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第 21 讲 圆 答案解析(教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一 与圆有关的概念
1.圆的定义
定义一 如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点
P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.
定义二 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC；
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 直径是圆内最长的弦。
3.弧、半圆、优弧、劣弧
（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧；
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图 ；
（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图 .
4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6.弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7.同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不
相等的两个圆叫做同心圆。
8.等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
知识点二 圆的相关性质及推理
1.圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆
的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）如图，①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④ ；⑤ ，
只要已知其中两个结论，则可以推出另外三个结论，即“知二推三”.
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的
垂线，构造直角三角形（如图Rt△COE）.
3.弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
第 1 页 共 103 页推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等。
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两
个度数和为180°。
5.圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做
这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆的内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等
弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
知识点三 点与圆、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
P
r P r P
r
d d d
图1 图2 图3
(1)dr 点在⊙O外．
2.直线与
⇔
圆的位置关系：
⇔ ⇔
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
r r r
图示 d
d
d
公共点个数 2 1 0
公共点名称 交点 切点 -
直线名称 割线 切线 -
结论 d＜r 相交 d=r 相切 d＞r 相 离
⇔ ⇔ ⇔
3.切线的性质与判定
（1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线
垂直于经过切点的半径。
（2）切线的判定
第 2 页 共 103 页①定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
②数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切；
③判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
▶切线判定常考的两种类型：
①直线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；
②直线与圆没有公共点时，作垂直，证半径。
（3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
知识点四 确定圆的条件
1.过一点作圆：经过一点A作圆，可以作无数个，如图所示：
2.过两点作圆：经过两点A、B作圆，也可以作无数个，如图所示：
3.过不在同一条直线上的三个点作圆
经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段
AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆有且只有一
个，
结论： 不在同一条直线直线上的三个点可以确定一个圆 .
4.三角形的外接圆与内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O为△ABC的外心，△ABC为⊙O的一个内接三角形. 三角形的外心
是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径.
A
O
B C
其中，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝
角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：
第 3 页 共 103 页三角形的外接圆与内切圆对比
图形 名称 性质 位置 角度关系
外心（三角形外接圆 到三角形三个顶点
外心不一定在
的圆心，三角形三边 的距离相等，都等 ∠BOC＝2∠A
三角形的内部
中垂线的交点） 于外接圆的半径
内心（三角形内切圆 到三角形三边距离
内心一定在三
的圆心，三角形三条 相等，都等于内切
角形的内部 ∠BOC＝90°+
内角平分线的交点） 圆的半径
∠A
知识点五 正多边形与圆
1. 圆内接正多边形的相关概念
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 半径 R
中心：正多边形的外接圆的圆心。
中心角
半径：正多边形外接圆的半径。 O
中心角：正多边形每一边所对的圆心角。
边心距 r
边心距：中心到正多边形的一边的距离。
2.正多边形的对称性：
正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
边数为偶数的正多边形，是中心对称图形，它的中心（外接圆的圆心）就是对称中心.
边数为奇数的正多边形，不是中心对称图形，例如正三角形，正五边形等.
3.正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角= ； (2)正n边形每个中心角=每个外角= ；
知识点六 弧长、扇形面积、圆锥的公式（☆☆☆）
1.弧长公式
如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为 ，那么 的圆心角所对
第 4 页 共 103 页的弧长公式为 ； 即弧长公式为
2.扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；
（2）扇形的面积公式：
在半径为 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(整个圆的面积)为 ；
所以 的圆心角所对的扇形面积公式 .
3. 圆锥的相关概念与公式
（1）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
（2）把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于
圆锥的母线长. 如图，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为
.圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，由勾股定理 .
所以，圆锥的侧面积公式为 .
圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
4.弧长、扇形面积、圆锥的公式归纳
P
2πr
O
l
R h
n°
l B O r A
（1）弧长公式： （其中l表示弧长，R是半径，n表示圆心角.）
（2）扇形面积公式：
（3）圆锥侧面积公式：S = πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
侧
（4）圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
第二部分：考点突破
考点1圆的有关概念与性质
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉
第 5 页 共 103 页到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段
圆弧，
故选：C．
2．（2022·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C， ，OC＝ OD，则
∠ABD的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结
合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求
出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
【详解】如图：连接OB，
第 6 页 共 103 页∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝ OD，
∴OC＝ OB．
∵OC⊥AB，
∴ ,
∴∠OBC＝30°．
∵ ，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，
三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．
3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形
的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求
解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
第 7 页 共 103 页∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面
积，是解题的关键．
4．（2010·甘肃兰州·中考真题）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形
的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，
故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：B．
考点2垂径定理
5．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
（ ）
第 8 页 共 103 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理即可得到 ．
【详解】解：连接 ．
∵ 是 的直径， 是弦， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则 的
最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
第 9 页 共 103 页【分析】如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，由垂径定理得 ，进而得
，点 关于 的对称点为点 ，根据两
点之间线段最短得当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 的长，在利用直角三角形的
性质即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，
∵ 于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 关于 的对称点为点 ，
∴ ，
∴
当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
第 10 页 共 103 页∴ 的最小值 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练
掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是 的弦，半径 于点 ．若 ， ．则
的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到 的长，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
故选：A．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则 的
半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，
第 11 页 共 103 页∴ ， ，
在 中， ，
故选：B．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高
点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
第 12 页 共 103 页故选B
10．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，
以点 为圆心， 长为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接 ，先根据点 的坐标可得 ，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，
然后根据等腰三角形的三线合一可得 ，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
点 的坐标为 ，
，
由同圆半径相等得： ，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又 点 位于 轴正半轴，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的
三线合一是解题关键．
11．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．则
第 13 页 共 103 页的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到 ，在 中，由勾股定理求解 ，再由 即可
求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为：2．
12．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如
图是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切
于点 ，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到 ，由垂径定理可得 ，由圆周角定
第 14 页 共 103 页理可得 ，进而证明 是等边三角形，得到 ，再根据阴影部分的面积
求解即可．
【详解】解： 所在圆的圆心为点O，边 与 相切于点 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边
三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
13．（2025·湖北·中考真题）如图， 是 的外接圆， ．过点 作 ，垂足为
，交 于点 ，交 于点 ．过点 作 的切线，交 的延长线于点 ．
第 15 页 共 103 页(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) 的半径
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到 ，可得 是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到 ， 是等腰直角三角形，由（1）得到 ，则 ，如
图所示，连接 ，设 ，则 ，由此勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， 是 的切线，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
如图所示，连接 ，设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得， ，
第 16 页 共 103 页∴ ，
∴ 的半径 ．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切
线的性质等周四，数形结合分析是关键．
考点3圆心角与圆周角
14．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧
所对的圆周角相等是解题的关键．根据 是 的直径得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
15．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周
第 17 页 共 103 页角定理是解题的关键．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故选：B．
16．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出 ，
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
17．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出
第 18 页 共 103 页的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ 且 ，
∴ ，
故选：C．
18．（2025·广东·中考真题）如图，在直径 为 的圆内有一个圆心角为 的扇形 ．随机地往
圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 是等腰直角三角形，求出
，然后得到 ，然后分别求出 和 ，然后根据概
