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第 23 讲 尺规作图与命题、证明 答案解析(教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一 尺规作图
1.尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2.五种基本尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段
求作：线段AB，使AB=a 图示：
作法： a
①作一条直线l
②在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段 的长度
为半径画弧，交直线l于点B。
l
线段AB 即为所求作的线段。
A B
依据：圆上的点到圆心的距离等于半径.
（2）作一个角等于已知角
已知：∠AOB. 图示：
B
求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB.
作法：
①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别
交OA，OB于点P,Q；
②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG O A
于点D;
③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于 F
点F;
④作射线EF.∠DEF即为所求作的角
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等； E G
D
2）全等三角形的对应角相等；
（3）作已知角的平分线
已知：∠AOB 图示：
求作：∠AOB的平分线OP. B
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB P
于点N，M；
M
②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的
内部画弧，两弧交于点P；
③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. O A
N
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
（4）作线段的垂直平分线
第 1 页 共 48 页已知：线段AB。 图示：
求作：线段AB的垂直平分线 。
M
作法：
A B
①分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
交于点M,N;
N
②过点M,N作直线. 直线MN 即为线段AB的垂直平分
线.
依据：1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上；
2）两点确定一条直线.
（5）经过一点作已知直线的垂线
▶经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线l和l上一点O。 图示：
求作：直线l的垂线，使它经过点 。
作法：
M
①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线 于A,B两
点;
l
A O B
②分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
N
交于点M, N;
③连接MN. 直线MN即为所求作的垂线.
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
▶经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知:直线l和l外一点M. 图示：
求作:直线l的垂线,使它经过点M.作法:
①在直线l的另一侧取点P;
M
②以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线 于A,B
两点;
l
③分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧 A B
交于点N; P
④连接MN. 直线MN 即为所求作的垂线. N
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
知识点二 命题、定义、定理
1.定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2.命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3.命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4.命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”
后接的部分是结论。
5.真命题、假命题
内容 举例 注意
如果题设成立，那么结论一定 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一
真命题
成立的命题，叫做真命题 步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证 相等的角是对 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反
第 2 页 共 48 页结论一定成立的命题，叫做假 顶角 例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
命题
6.逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题
的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7. 互逆命题
（1）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中
一个定理叫做另一个定理的逆定理．
（2）任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
（3）角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都
是互逆定理．
8.公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依
据，这样的真命题叫做公理。
9.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步
作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10.反证法
（1）反证法的定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾
断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
（2）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
第 3 页 共 48 页第二部分：考点突破
考点1尺规作图作角平分线
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧分别交 于点 和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知
平分 ，则可求 ，利用含 的直角三角形的性质得出 ，利用等角
对等边得出 ，进而得出 ，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
由作图知： 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 的面积为8，
∴ 的面积是 ，
故选B．
2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 ，以点
第 4 页 共 48 页为圆心，适当长为半径画弧．交射线 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在 的内部相交于点 ，画射线 交 于点 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的
关键．由作图可知 ，结合 ，求出 ，再利用平行
线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
3．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，
交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半
径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角
第 5 页 共 48 页互余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可得答案
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由作图知， 平分 ，
∴ ，
又
∴
故选：B
4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤
作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线 交 于点G，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得： 平分 ，即 ，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得
，进一步即可求解.
【详解】解：根据题意可得： 平分 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：A.
5．（2025·四川遂宁·中考真题）在 中， ，结合尺规作图痕迹提供的信
第 6 页 共 48 页息，求出线段 的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和
性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出 ，设 交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得
，利用等积法求出 ，进而可得 ，证明 ，再根据相似三角形的性质求解即
可.
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ,
由题意可得： 平分 ，即 ，
设 交于点M，作 于点N，如图，
则 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，即 ，
则 ，
由作图痕迹可知： ，
∴ ，
第 7 页 共 48 页∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
故选：A.
6．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别
交 ， 于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相
交于点P，作射线 交 于点F．已知 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图 基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定
与性质等知识．根据基本作图可判断 平分 ，过F作 于G，再利用角平分线的性质得到
，根据勾股定理求出 ，证明 ，得出
，设 ，则 ， ，根据勾股定理得出
，求出 ，根据勾股定理求出 ．
【详解】解：过F作 于G，
第 8 页 共 48 页由作图得： 平分 ， ， ，
∴ ，
在 中根据勾股定理得： ，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得：
，
即： ，
解得： ，
，
在 中根据勾股定理得： ．
故答案为： ．
7．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取
线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交
于点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知 平分 ，根据角平分线的
第 9 页 共 48 页性质可知 ，结合 求出 ， ．
【详解】解：作图可知 平分 ，
∵ 是边 上的高， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
8．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ，以点C为圆心，适当长为半径
作弧，交 于点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧相交
于点P，作射线 交 于点D．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可.
