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第 23 讲 尺规作图与命题、证明
第一部分：知识点梳理
知识点一 尺规作图
1.尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2.五种基本尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段
求作：线段AB，使AB=a 图示：
作法： a
①作一条直线l
②在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段 的长度
为半径画弧，交直线l于点B。
l
线段AB 即为所求作的线段。 A B
依据：圆上的点到圆心的距离等于半径.
（2）作一个角等于已知角
已知：∠AOB. 图示：
B
求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB.
作法：
①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别
交OA，OB于点P,Q；
②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG O A
于点D;
③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于 F
点F;
④作射线EF.∠DEF即为所求作的角
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等； E G
D
2）全等三角形的对应角相等；
（3）作已知角的平分线
已知：∠AOB 图示：
求作：∠AOB的平分线OP. B
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB P
于点N，M；
M
②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的
内部画弧，两弧交于点P；
③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. O A
N
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
（4）作线段的垂直平分线
第 1 页 共 17 页已知：线段AB。 图示：
求作：线段AB的垂直平分线 。
M
作法：
A B
①分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
交于点M,N;
N
②过点M,N作直线. 直线MN 即为线段AB的垂直平分
线.
依据：1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上；
2）两点确定一条直线.
（5）经过一点作已知直线的垂线
▶经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线l和l上一点O。 图示：
求作：直线l的垂线，使它经过点 。
作法：
M
①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线 于A,B两
点;
l
A O B
②分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
N
交于点M, N;
③连接MN. 直线MN即为所求作的垂线.
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
▶经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知:直线l和l外一点M. 图示：
求作:直线l的垂线,使它经过点M.作法:
①在直线l的另一侧取点P;
M
②以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线 于A,B
两点;
l
③分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧 A B
交于点N; P
④连接MN. 直线MN 即为所求作的垂线. N
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
知识点二 命题、定义、定理
1.定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2.命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3.命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4.命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”
后接的部分是结论。
5.真命题、假命题
内容 举例 注意
如果题设成立，那么结论一定 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一
真命题
成立的命题，叫做真命题 步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证 相等的角是对 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反
第 2 页 共 17 页结论一定成立的命题，叫做假 顶角 例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
命题
6.逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题
的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7. 互逆命题
（1）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中
一个定理叫做另一个定理的逆定理．
（2）任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
（3）角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都
是互逆定理．
8.公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依
据，这样的真命题叫做公理。
9.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步
作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10.反证法
（1）反证法的定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾
断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
（2）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
第 3 页 共 17 页第二部分：考点突破
考点1尺规作图作角平分线
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧分别交 于点 和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 ，以点
为圆心，适当长为半径画弧．交射线 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在 的内部相交于点 ，画射线 交 于点 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，
交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半
径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤
作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线 交 于点G，则 的长为（ ）
第 4 页 共 17 页A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2025·四川遂宁·中考真题）在 中， ，结合尺规作图痕迹提供的信
息，求出线段 的长为（ ）
A． B． C．6 D．
6．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别
交 ， 于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相
交于点P，作射线 交 于点F．已知 ， ，则 的长为 ．
7．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取
线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交
于点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
8．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ，以点C为圆心，适当长为半径
作弧，交 于点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧相交
于点P，作射线 交 于点D．
第 5 页 共 17 页(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
9．（2025·陕西·中考真题）如图，已知 ，点 在边 上．请用尺规作图法，在 的内
部求作一点 ，使得 ，且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点 ，使得 ；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，则 的长是多少？（请直接写出 的值）
11．（2024·广东·中考真题）如图，在 中， ．
(1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线 交 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
第 6 页 共 17 页(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心， 长为半径作 ．求证： 与 相切．
12．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作 的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作
出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 为
的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判
定全等的方法是_______；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， ， 或 ，
②_______________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证．
已知 ，求证： 平分 ．
考点2尺规作图作角
13．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆
心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
第 7 页 共 17 页C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
14．（2025·天津·中考真题）如图， 是 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当
长为半径画弧，与边 相交于点 ，与边 相交于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边
相交于点 ；③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；④作射线 ，
与 相交于点 ，与边 相交于点 ．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·河南·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线
于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点F（保留作图痕迹，不写
作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形 是菱形
第 8 页 共 17 页16．（2020·福建·中考真题）如图， 为线段 外一点．
（1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
（2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为 ，求证：
三点在同一条直线上．
17．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知 及 边上一点 ．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
考点3尺规作图作垂线
18．（2025·辽宁·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 的平分线 与
相交于点 ．在线段 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，与射线 相交于点 和
点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，与
相交于点 ，连接 ．则 的周长为（ ）
第 9 页 共 17 页A．12 B．14 C．16 D．18
19．（2025·湖北·中考真题）如图， 内接于 ．分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，
连接 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形 中，分别以点A和 为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，再以点A为圆心，以 的长为半径作弧交直线 于
点 （点 在正方形 内部），连接 并延长交 于点 ．若 ，则正方形 的边长
为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
22．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在 中，分别以B，D为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 于点O，交 于点E，F，下列结论不正确的是
第 10 页 共 17 页（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·天津·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 分别与边 相交于点D，E，连接
．若 ，则 的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
24．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形 中， ， 是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，垂足为点O，与边 分别交于
点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，求证：四边形 为菱形．
第 11 页 共 17 页26．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在 中，D是 中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
27．（2024·广西·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作
法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
考点4尺规作图与圆
28．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
第 12 页 共 17 页下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
29．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩
共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶
艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三
点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一
点M．作法如下：
①以点M为圆心， 长为半径，作弧交 于A，B两点；
②延长 交 于点C；
即点A，B，C将 的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若 的半径为 ，则 的周长为______ ．
第 13 页 共 17 页30．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线 ，使扇形 的面积被直线 平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形 的圆心角为 ，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点 为圆心的弧 ，交
于点 ，交 于点 ，使扇形 的面积与扇形 的面积比为 ．
31．（2018·广西河池·中考真题）如图，在 中， ．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 的垂直平分线，垂足为 ；
②以 为圆心， 长为半径作圆，交 于 （ 异于 ），连接 ；
（2）探究 与 的位置关系，并证明你的结论．
32．（2019·江苏无锡·中考真题）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中
线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻
度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
第 14 页 共 17 页33．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交边 于点 ，
连接 ，过点 作 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹，标
明字母）
(2)在（1）的条件下，求证： ．
34．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点 是 外一点．
(1)尺规作图：如图，过点 作出 的两条切线 ， ，切点分别为点 、点 ．（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ．求 的度数．
考点5命题与证明
35．（2023·辽宁盘锦·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A.方差越小则数据波动越大 B.等边三角形是中心对称图形
C.对角线相等的四边形是矩形 D.正多边形的外角和为
36．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图
第 15 页 共 17 页形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
37．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于
”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大
于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
38．（2019·江苏常州·中考真题）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只需举出一个反例，
反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
39．（2023·四川达州·中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
40．（2022·广西贵港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A. B.同位角相等
C.三角形的内心到三边的距离相等 D.正多边形都是中心对称图形
41．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
42．（2021·山东日照·中考真题）下列命题：① 的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴
对称图形；②天气预报说明天的降水概率是 ，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于
，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
43．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别在边 ， 上，
连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）．
第 16 页 共 17 页A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
44．（2025·北京·中考）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数a，b的值为
， ．
45．（2024·江苏宿迁·中考）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理
．
第 17 页 共 17 页