率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作 于点D
∵ 是直径
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∵
第 19 页 共 103 页∴ ，
∴
∴ ，
∴该粒米落在扇形内的概率为 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是
直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
19．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到 ，根据
得到 ，即可得到 的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到
解答．
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知： ，
，
，
∵ ，
．
故选：C．
20．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
第 20 页 共 103 页，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从而
可得 ，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌
握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
21．（2025·陕西·中考真题）如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为
第 21 页 共 103 页．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．先根据 为 的直径， ，则 ，再根据 ，即
，代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
22．（2025·安徽·中考真题）如图， 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O在线段 上．已知
，则 的大小为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接 ，由切线的性质可得
，根据直角三角形两锐角互余可得 的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接 ，
第 22 页 共 103 页∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为直径 延长线上一点，
， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心
角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
连接 ，根据圆内接四边形性质求得 ，结合弧、弦、圆心角的关系推出 ，进而得到
，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到 ，最后根据
求解，即可解题．
【详解】解：连接 ，
四边形 内接于 ， ，
，
第 23 页 共 103 页，
，
，
为直径，
，
；
故答案为： ．
24．（2023·江苏·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若 ，
，则 的直径 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，根据在同圆中直径所对的圆周角是 可得 ，根据圆周角定理可得
，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得 ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ， ，如图：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
第 24 页 共 103 页在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股
定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点4点、直线与圆位置关系
25．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形 中， ， ， 的外接圆为 ，且半径
为5，边 中点为 ，如果以 为圆心的圆与 相交，那么 的半径可以为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关
键；根据题意，等腰 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得 ；当 与
相交时，圆心距需满足条件 ，代入数值求解r的范围，进而确定选项．
【详解】解：如图，连接 并延长交 于点E，
∵ ，D为 中点，
∴ ， ；
∵锐角三角形 中， ，
∴外接圆心O在 上，
连接 ，由勾股定理得： ；
设以D为圆心的圆的半径为 ， 相交应满足： ，
即 ，解得： ；
在此范围的半径只有选项B；
第 25 页 共 103 页故选：B．
26．（2025·福建·中考真题）如图， 与 相切于点A， 的延长线交 于点C． ，且交
于点B．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接 ， ，切线得到 ，求出
，平行，得到 ，进而得到 为等边三角形，推出
为等边三角形，即可得出结果．
【详解】连接 ， ，则： ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选C．
27．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
第 26 页 共 103 页（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到 ，然后根据圆
内接四边形的性质和邻补角的定义得到 解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵四边形 内接于 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：C．
28．（2025·云南·中考真题）已知 的半径为 ，若点 在 上，则点 到圆心 的距离为
．
【答案】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点
和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为 ，圆的半径为 ，若点在圆外，则 时，
当点在圆上时，则 时；当点在圆内时，则 ．
【详解】解：∵点 在 上，
∴点 到圆心 的距离为 ，
故答案为： ．
29．（2025·黑龙江·中考真题）如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径， ，
第 27 页 共 103 页【答案】 /70度
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据 是切线，得到 ，
从而 ，根据切线长定理得到 ，从而 ，进而由三
角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 是圆O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
30．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， 的半径
为6，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接 并延长，交 于点 ，连接
，由圆周角定理得到 ，根据圆内角四边形的内对角互补，求出 的度数，
再解直角三角形求出 的长即可．
【详解】解：四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ，
第 28 页 共 103 页连接 并延长，交 于点 ，连接 ，则： 为 的直径， ，
∴ ，
∵ 的半径为6，
∴ ，
在 中， ；
故答案为： ．
31．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形 中， ， 与梯形 的各
边都相切，且 的面积为 ，则点 到 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定
与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
设 分别与 的切点记为点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，由圆的切线的性质证明四边形 为矩形，则
，可求圆的半径为 ，设 ，在 中有勾股定理建立方
程 ，解得： 或 （舍），同理可得： ， ，最后由
即可求解．
【详解】解：设 分别与 的切点记为点 ，连接 ，过点 作 于
第 29 页 共 103 页点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵梯形 ， ，
∴点 共线，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （舍），
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第 30 页 共 103 页∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为 ，
故答案为： ．
32．（2024·江苏徐州·中考真题）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点
，若 ，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接 ，构造直角三
角形，利用 ，从而得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
；
，
，
故答案为：35
33．（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意一点，
点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则 的
长为 ．
第 31 页 共 103 页【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识
是解题关键．
