文档内容
第 22 讲 图形的变换（平移、轴对称与旋转）
答案解析(教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点1 图形的平移
1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平
移不改变图形的形状和大小．
图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的
射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
2.平移的三要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3.平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①平移前后，对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③平移前后的图形全等．
【注意】平移、轴对称、旋转都全等变换，不改变图形的形状和大小.
知识点2 轴对称
1.轴对称图形
定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，
这条直线就是对称轴.
常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2.轴对称的性质
①成轴对称的两个图形全等；
②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
③成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
3.作某点关于某直线的对称点的一般步骤
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；
②再将线段延长一倍，得到的端点就是所求作的对称点．
4.作已知图形关于某直线的对称图形的步骤
①找：找出原图形的关键点；
②作：作出关键点关于对称轴的对称点；
③连：按原图顺序依次连接相应的对称点；
④若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合.
5.画对称轴
由轴对称的性质：任意一组对应点对应点的连线被对称轴垂直平分，可以作图.
具体步骤：找出任意一组对应点并连接，画出对应点所连线段的垂直平分线，即为对称轴.
轴对称图形与轴对称的对比
轴对称图形 轴对称
第 1 页 共 64 页图形
如果一个图形沿着某条直线对折后，直
如果两个图形对折后，这两个图形能够
线两旁的部分能够完全重合，那么这个
定义 完全重合，那么我们就说这两个图形成
图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做
轴对称，这条直线叫做对称轴
对称轴
对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
性 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
质 对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴对称图形是一个具有特殊形状的图 轴对称是指两个图形的位置关系，必须
区别
形，只对一个图形而言； 涉及两个图形；
知识点3 图形的旋转
1.定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫
旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．旋转过程中，这个图形上的每个点同时绕旋
转中心按照此方向旋转相同的角度.
2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3.性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4.旋转作图步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转
角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）依次连接各对应点，得到旋转后的图形．
5.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂
直平分线上，即旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变.所以在解答有关
旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形（等腰、等边）的性质的运用、锐角三角函
数建立的边角关系起着关键的作用．
知识点4 中心对称图形与中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图，△ABC与△A′B′C′关于点O对称.
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、正方形、正六边形、圆.（而正三角形不是中心对称图形）
第 2 页 共 64 页3.中心对称的性质：
中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经
过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
4.确定对称中心的方法：
（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
5.中心对称作图
（1）连接原图形的关键点与对称中心；
（2）延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到
对称中心的距离相等；
（3）将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
6.中心对称图形与中心对称对比
中心对称图形 中心对称
图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一
定义 它自身重合，我们就把这个图形叫做中 个图形重合，我们就把这两个图形叫做
心对称图形，这个点叫做它的对称中心 成中心对称
对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
性
对应线段 AB=CD，AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
质
对应角 ∠A=∠C，∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
中心对称图形是指具有某种特性的一个
区别 中心对称是指两个图形的关系
图形
把中心对称图形的两个部分看成“两个 把成中心对称的两个图形看成一个“整
联系
图形”，则这“两个图形”成中心对称 体”，则“整体”成为中心对称图形
知识点5 坐标变换规律 (轴对称与中心对称)：
已知平面直角坐标系的点P(x, y)
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 （ x ， - y ） ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标 （ - x ， y ） ．
（3）点P关于原点的对称点为 （ - x ， - y ） ．
可结合坐标系的图象进行推导（ “关于谁，谁不变，关于原点都改变”）
第 3 页 共 64 页第二部分：考点突破
考点1平移
1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度到 处，则点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键．
根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题．
【详解】解：点 向右平移3个单位长度，横坐标 需加3，即 ，纵坐标2保持不变，
∴平移后的点 坐标为 ，
故选：B．
2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将 平移，得到 ，点 在坐
标轴上．若 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知
识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点 作 轴，作 交 的延长线于
点 ，证明 ，得到 ，根据点 的坐标，结合 的值，求出
，平移求出 点坐标，进而得到平移规则，再求出 点坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴，作 交 的延长线于点 ，则：
第 4 页 共 64 页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵平移，
∴ ，
∴ ，
∴将点 先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点 ，
∴将点 先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点 ，
∴ ；
故选B．
3．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将线
段 平移得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移
规则，再应用于点B即可得到点D的坐标．
第 5 页 共 64 页【详解】解：由题意，点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 的坐标为 ，即 ；
