文档内容
第 24 讲 统计与概率
第一部分：知识点梳理
知识点1：全面调查与抽样调查
1．全面调查与抽样调查的概念
①全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查（也称为普查）．
②抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大．
4.调查的有关概念：
总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量(不带单位).
知识点2：几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分
在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的
比．扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．
2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频
繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分
点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用
横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
知识点3：数据分析（常见统计量：平均数、中位数、众数、方差）
1.平均数：一般地，如果有n个数 ， ，…， ，那么， 叫做这n个数的平
均数， 读作“x拔”。
2.加权平均数：如果n个数中， 出现f 次，x 出现f 次，…，x 出现f 次（ ），那
1 2 2 k k
么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的
平均数 叫做加权平均数，其中f，f，…，f 叫做权。
1 2 k
3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数．
4．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
5.方差：在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据
的方差。通常用“ ”表示，即 .
第 1 页 共 22 页知识点4：事件类型
事件类型 定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些
P(必然事件)=1
定 事件 事情称为必然事件。
事 不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，
P(不可能事件)=0
件 事件 这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这
0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
知识点5：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A)。
2.概率的意义：它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，一个事件发生的概率是一个确定的数。
3.概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，共有n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的m种结
果，那么事件A 发生的概率P(A) = .
4.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
（2）列表法：当一次试验要涉及 2 个因素 （例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，应不
重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。
（3）画树状图法：当一次试验要涉及 2 个或更多 的因素时（例如从口袋中一次取3个球），通常采用画
树状图来求事件发生的概率。
知识点6：频率与概率
1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率 稳定在某个 常数 P 附近，因此，
用一个事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率，即P（A）=P.
2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统
计频率来估计概率。
3.注意：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确。
第 2 页 共 22 页第二部分：考点突破
考点1与调查统计有关的概念
1．（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A.调查某种柑橘的甜度情况 B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C.调查某市垃圾分类的情况 D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况
2．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据更稳定
3．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A.了解某班同学的跳远成绩 B.了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C.了解全国中学生的身高状况 D.了解某批次汽车的抗撞击能力
4．（2024·江苏镇江·中考真题）下列各项调查适合普查的是（ ）
A.长江中现有鱼的种类 B.某班每位同学视力情况
C.某市家庭年收支情况 D.某品牌灯泡使用寿命
5．（2023·四川德阳·中考真题）下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据
的方差也为2
6．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家
安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A.1500名师生的国家安全知识掌握情况
B.150
C.从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D.从中抽取的150名师生
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ， ，则发挥稳定的是甲
8．（2023·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是 是必然事件
第 3 页 共 22 页C．数据4，9，5，7的中位数是6
D．甲、乙两组数据的方差分别是 ， ，则乙组数据比甲组数据稳定
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（ ）
A.了解一批节能灯管的使用寿命 B.了解某校803班学生的视力情况
C.了解某省初中生每周上网时长情况 D.了解京杭大运河中鱼的种类
10．（2025·江西·中考真题）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务
教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A.随机抽取城区三分之一的学校 B.随机抽取乡村三分之一的学校
C.调查全体学校 D.随机抽取三分之一的学校
考点2统计图、统计表
11．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
12．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、
脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
13．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（ ）分布
情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的 数据（单位： ），并根据七年级男生体质健
康标准整理如下：
低体
等级 正常 超重 肥胖
重
第 4 页 共 22 页人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是 ．
14．（2025·上海·中考真题）为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复
2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离
开的人数大约为 ．
15．（2025·云南·中考真题）某中学为了解全校 名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节
目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制
的扇形统计图．根据图中的信息，该校 名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
16．（2025·甘肃兰州·中考真题）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个
问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下
是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其
中A类（ ），B类（ ），C类（ ），D类（ ），E类（ ）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中 __________， __________；
(2)所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否
第 5 页 共 22 页得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
17．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运
动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小
者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成
绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
第 6 页 共 22 页18．（2025·江苏苏州·中考真题）随着人工智能的快速发展，初中生使用 大模型辅助学习快速普及，
并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 大模
型辅助学习的时间（用x表示，单位： ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分
布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型
辅助学习时间频率分布表
组别 时间 频率
A
B
C
D
E
合计 1
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
(3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的
时间不少于 的学生人数．
19．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右
平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测
量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 17 17
身高 166 169 171 172 173 173 174
9 3 4
16 16 16
臂展 161 164 166 164 167 169 170
2 5 9
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
17 17 18
身高 175 177 177 178 180 180 183
6 9 1
第 7 页 共 22 页16 17 17
臂展 169 173 172 173 177 174 185
7 0 6
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 175 m 173
臂展 170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组： ，
）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域
内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 与身高 之间关联关系的直线 ．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 、 的值： ， ；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于 的男生人数；
(3)图②中直线 近似的函数关系式为 ，根据直线 反映的趋势，估计身高为 男生的臂展
长度．
考点3数据分析（平均数、中位数、众数、方差）
20．（2025·黑龙江·中考真题）2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会
的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天
的销售量（单位：套）分别为： ， ， ， ， ， ，这组数据的众数和中位数分别是
（ ）
A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138
21．（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行
统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
第 8 页 共 22 页A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
22．（2025·湖南长沙·中考真题）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现
“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均
“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：
．则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为
95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96
24．（2025·四川南充·中考真题）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引
体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个
6 9 11 12 15
数
人
2 5 8 3 2
数
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．15
25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：
，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统
计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
26．（2024·青海西宁·中考真题）2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43
届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知
识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进
行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
第 9 页 共 22 页A．本次调查的样本容量是500
B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
27．（2025·甘肃兰州·中考真题）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭
练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩 （单位：
6.58 7.67
环）
方差 6.91 0.72
28．（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四
个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
应聘者
项目
甲 乙 丙
学历
经验
能力
态度
公司将学历、经验、能力和态度得分按 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，
则 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
29．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办
第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级
各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、
分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
统计量 年级
第 10 页 共 22 页七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 c
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的 ________， ________， _________．
(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
30．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选
拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值： ______， ______；
(2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明