先证 可得 从而得到 ，求得 ，再运用勾股定理
可得 ，再根据圆周角定理以及角的和差可得 ，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
第 32 页 共 103 页考点5切线的性质与判定、切线长定理
34．（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于点A，
连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出
，有圆的切线定理可得出 ，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵以 为直径的 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
35．（2024·福建·中考真题）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，
且 为 的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
第 33 页 共 103 页【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为 的中点，三角形内
角和可求出 ，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵ ， 为 的中点，
∴
∵
∴
∵直线 与 相切，
∴ ，
∴
故选：A．
36．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ﹐点C在 上，
，连接 并延长，交 于点D，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到 和 ，再利用四边形的内角和为 进
而可求得 ，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解： ，
，
又 是 的切线，
，
，
又 ，
，
，
第 34 页 共 103 页又 ，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是 ，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟
练掌握其基本知识是解题的关键．
37．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形 中， 分别与扇形 相切于
点 ．若 ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】D
【分析】连接 ，作 于点 ，由 ， 分别与扇形 相切于点 ， ， ，
得 ， ， ， ，求得 ，再证明四边形
是矩形，则 ， ，由勾股定理得 ，求得 ，
即可解答．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，
则 ，
， 分别与扇形 相切于点 ， ， ， ，
， ， ， ，
，
第 35 页 共 103 页，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
解得： ，
故选：D．
【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出
辅助线是解答本题的关键．
38．（2023·湖南湘西·中考真题）如图， 为 的直径，点 在 的延长线上， ， 与 相切，
切点分别为C，D．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 、 、 ， 交 于 ，如图，利用切线的性质和切线长定理得到 ，
， 平分 ，根据等腰三角形的性质得到 ，则 ，根据圆周角定理
得到 ，所以 ，然后求出 即可．
【详解】解：连接 、 、 ， 交 于 ，如图，
第 36 页 共 103 页， 与 相切，切点分别为 ， ，
， ， 平分 ，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在 中， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角
形．
39．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为圆心， 为半
径的弧恰好与 相切，切点为 ．若 ，则 的值是（ ）
第 37 页 共 103 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作 延长线于 点，连接 ，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理
求解在 和 ，最终得到 ，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作 延长线于 点，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形， ， ，
∴ 为 的切线，
由题意， 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
第 38 页 共 103 页解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练
运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
40．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，
OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC=DT B．AD= DT C．BD=BO D．2OC=5AC
【答案】D
【分析】根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得△ADC是等
腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得到
∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；
【详解】解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，故选项A正确；
第 39 页 共 103 页∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD= CD= DT，故选项B正确；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故选项C正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2 ，
∴ ，
2OC 5AC故选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
41．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，点D在 的延长
线上，连接 ， ，过点B作 ，交 于点E．
第 40 页 共 103 页(1)求证： 是 的切线；
(2)若点B是 的中点，且 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是
解题的关键：
（1）连接 ，圆周角定理，得到 ，进而得到 ，等边对等角，得到
，结合 ，推出 ，即可得证；
（2）根据线段之间的数量关系求出 ，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，
即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，即 ，
．
为 的半径，
是 的切线．
第 41 页 共 103 页（2）解： 点B是 的中点，
．
，
．
，
．
又 ，
．
．
在 中 ．
．
即 半径为 ．
42．（2025·青海·中考真题）如图，线段 经过圆心 ，交 于点 ， ， 为 的弦，连接 ，
．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)已知 ，求 的长（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出 ，再根据 得 ，进而可得
，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得 ，设 ，则 ，求出 ，再得
第 42 页 共 103 页，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
且 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：在 中， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 的长为： ．
43．（2025·山东·中考真题）如图，在 中，点 在 上，边 交 于点 ， 于点 ．
是 的平分线．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
第 43 页 共 103 页(2) ．
【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．
（1）利用等边对等角求得 ，由角平分线的定义求得 ，可证明 ，
即可证明 为 的切线；
（2）先证明 等腰三角形，求得 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
即 且 为半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ，又 ，
∴ 等腰直角三角形，
∵ 的半径为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
44．（2024·四川自贡·中考真题）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为D，
E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是 ， ________， ________；若 ， ，则
第 44 页 共 103 页半径长为________；
(2)如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．
求证： 是 的切线．
【答案】(1) ； ；1
(2)见解析
【分析】（1）根据切线长定理得到 ， ， ，代入求解即可得到答案；
（2）证明 ，推出 ， ， ，求得
， ，根据 ，列式求得 ，
根据切线的判定定理，即可得到 是 的切线．
【详解】（1）解：连接 ，设 半径为 ，
∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ， ， ；
在四边形 中， ，
四边形 为矩形，
又因为 ，
四边形 为正方形．
则 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ； ；1；
（2）证明：连接 ， ， ，作 于点 ，
第 45 页 共 103 页设 半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，
正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
45．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接 ， ， ，
取 的中点C，连接 并延长，交 于点D，连接 ．
(1)求证： ；
第 46 页 共 103 页(2)延长 交 的延长线于点E．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) 长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得 平分 ，利用圆周角定理得 ，等量代换即可证
明；
（2）延长 交 于点F，连接 ，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根
据相似求得 长．
【详解】（1）证明： ， 分别切 于A点，B点，
平分 ，
，
又 ，
，
．
（2）延长 交 于点F，连接 ，则 ，
， 分别切 于A点，B点，
C为 的中点，
，
，
又 ， ，
，
，
第 47 页 共 103 页， ，
，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性
质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
考点6三角形的外接圆、内切圆
46．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直
平分线的交点．
【详解】解： 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，
角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选： C．
47．（2023·广东广州·中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
第 48 页 共 103 页A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接 ．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的
性质，属于中考常考题型．
48．（2023·山东泰安·中考真题）如图， 是 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
， ，则阴影部分的面积是（ ）
第 49 页 共 103 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得 ，再根据扇形
的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出
是解答的关键．
49．（2023·湖北·中考真题）如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上
的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格的特点作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，设 与 相交于点O，
连接 ，则点O是 外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，
从而可得 ，然后根据 ，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，设 与 相交于点O，连接
第 50 页 共 103 页，则点O是 外接圆的圆心，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
50．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点 是 的外心，∠ ，连结 ， ，则 的
度数是（ ）．
第 51 页 共 103 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作 ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答
案．
【详解】 的外接圆如下图
∵∠
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完
成求解．
51．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
第 52 页 共 103 页【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定理求
出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于G，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
52．（2023·湖北·中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别相切
于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】如图所示，连接 ，设 交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求
出 ，再由切线长定理得到 ，进而推出 是 的垂直平分线，即 ，则
第 53 页 共 103 页．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于H，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 分别相切于点 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三
角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
53．（2022·江苏常州·中考真题）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，则
的半径是 ．
第 54 页 共 103 页【答案】1
【分析】连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 、 ，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
54．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， ， ，
为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【分析】连接 ，作 的平分线交 于点 ，作 于 ，如图求得
，则 ， ，所以 平分 和 ，加上
平分 ，根据角平分线性质得到点 到四边形 的各边的距离相等，则得到 是四边形
的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为 ，接着证明 为等腰直角三角形得
到 ，设 ，则 ， ，然后证明 ，利用相似比可计算出 ．
【详解】解：连接 ，作 的平分线，交 于点O，作 于 ，
第 55 页 共 103 页在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
平分 和 ，
平分 ，
点 到四边形 的各边的距离相等，
∴ 是四边形 的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为 ，
，
，
∴ 为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
即 ，
．
即 的半径为 ，
∴圆形纸片的半径为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切
第 56 页 共 103 页圆是所求的面积最大的圆是解题的关键．
考点7正多边形与圆
55．（2024·四川雅安·中考真题）如图， 的周长为 ，正六边形 内接于 ．则 的
面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
【详解】解：设半径为 ，由题意得， ，
解得 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴弦 所对应的弦心距为 ，
∴ ．
故选：B．
56．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐
家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，
则图中阴影部分的面积是（ ）
第 57 页 共 103 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的
关键．
如图：连接 相交于O，由正方形的内切圆的半径是2， ， ，再运用勾股定
理可得 ，则 ，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接 相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴图中阴影部分的面积是 ．
故选D．
57．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形 和正五边形 内接于 ， 和 相交于
点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
第 58 页 共 103 页【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三
角形的性质，连接 ，设 与 相交于点 ，由圆的内接正多边形的性质可得
， ，即得 ，即可由圆周角定理得
，进而由三角形内角和定理得 ，再由直角三角形两锐角互余
得到 ，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，设 与 相交于点 ，
∵正四边形 和正五边形 内接于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