故选B．
4．（2025·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位到点B，则点B的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横，上下纵，正加负减”是解
答本题的关键．
根据平移规律，向右平移2个单位时，点的横坐标增加2，纵坐标不变，即可解答．
【详解】解：点 向右平移2个单位，横坐标变为 ，纵坐标保持3不变．
所以，点 的坐标为 ，、
故选：C．
5．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着 轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为
，则平移后点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；
上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
根据点的平移规律即可求解．
【详解】解：由题意得：将点 沿着 轴向右平移3个单位，
第 6 页 共 64 页∴平移后点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
6．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点
的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
直接运用平移规律“上加下减”即可解答．
【详解】解：将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点 的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
7．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的 沿 方向平移2个单位长度得 ，连
接 ，则四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键．
根据平移的性质可得 、 ，然后求出四边形 的周长等于 的周长与 、
的和，再求解即可．
【详解】解： 沿 方向平移 个单位长度得到 ，
， ，
四边形 的周长
的周长
．
故答案为： ．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知 ， 两点的坐标分别为 ， ，将线段 平
第 7 页 共 64 页移得到线段 ．若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，
上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点 ， 的坐标，知点 的横坐标加上了1，纵坐
标加1，则 的坐标的变化规律与 点相同，即可得到答案．
【详解】解： 平移后对应点C的坐标为 ，
点 的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点 坐标为 ，
即 ，
故答案为： ．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段 的
端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将线段 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段 （点 的对
应点为点 ，点 的对应点为点 ），画出线段 ， ， ；
(2)在方格纸中，画出以线段 为斜边的等腰 （点 在小正方形的顶点上），且 为钝角，
， 交于点 ，连接 ，直接写出 的值．
第 8 页 共 64 页【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了平移变换，画图，涉及到平行四边形，等腰直角三角形的性质的应用，关键是能够
利用小正方形格子的边长，求出 ， 的长度，得到结果．
（1）在图形中直接作图即可；
（2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果．
【详解】（1）解：所求图形，如图所示：
（2）解：如图所示：
得到 ．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形 中， ，
∵O是平行四边形 对角线的交点，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
第 9 页 共 64 页考点2轴对称
10．（2025·青海·中考真题）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称
图形，进行逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．（2025·重庆·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一
条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟
练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边
能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
12．（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几
何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
第 10 页 共 64 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着
某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中
心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
13．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个
图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
14．（2025·四川眉山·中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（
）
第 11 页 共 64 页A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个
图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可.
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A.
15．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多
种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个
图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解.
【详解】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
16．（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 、 、
分别是边 、 、 上的动点，则 周长的最小值是 ．
第 12 页 共 64 页【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，得出 是等腰直角三角形，当
时， 取得最小值，即 周长最小，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∴ 周长为 ，
当 四点共线时取得最小值，
∵ 是 关于 的对称点，
∴ ，
又∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴当 时， 取得最小值，即 周长最小
又∵ ， ，
∴
∴ 周长最小为
第 13 页 共 64 页故答案为： ．
17．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形 的边长为 ，以 边为底向外作等腰 ，
点 是对角线 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，由轴对称的性质得 ，判断出当P与 重合时，
的值最小，最小值为 的长．然后求出 ， ， ， ，
得到 ，然后利用勾股定理求出 的长即可求解．
【详解】解：连接 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴点B与点D关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当P与 重合时， 的值最小，最小值为 的长．
∵正方形 的边长为4，
∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
第 14 页 共 64 页∴ 的最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路
线问题，利用轴对称-最短路线问题．
18．（2023·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点 与点B关于x轴对称，则点B的坐标是