理由（写出一条合理的理由即可）
考点4事件与概率
31．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
第 11 页 共 22 页C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心
32．（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（ ）
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3 B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.任意画一个三角形，其内角和是180°
33．（2024·湖北·中考真题）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B.某同学投篮球，一定投不中
C.经过红绿灯路口时，一定是红灯 D.画一个三角形，其内角和为
34．（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机
抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都
相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ，则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
36．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随
机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的
概率为（ ）
A． B． C． D．
37．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有 ， ， 中的一个数
字），若向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
38．（2025·福建·中考真题）在分别写有 ，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片
上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
39．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵
全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
40．（2025·山东·中考真题）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝
“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．
若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A． B． C． D．
第 12 页 共 22 页41．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有 位女同学和 位男同学，每位同学的名字都被分别写在
一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的
名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同
学的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内
各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
43．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作
交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影
部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
44．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，
当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
45．（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里
有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相
等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ．
第 13 页 共 22 页46．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 ， ， ，
， ，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
47．（2025·江西·中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全
相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与
者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写
有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
48．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育
类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体
育活动．
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
第 14 页 共 22 页考点5频率与概率
49．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将
同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数
12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
50．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，
下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
51．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相
同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
52．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
53．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一
次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
54．（2017·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、
大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在 、 ，
则估计箱子里蓝球有 个．
第 15 页 共 22 页55．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼
苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100
条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池
（填甲或乙）
考点6统计与概率综合
56．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关 中的两个，能让两盏灯泡 同时发光
的概率为 ．
， ，
， ，
， ，
57．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字 的卡片，其中标有数字 的卡片在甲手
中，标有数字 的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
58．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次
按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连
续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是 ．
59．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最
喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其
他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是_______人；
第 16 页 共 22 页(2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度；
(3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状
图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
60．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别
是： ．五谷画， ．彩陶， ．剪纸， ．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学
生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅
不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中 __________；
(2)补全条形统计图；
(3)该校有 人，请你估计该校对课程 感兴趣的学生有多少名？
(4)甲、乙两名同学从 、 、 、 四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课
程的概率．
61．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的
重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A
（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小
组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所
示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
第 17 页 共 22 页(1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
(2)请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
(3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数；
(4)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项
目A和D的概率．
62．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．
论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题
的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善
的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）
等 频
频率
级 数
A m
B
C n
D 6
根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中 ______， ______；
(2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度；
第 18 页 共 22 页(3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生
参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好
来自同一个班级的概率．
63．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的
建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个
出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
64．（2025·四川南充·中考真题）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、
C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望
增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图．
(1)求问卷调查的总人数，并补全条形图．
(2)若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
(3)本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求
恰好抽中一男一女的概率．
65．（2025·江苏苏州·中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少
年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有 共3部电影，甲、乙2位同学分别
从中任意选择1部电影观看．
第 19 页 共 22 页(1)甲同学选择A电影的概率为________；
(2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
66．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生
分成 两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别
标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数
字记为 ．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长
再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 ．若 ，则 组学生到甲敬老院， 组学生到
乙敬老院；若 ，则 组学生到乙敬老院， 组学生到甲敬老院．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
(2)求 组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ．
67．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志
愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高 （单位： ）数据分为
、 、 、 、 五组，并制成了如下不完整的统计图表．
组别 身高分组 人数
5
4
12
9
根据以上信息回答：
(1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中 的圆心角度数是________，请补全条形统计图．
(2)若 组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出
刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
68．（2025·四川宜宾·中考真题）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，
随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手
工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
第 20 页 共 22 页请结合图中信息解答下列问题．
(1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动；
(3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人
加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
69．（2025·四川眉山·中考真题）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．
某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、
B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调
查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度；
(2)补全条形统计图；
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学
生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的
概率．
70．（2025·四川泸州·中考真题）某市教育综合实践基地开设有 ：巧手木艺； ：创意缝纫； ：快乐
种植； ：美味烹饪； ：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，
基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，
并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
第 21 页 共 22 页课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
(1) ______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
(2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数；
(3)小明同学从 四门课程中随机选择两门，求恰好选中 两门课程的概率．
第 22 页 共 22 页