58．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
【答案】18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
第 59 页 共 103 页59．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 与正六边形 的边 ， 分别相切于点C，F．若
，则 的半径长为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ， ，过点D作 于点G，过点E作 于点H，根据切线的性质
得到 ，求得 ，根据等边三角形的性质得 ，
求得 ，根据全等三角形的性质得 ，得到 ，求得
，过点O作 于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】连接 ， ， ，过点D作 于点G，过点E作 于点H，
，
是 的切线，
，
多边形 是正六边形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
第 60 页 共 103 页， ，
，
，
过点O作 于点M，
，
，
的半径长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形
的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
60．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示
意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰
好是 的内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作 ，根据正多边形的性质得
出 为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出 ，利用
余弦得出 ，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作 ，
第 61 页 共 103 页∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵圆心C恰好是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ，
∴花窗的周长为： ，
故答案为： ．
61．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形 的边长为2，以点A为圆心， 为半径画弧
，得到扇形 （阴影部分）．若扇形 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半
径是 ．
【答案】
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【详解】解：∵正六边形的外角和为 ，
第 62 页 共 103 页∴每一个外角的度数为 ，
∴正六边形的每个内角的度数为 ，
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥
的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
考点8弧长、扇形面积、圆锥侧面积
62．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在 中，如果 的圆心角所对的弧长是 ，那么 的半径
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式： ，其中 ，
代入得：
解得：
故选：A．
63．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，母线长为 ，则该圆锥
的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
设圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到 ，即可求
解半径．
第 63 页 共 103 页【详解】解：设圆锥底面圆半径为 ，
由题意得： ，
解得 ，
因此，该圆锥的底面圆半径为 ，
故选：B．
64．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海
域某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经
线圈上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
【答案】C
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出 的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得， ，
∴劣弧 的长为 千米，
故选：C．
65．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若圆锥的母线长
为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
第 64 页 共 103 页【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题
的关键；
先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可
【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长 ，
∴该圆锥的底面圆的半径为 ；
故选：A
66．（2025·山西·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 为圆心、
的长为半径画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
， ，进而由 解答即可求解，掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
67．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
【答案】
第 65 页 共 103 页【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为 ，
∴圆锥侧面展开图的面积为 ；
故答案为： ．
68．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图的
圆心角为 度．
【答案】160
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为 ，则底面圆的周长是 ，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是 ，母线长为 即侧面
展开图的扇形的半径长是 ．根据弧长公式即可计算．
【详解】解：根据弧长的公式 得到：
，
解得 ．
即侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为：160．
69．（2025·江苏连云港·中考真题）如图， 是 的内接三角形， ．若 的半径为
2，则劣弧 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得 ，再结合弧长公式代入数值
计算，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
第 66 页 共 103 页∵ ， ，
∴ ，
∴劣弧 ，
故答案为： ．
70．（2025·四川成都·中考真题）如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形
为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接 ，证明四边形 为菱形，易得
为等边三角形， ，得到 ，根据阴影部分的面积等于弓形 的
面积加上 的面积，即为扇形 的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，则： ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 为菱形，
第 67 页 共 103 页∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ；
故答案为： ．
71．（2025·四川凉山·中考真题）如图， 内接于 ，若 ，则 的
长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接 ，根据三角形的内角和定理，求出
的度数，圆周角定理求出 的度数，易得 为等腰直角三角形，进而求出 的长，再根据
弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
在 中， ，
∴ ，
第 68 页 共 103 页∵ 内接于 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为： ．
72．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形 的边长为4，中心为点 ，以点 为圆心，以
长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 、 、 ，过点O作 于点M，根据正六边形的性质得出 ，
， ，证明 和 为等边三角形，求出
，证明 ，得出 ，得出
，根据 求出结果即可．
【详解】解：连接 、 、 ，过点O作 于点M，如图所示：
∵六边形 为正六边形，
∴ ， ， ，
第 69 页 共 103 页∴ 和 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角
形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
73．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， ， ，D是 的中点，分别以B，
C为圆心， 长为半径作弧，交 于点E，交 于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
第 70 页 共 103 页【答案】
【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可．
此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，