．
【答案】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反
数”解答．
【详解】解： 点 与点B关于x轴对称，
点B的坐标是 ．
故答案为： ．
19．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片 中， 点E在边 上，将纸片沿 折叠，
点B落在 处， ， 垂足为F 若 ， 则
【答案】 /
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由翻折，菱形的性质，得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 15 页 共 64 页∵ ，
∴ ，
过点E作 ，
设 ， 则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是
解题的关键．
20．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、
点 为射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于
， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时， 的周长最短，
第 16 页 共 64 页根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作 关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点
时， 的周长最短，连接 ，
关于 对称，
∴ ，
同理， ， ，
， ，
是等腰三角形．
，
故答案为： ．
考点3旋转
21．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三
个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为（ ）
第 17 页 共 64 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为 ，
∴该叶片图案绕中心至少旋转 后能与原来的图案重合，
∴角 的大小可以为 ，
故选：B．
22．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是 ，将线段 绕点O顺时针旋转 ，点A的对
应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题
的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
第 18 页 共 64 页分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，
由旋转可知，
， ，
，
．
在 和 中，
，
，
， ．
点 的坐标为 ，
， ，
点 的坐标为 ．
故选：B．
23．（2025·天津·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，
点B，C的对应点分别为 的延长线与边 相交于点 ，连接 ．若 ，则线段
的长为（ ）
第 19 页 共 64 页A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，
熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接 ，交 于点 ，先证出 ，根据全等三角
形的性质可得 ，再证出 垂直平分 ，则可得 ， ，然后利用勾股定
理和三角形的面积公式求出 的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
第 20 页 共 64 页24．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形 先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正
方形绕原点O顺时针方向旋转 ，得到四边形 ，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平
移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为 ；如图所示，设 绕原
点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明
，得到 ，则 ，即点A的对应点 的坐标是
．
【详解】解：由题意得，平移前 ，
∵将正方形 先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为 ，
如图所示，设 绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别
为G、H，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
第 21 页 共 64 页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的对应点 的坐标是 ，
故选：A．
25．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ．当 落在 上时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
由三角形内角和定理可得出 ，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
第 22 页 共 64 页，
∴故选：B．
26．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，
点N是 边上任意一点，将线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小
值为（ ）
A．15 B． C． D．18
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点 的轨迹是解题的关键．由旋转的性
质结合 证明 ，推出 ，得到点 在平行于 ，且与 的距离为5的
直线上运动，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周长取得最
小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点 作 ，交 于 ，过点 作 垂足为 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 和 都是矩形，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 23 页 共 64 页∴点 在平行于 ，且与 的距离为5的直线上运动，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周长取得最小值，最小值
为 ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
27．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，则点 对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
过 作 轴于点 ，则 ， ， ，然后通过 ，
，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，过 作 轴于点 ，则
，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由题意得， ， ，
第 24 页 共 64 页∴ ， ，
∴点 对应点的坐标为 ，
故答案为： ．
28．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ．将射线 绕点C顺时
针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，使得 面积为24，连结 ，则 的最大值
1
是 ．
【答案】
【分析】先整理得 ，过点C向上作线段 ，使得 ，则 ，结合
整理得 ，证明 ，即 ，运用即定角
定弦，故点D在以 为直径的圆上，连接 ，并延长与 交于一点，即为 ，运用勾股定理得
，即可作答．
【详解】解：∵射线 绕点C顺时针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，
1
∴
∵ 面积为24，
∴
第 25 页 共 64 页∴ ，
过点C向上作线段 ，使得 ，
∵
∴
即
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故点D在以 为直径的圆上，
∵ ，
记圆心为直径 的中点 ，
即 的半径
连接 ，并延长与 交于一点，即为 ，
此时 为 的最大值，
故
∴
第 26 页 共 64 页故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D
在以 为直径的圆上是解题的关键．
29．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在 和 中， ， ，将
绕点A顺时针旋转一定角度，当 时， 的度数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形
的性质与角的和差运算可得答案；
【详解】解：如图，当 时，延长 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ；
