，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调递减区间；
（3）若函数 在 有三个不同的零点从小到大依次为
，求实数 的取值范围及 的值.
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】【分析】（1）由题意函数 的最小正周期为 即可求出 ，由 即可求出 ；
（2）由 求出 ，令 由函数 的单调递减区间即可求
解；
（3）函数 的零点得 ，得 或
，分类讨论即可得解.
【小问1详解】
函数 的最小正周期为 ，
.
，
，
.又 ，
.
.
【小问2详解】
令 ，则 .
函数 的单调递减区间是 ，，
解得 .
函数 在 上的单调递减区间是 .
【小问3详解】
，
.
或
或 ，
，
由 ，
有两个不同的解， ，
，
此时 ，
，
.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的
一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数 .类似的有双曲正弦函数 ，我们也可以定义双曲正切函数 .已知函数 和 具有如下性质：①定义域都为 ，且 是增函数；②
是奇函数， 是偶函数；③ .（常数e是自然对数的底数， ）
（1）求双曲正弦函数 和双曲余弦函数 的解析式；
（2）求证： ；
（3）函数 在区间 上的值域是 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据 ，函数 为 上的奇函数， 为 上的偶函数得
联立方程组即可求解；
（2）由（1）得函数 和 的解析式代入即可得证；
（3）由（1）知，函数 为 上的单调增函数， 函数 在区间
上的值域是 ，得关于 的方程 有两个互异实根，令 ，方
程 有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【小问1详解】
函数 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且 ，即
解得 .
函数 均为 上的增函数，
函数 为 上的增函数，合乎题意.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
.
又 ，则 .
由（1）知，函数 为 上的单调增函数.
函数 在区间 上的值域是 ，
即关于 的方程 有两个互异实根.
令 方程 有两个互异正根.
解得 .
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要
用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．