，D是 的中点，
，
图中阴影部分的面积是
故答案为：
74．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形 为某运动场内的投掷区， 所在圆的圆心为O、A、
B、N、O在同一直线上．直线 与 所在 相切于点 ．此时测得 ；从点 处沿 方
向前进8.0米到达B处．直线 与 所在 相切于点 ，此时测得 ．（参考数据：
）
(1)求圆心角 的度数；
(2)求 的弧长（结果精确到 米）．
【答案】(1)
第 71 页 共 103 页(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用
是解题的关键．
（1）由圆的切线的性质得到 ，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解 ，设 ， ，再解 得到 ，求出 ，求
出半径，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 所在 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵直线 与 所在 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
第 72 页 共 103 页∴ ，
∴ 的弧长为： ，
答： 的弧长为 ．
考点9圆的综合问题
75．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在 中， 是 的中点， ， ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，若点 为 上一点， ，且 ， ， 三点均在 上，连接 ， 与 相切于
点 ，
①求 __________；
②求 的半径 ；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线 ，交 于点 ，保留作图痕迹，不用写出作法和理
由．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②
(3)见解析
【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，斜边上的中线得到 ，即可得证；
（2）①根据菱形的性质，得到 ，等角对等边得到 ，三角形的外角得到
，切线得到 ，再根据角的和差关系进行求解即
可；②解直角三角形 ，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作 ，即可．
第 73 页 共 103 页【详解】（1）解： ，
四边形 为平行四边形，
又 ，且 为 中点
，
平行四边形 为菱形．
（2）① 四边形 为菱形．
，
，
又 ，
，
，
切 于 ，
，
；
；
②设半径为 ，
，
，
， ，
；
解得： ；
（3）由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟
练掌握相关知识点，是解题的关键．
76．（2025·湖南·中考真题）如图， 的顶点 ， 在 上，圆心 在边 上， ，
第 74 页 共 103 页与 相切于点 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是
解题的关键．
（1）由切线的性质得到 ，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由等边对等角得到 ，再由三角形内角和定理可得 ，则可证明
，进而可证明 ．
【详解】（1）解：∵ 与 相切与点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ;
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
77．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形 中， ．以 为直径的
经过点D，且与边 交于点E，连接 ．
第 75 页 共 103 页(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2) ．
【分析】（1）只要证明 ，即可证明 为 的切线；
（2）过点D作 ，垂足为F，在 中， ， ， ，求得
， ，在 中， ， ， ，求得 ，再根据圆
内接四边形的性质结合等边对等角求得 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 为 的切线；
（2）解：如图，过点D作 ，垂足为F，
第 76 页 共 103 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 77 页 共 103 页∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
78．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆
O的切线，交 的延长线于点D，在 上取点E，使 ，连接 ，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求半圆O的半径及 的长．
【答案】(1)见解析
(2)半圆O的半径为2，
【分析】（1）连接 ，切线得到 ，等边对等角得到 ，圆周角定理得到
，同角的余角得到 ，等量代换得到 ，即可得
证；
（2）连接 ，设半圆O的半径为 ，解直角三角形 ，求出半径的长，进行求出 的长，平行得
到 ，解直角三角形 ，求出 ， 的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等
于底边比，得到 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，则： ，
∴ ，
∵过点C作半圆O的切线，交 的延长线于点D，
∴ ，
∴ ，
第 78 页 共 103 页∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设半圆O的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即：半圆O的半径为2；
∴ ，
连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 79 页 共 103 页∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ 到 的距离相等，都等于 的长，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关
知识点，是解题的关键．
79．（2025·江苏连云港·中考真题）已知 是 的高， 是 的外接圆．
(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若 的半径为 ，求证： ；
(3)如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，
，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
第 80 页 共 103 页(3)
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练
掌握以上知识是解题的关键；
（1）分别作 的垂直平分线交于点 ，以 为半径作圆，即可求解．
（2）作 的直径 ，连接 ，证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）连接 ，根据 为 的切线，得出 ，进而证明 是等边三角形，得出
，在 ， 中分别求得 ，根据（2）的结论求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图2，作 的直径 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
第 81 页 共 103 页∴ ，即 ，
∴ ．
（3）如图3，连接 ，
∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
代入 ，得 ，
即 ．
80．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ，以 ， 为边作 ．
第 82 页 共 103 页(1)当 经过圆心O时（如图1），求 的度数；
(2)当 与 相切时（如图2），若 的半径为6，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出 ，再求出 ，再根据
平行四边形的性质得出 ；
（2）连接 、 ，根据切线性质得出 ，证明 ，得出 ，
说明 垂直平分 ，根据线段垂直平分线的性质得出 ，根据等腰三角形性质得出
，根据圆周角定理得出 ，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 经过圆心O，
∴ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图所示：
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
第 83 页 共 103 页∵在 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径
定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
81．（2025·天津·中考真题）已知 与 相切于点 与 相交于点D，E为
上一点．
(1)如图①，求 的大小；
(2)如图②，当 时， 与 相交于点 ，延长 与 相交于点 ，若 的半径为3，求
和 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接 ，切线的性质得到 ，三线合一，求出 的度数，圆周角定理求出 的度
数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到 ，直径得到
，解 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ．
与 相切于点 ，
．又 ，
第 84 页 共 103 页平分 ．
∴ ．
，
．
在 中， ，
．
（2）由（1）知： ．
，
．
为 的一个外角，
．
由题意， 为 的直径，
．
又 的半径为3，则： ．
在 中， ，
．
82．（2025·新疆·中考真题）如图， 为 的直径，C为 上一点， 于点F，
， 交 于点G，交 于点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