如图，当 时，延长 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
第 27 页 共 64 页故答案为： 或
30．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原
点按顺时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的 变换，现将斜边为1的等腰直角三角形
放置在如图的平面直角坐标系中， 经 变换后得 为第一次变换， 经
变换得 为第二次变换，…，经 变换得 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点 作 轴，根据斜边上的中线，得到
，进而得到 ，根据变化规则，得到 ， ，
， ，进而得到 ， ，
推出 ，根据 ，求出点 的坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴，
第 28 页 共 64 页∵ 为斜边为1的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是由 先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转 ，即根据平移后的点关于原点
对称得到的，
∴ ，
同理： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ；
故答案为： ．
考点4中心对称
31．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为
中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中
心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形可得答案．
第 29 页 共 64 页【详解】解： 、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故选： ．
32．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称
图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键．根据
中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．选项图形是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
33．（2025·辽宁·中考真题）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．
第 30 页 共 64 页【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判
断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
34．（2025·福建·中考真题）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其
规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容
圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着
某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中
心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
35．（2025·山西·中考真题）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个
科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
第 31 页 共 64 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选： ．
36．（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10
个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
37．（2025·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第 32 页 共 64 页【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着
某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
38．（2024·山东·中考真题）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、
正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心
对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
39．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标是
第 33 页 共 64 页（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，
由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标为 ；
故选：B．
40．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的对角线 相交
于原点O．若点A的坐标是 ，则点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到 关于原点对称，即可得出
结果．
【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于原点O，
∴ ，
∴ 关于原点对称，
∵点A的坐标是 ，
∴点C的坐标是 ；
故答案为： ．
考点5图形变换的综合问题
第 34 页 共 64 页41．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面
直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ．
(1)将 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 ，画出两次平移后的
，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运
用是解题的关键．
（1）分别描出平移后的点 ，再顺次连接即可得到 ，根据点的平移方式即可求解 ；
（2）将点 分别绕原点O逆时针旋转 得到点 ，再顺次连接即可 ，即可写出点
的坐标；
（3）先由勾股定理求出 ，再由弧长公式求解即可．
第 35 页 共 64 页【详解】（1）解：如图， 即为所求：
∵ ，
∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 ，即 ；
（2）解：如图， 即为所求， ；
（3）解： ，
∴点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长为
42．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中含 角
的三角板 的直角边 落在 轴上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函
数 的图象经过点 ．
第 36 页 共 64 页(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板 绕点 顺时针旋转 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 的坐
标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把 的坐标为 代入反比例函数 即可得到答案；
（2）求解 ，证明 ，求解 ，如图，连接 ， 旋转
到 的位置；可得 ，结合 的对应点 在 的图象上，可得 ，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数 的图象
经过点 ．
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵含 角的三角板 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
如图，连接 ， 旋转到 的位置；
∴ ，
第 37 页 共 64 页∵ 的对应点 在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ .
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理
解题意是解本题的关键.
43．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题
展开探究．
特例研究
在正方形 中， 相交于点O．
（1）如图1， 可以看成是 绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为
________，k的值为________；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 （点O，B的对应点分别为点
E，F），使得点E落在 上，点F落在 上，求 的值
类比探究
（3）如图3，在菱形 中， ，O是 的垂直平分线与 的交点，将 绕点A逆时
第 38 页 共 64 页针旋转，旋转角为α，并放缩得到 （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 上，点
F落在 上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中 ，其余条件不变，探究 之间的数量关系（用含β的式子表示）．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3） 的值与α无关，理由见解析；（4）
．
【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；
（2）由题意得 ，推出 ， ，再得到 ，推出
，根据正方形的性质求解即可；
（3）同理可证 ，得到 ，根据线段垂直平分线的性质求得 ，再根据余
弦函数的定义求解即可；
（4）同理可证， ， ，根据 ，求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形 ，
∴ ， ，
∴旋转角为 ， ，
故答案为： ； ；
（2）如图，
根据题意得 ，
∴ ， ，
第 39 页 共 64 页∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3） 的值与α无关，理由如下，
如图，
同理可证 ，
∴ ，
∵菱形 中， ，
∴ ，
∵O是 的垂直平分线与 的交点，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值与α无关；
第 40 页 共 64 页（3）同理可证， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，
正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
44．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图， 中， ，设 ，点D是直线 上一
动点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转α至 ，连接 、 ，过点E作 ，交直线
于点F．探究如下：
(1)若 时，
如图①，点D在 延长线上时，易证： ；
如图②，点D在 延长线上时，试探究线段 、 、 之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并
说明理由．
(2)若 ，点D在 延长线上时，如图③，猜想线段 、 、 之间又有怎样的数量关系？请
直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；② ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运
用相关知识是解题的关键．
（1）①由 ， ，得到 是等边三角形，从而∴ ，
第 41 页 共 64 页进而推出 ，因此可证明 ，得到 ， ，求
得 ，因此 ，由 即可得到结论 ；②由
， ，得到 是等边三角形，从而 ，进而推出
，因此可证明 ，得到 ， ，求得
，因此 ，由 即可得到结论
；
（2）同（1）思路即可求解．
【详解】（1）①证明：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
②解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
第 42 页 共 64 页∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
第 43 页 共 64 页∴在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
45．（2025·湖北·中考真题）在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应
点 落在边 上，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；
(3)如图3，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过点 作 的平行线交 于点G， 与
交于点 ．
①求证： ；
②当 时，直接写出 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据旋转可得 ，则 ，即可证明
．
（2）根据 ， ，可得 ，即可得出 ，过 作
，则 ，即 ，在 中勾股定理求出 ，则 ，在
第 44 页 共 64 页中勾股定理求出 ，根据 ，得出 ，即可求出 ．
（3）①设旋转角为 ，则 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角
和定理即可得出 ， ，根据 ，得出
， ，即可得 ，根据 ，得出
，即可得 ，证明 ，得出 ，结合 ，得出
；
②根据 ，设 ，证明四边形 是平行四边形，得出
，由①得 ，在 中，勾股定理得出
，则 ，则 ，根据 ，得出 ，
根据 ，得出 ，证明 ， ，则 ，求出
，由①可得 ，得出 ，证
出点 四点共圆，根据圆周角定理得出 ，证明 ，得出
，设 ，则 ，根据
旋转可得 ，则 ，联立 求出 ，再根据 即可
求解．
【详解】（1）证明：∵将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点 落在边 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
第 45 页 共 64 页∴ ，
∴ ，
过 作 ，
∴ ，
∴ ，
在 中 ，
即 ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
在 中 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
（3）①证明：设旋转角为 ，
则 ，
∴ ， ，
第 46 页 共 64 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴设 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
由①得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
第 47 页 共 64 页∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
由①可得 ，
∴ ，
∴点 四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
根据旋转可得 ，
∴ ，
联立 可得 ，
∴ ．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆
周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上
知识点，证明三角形相似．
46．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动
点的几何问题．若四边形 是正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称之为“半
第 48 页 共 64 页角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．
用等式写出线段 的数量关系______．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形 的边
的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ，
，点N，M分别在边 上， ，用等式写出线段 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析
(2) ；理由见解析
(3) ；理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正
确作出辅助线是解题的关键．
（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证 ，进而证明
，推出 ，可得 ．
（2）在 上取 ，连接 ．依次证明 ， ，可得
．
（3）将 绕点A逆时针旋转 得 ，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得
，进而可得 ．
【详解】（1）解： ．理由如下：
由旋转的性质，可知 ， ， ， ，
第 49 页 共 64 页∴ ，
∴E，B，C三线共线．
∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解： ．理由如下：
如图，在 上取 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
第 50 页 共 64 页（3）解： ．理由如下：
如图，将 绕点A逆时针旋转 得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得 ，
∴ ．
47．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点
，点 在第一象限，且 ．
(1)填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点