第 85 页 共 103 页【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，即可证明结论；
（2）证明 ，求出 ，得到 ，即可求出 的长．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 于点F，
∴ ,
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
即
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ 为 的直径，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ，
第 86 页 共 103 页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 ，
∵
∴
解得 ，
∴
∴ ，
∴
【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、
平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键．
第 87 页 共 103 页83．（2025·山东威海·中考真题）如图， 是 的切线，点A为切点．点B为 上一点，射线
交于点C，连接 ，点D在 上，过点D作， ，交 于点F，作 ，垂足为
点E． ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理
等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，证明 ，则 ，而 ，则 ，由于 是 的切线，
则 ，再由等式的性质即可证明；
（2）可得 ，设 ，则 ， ，由切线长定理得到
，则 ，求出 ，即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
第 88 页 共 103 页∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ 是 的切线， 是 的切线，
∴ ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴半径为 ．
84．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是 的直径，半径 ，垂足为 ， ， 是 延
长线上一点，连接 ，交 于点 ，连接 ， ．过点 作 的切线，切点为 ，交
的延长线于点 ．
第 89 页 共 103 页(1)求 的长；
(2)求 的度数；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性
质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含 角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性
质与定义是解题的关键．
（1）连接 ，判定 是等边三角形，得出 ，利用弧长公式求解即可；
（2）利用 ，求出 ，再利用 ，等边对等角即可求解；
（3）连接 ， 求出 ，即可得 ，利用 是 的切线，求出 ，
，证明 ，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
第 90 页 共 103 页∴ ，
∵ ，
∴ 的长 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
85．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径
与弦 相交于点F，点D是 延长线上的一点， ．
第 91 页 共 103 页(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周
角定理，是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，推出 ，根据等边对等角，推出
，根据直径得到 ，进而得到 ，继而得到
，即 ，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到 ，根据 ，得到 ，求出
的长，证明 是菱形，得到 为等边三角形，进而得到 ，解 ，求出
的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
， ，
．
，
．
是 的直径，
，即 ．
第 92 页 共 103 页，
，即 ．
为 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图2，
四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴ ．
在 中， ．
86．（2025·四川德阳·中考真题）在 中直径 与弦 交于点 ， ，连接 ，过点 作
的切线与 的延长线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
第 93 页 共 103 页(2)连接 ， ，再连接 并延长交 于点 ，
证明： ；
若 ，求 的直径．
【答案】(1) ；
(2) 见解析； ．
【分析】（ ）先由切线的性质可得 ，则 ，又 ，所以
，最后通过三角形外角性质即可求解；
（ ） 由 ，则 ，因为 ，故有 ，则 ，
得到 ，通过等腰三角形的性质可证明 ，再根据全等三角形的性质可
得 ，从而求证；
连接 ，证明 ，则有 ，所以 ，由 知 ，故有
，即 ，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 直径， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第 94 页 共 103 页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
连接 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
第 95 页 共 103 页∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
87．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径
与弦 相交于点F、点D是 延长线上的一点且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ．求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周
角定理，是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，推出 ，根据等边对等角，推出
，根据直径得到 ，进而得到 ，继而得到
，即 ，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到 ，根据 ，得到 ，求出
的长，证明 是菱形，得到 为等边三角形，进而得到 ，解 ，求出
的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
， ，
．
第 96 页 共 103 页，
．
是 的直径，
，即 ．
，
，即 ．
为 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图2，
四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴ ．
在 中， ．
88．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知 是 的直径， 是 上一点，过 作直线 与
的延长线交于 点，过点A作 于 点，连结 、 ，且 ．
第 97 页 共 103 页(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 与 的长度；
(3)在（2）的条件下，若 为 上的一动点，且 在直线 上方，连结 ．当四边形
面积最大时，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)
【分析】（1）连接 ， 可得 ， ，由直径性质，得 ，可得
，即得直线 是 的切线；
（2）证明 ，得 ，得 ，可得 ，证明
，得 , ，由 ,得 ；
（3）过点E作 于点G，则 ，当四边形 面积最大时， 面积最大，点F
是 的中点，可得 ，得 ，得 ，∴ ，得
，由 ，得 ,即得 ．
【详解】（1）解：连接 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
第 98 页 共 103 页∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
第 99 页 共 103 页∴ ，
解得 （舍去）或 ；
（3）过点E作 于点G，
则 ，
当四边形 面积最大时， 面积最大，点F到 的距最大，点F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，
勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
第 100 页 共 103 页89．（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点D，点
O是边 上一点，以点O为圆心、 长为半径作圆， 恰好经过点D，交 于点E．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若点E为 的中点， ，求阴影部分的面积；
(3)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，
勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接 ，由角平分线的定义得到 ，再由等边对等角得到 ，则
，据此可证明 ，得到 ，由此可证明 是 的切线；
（2）根据线段之间的关系证明 ，解直角三角形可得 ，则可求出 ，再根据
列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到 ，解 得到 ，设
，由勾股定理可得 ；证明 ，进而证明 ，得到
，则 ， ，进而可求出 ，再根据
余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
第 101 页 共 103 页∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
在 中， ，
第 102 页 共 103 页设 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
第 103 页 共 103 页