落在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
第 51 页 共 64 页(2)① ；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出 结合勾股定理
，即可作答．
（2）①由折叠得 ， ，再证明 是等边三角形，运用线段的和差关系
列式化简， ，考虑当 与点 重合时，和当 与点B重合时，分别作图，得出 的
取值范围，即可作答．
②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以 时， 时， ，
分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：过点C作
∵四边形 是平行四边形， ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
第 52 页 共 64 页故答案为： ，
（2）解：①∵过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点 落在 轴的正半轴上，
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
∴ ；
当 与点 重合时，
此时 与 的交点为E与A重合，
如图：当 与点B重合时，
此时 与 的交点为E与B重合，
第 53 页 共 64 页∴ 的取值范围为 ；
②如图：过点C作
由（1）得出 ，
∴ ，
∴
当 时，
∴ ，开口向上，对称轴直线
∴在 时， 随着 的增大而增大
∴ ；
当 时，如图：
∴ ， 随着 的增大而增大
第 54 页 共 64 页∴在 时 ；在 时 ；
∴当 时，
∵当 时，过点E作，如图：
∵由①得出 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴开口向下，在 时， 有最大值
∴
∴在 时，
第 55 页 共 64 页∴
则在 时， ；
当 时，如图，
∴ ， 随着 的增大而减小
∴在 时，则把 分别代入
得出 ，
∴在 时，
综上：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
48．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面
上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上， ，
， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在
移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线 上），且形状大小保持不变，但落在义
第 56 页 共 64 页卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 移动到 落在 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】（1） 随 的增大而增大；（2） ， ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，根据平行四边形的面积公式得
，然后分别求出当 时，当 时， 关于 的解析式，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得答案；
（3）当 时，如图，设 向右移动 后得到 ，设 交 于点 ， 交
于点 ， 交 于点 ，则 ， ，
此时遮阳区的面积为六边形 的面积，推出 ，
，得 ， ，再根据
即可得出结论；
（4）分别确定：当 时，当 时，当 时，各个范围内 的最大值，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，四边形 是平行四边形， ， ， ，
在 边所在直线 上，
第 57 页 共 64 页∴ ， ， ，
又∵如图2， 在 上， ， ，
∴ ，
，
当 时，如图，设 交 于点 ， 交 于点 ，则 ，
此时遮阳区的面积为 的面积，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而增大， 的值从 增大到 ；
当 时，如图，设 交 于点 ，则 ， ， ，
此时遮阳区的面积为四边形 的面积，
∵ ，
∴四边形 为梯形，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而增大， 的值从 增大到 ；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大而增大；
（2）如图3，此时点 落在 上，则 ，
由（1）知：当 时， ；
第 58 页 共 64 页∴图3情形时， ， ；
（3）当 时，如图，设 向右移动 后得到 ，设 交 于点 ， 交
于点 ， 交 于点 ，则 ， ，
此时遮阳区的面积为六边形 的面积，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴从图3情形起右移至 与 重合，该过程中 关于 的解析式为 ；
（4）当 时， ，
当 时， 的最大值为： ；
当 时， ，
当 时， 的最大值为： ；
当 时， ，
∵
第 59 页 共 64 页∴当 时， 的最大值为： ，
综上所述，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴当遮阳区面积最大时， 向右移动了 ．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，
二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键．
49．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探
究．
(1)如图（1）所示，在梯形 中， ， ．设 为边 中点，将 绕点 旋转
，点 旋转至点 的位置，得到的 是等腰三角形，其中 ，设 ，求边 的长
（用 表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形 中， ，且 ， ．请设计一种方案，用一
条或两条直线将梯形 分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无
缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的
论述语言： 为边 中点， 是梯形 的顶点）．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识；
（1）过点D作 于H，则由等腰三角形的性质得 ；证明四边形 是矩形，则有
；再由旋转知 ，则可求得 的长，最后求得结果；
（2）连接 ，把 通过平移变换，再轴对称变换得到 ，则 为满足条件的等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，过点D作 于H，
∵ ，
∴ ；
第 60 页 共 64 页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
由旋转知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图（2），连接 ，把 沿 平移使M与P对应，得到 ；再把
沿 对折，得到 ，H与N是对应点，则 是等腰三角形，其中两腰分别为 ，点N、
Q分别是梯形的顶点．
50．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形
与正方形 （ ），点E，G分别在 上，根据图形提出问题：如图2，正方形 绕
点B顺时针旋转，旋转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，探究线段 ，
， 之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你
第 61 页 共 64 页写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角 的范围再扩大，正方形 绕点B顺时针旋转，
旋转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，请直接写出 ， ， 之间的
数量关系．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）
，理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得 ，证明 ，推出 ，根据
即可求解；
（2）在 上截取 ，证明 ，推出 ， ，证明 是等
腰直角三角形，求得 ，根据 ，即可求得 ；
（3）在 上截取 ，证明 ，得到 ， ，同理，得到
是等腰直角三角形，求得 ，根据 ，即可求得 ．
【详解】解：（1） ，理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形 与正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
第 62 页 共 64 页∴ ；
（2） ，理由如下，
由（1）得 ，
∴ ，
在 上截取 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下，
由（1）得 ，
∴ ， ，
在 上截取 ，
第 63 页 共 64 页∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾
股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
第 64 页 共 64 页