（1）由题意得 ，根据 是 的角平分线即可求解；
（2）求出 ，得到 ；求出 ．
．推出 ．即可求解；
【详解】（1）解： ，
．
由作图可知， 是 的角平分线，
第 10 页 共 48 页．
（2）解：在 中，由三角形内角和定理得 ，
，
，
在 中， ，
．
．
．
．
，
．
9．（2025·陕西·中考真题）如图，已知 ，点 在边 上．请用尺规作图法，在 的内
部求作一点 ，使得 ，且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基
本作图是解题的关键．先作 的平分线 ，再在 同侧作 ，使 ，
交 于P即可．
【详解】解：如图，点 即为所求；
理由如下：
由作图可知： 是 的平分线，
第 11 页 共 48 页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 即为所求．
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线，在角平分线上确定点 ，使得 ；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，则 的长是多少？（请直接写出 的值）
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）作 的角平分线和线段 的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，先利用角平分线的性质定理证
明四边形 为正方形，设 ，则 ， ，以 为等量
关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）解：如下图： 即为所求．
（2）过点D作 交 与点E，过点D作 交 与点F，
则 ，
又∵
∴四边形 为矩形，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
第 12 页 共 48 页∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵
∴
∴
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定
理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
11．（2024·广东·中考真题）如图，在 中， ．
(1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线 交 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心， 长为半径作 ．求证： 与 相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题
的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
第 13 页 共 48 页（2）如图2，作 于 ，由角平分线的性质定理可得 ，由 是半径， ，可证
与 相切．
【详解】（1）解：如图1， 即为所作；
（2）证明：如图2，作 于 ，
∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ，
∵ 是半径， ，
∴ 与 相切．
12．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作 的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作
出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 为
的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判
定全等的方法是_______；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， ， 或 ，
②_______________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
第 14 页 共 48 页任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证．
已知 ，求证： 平分 ．
【答案】(1) ；全等三角形的对应角相等
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是
解题的关键；
（1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是 ，对于乙同学作法，
通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， ， 或 ，②全等三角形的对应角相等，选取
全等三角形的判定方法证明，即可求解；
（2）根据已知得出 ，进而可得 ，根据等边对等角可得 ，等量代
换可得 ，即可得证．
【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是
对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， ， 或 ，②全等三角形的
对应角相等
证明如下：根据作图可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
故答案为： ；全等三角形的对应角相等．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 15 页 共 48 页∴ ，
∴ 平分 ．
考点2尺规作图作角
13．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆
心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得 ，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
14．（2025·天津·中考真题）如图， 是 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当
长为半径画弧，与边 相交于点 ，与边 相交于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边
相交于点 ；③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；④作射线 ，
与 相交于点 ，与边 相交于点 ．则下列结论一定正确的是（ ）
第 16 页 共 48 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得： ，
再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
【详解】解：由作法得： ，
根据题意无法得到 与 的大小关系，
所以无法确定 与 的大小关系，故A选项错误；
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故D选项正确；
题干中没有说明 的大小关系，
∴无法判断 的大小关系，则无法得到 的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到 的大小关系，故C选项错误；
故选：D
15．（2024·河南·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线
于点E．
第 17 页 共 48 页(1)请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点F（保留作图痕迹，不写
作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形 是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形 是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出 ，最
后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵在 中， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
16．（2020·福建·中考真题）如图， 为线段 外一点．
（1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
第 18 页 共 48 页（2）在（1）的四边形 中， ， 相交于点 ， ， 的中点分别为 ，求证：
三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；
(2)通过证明角度之间的大小关系，得到 ，即可说明 三点在同一条直线上．
【详解】解：（1）
则四边形 就是所求作的四边形．
（2）∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，∴ ．
连接 ， ，又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵点 在 上∴ ，∴ ，
∴ 三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能
力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
17．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知 及 边上一点 ．
第 19 页 共 48 页(1)用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得 是直径，结合锐角三角函数的定义可得 的值，根
据勾股定理可求出 的值，在直角 中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴ ；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
第 20 页 共 48 页连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心，以任意长为半径画弧交
于点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 并延长交 于点
，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点 到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得， ，连接 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
第 21 页 共 48 页设 ，则 ，
∴在 中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综
合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
考点3尺规作图作垂线
18．（2025·辽宁·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 的平分线 与
相交于点 ．在线段 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，与射线 相交于点 和
点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，与
相交于点 ，连接 ．则 的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知
，证明 ，得到 ， ，进而求出 的长，得到 垂直平分 ，得
到 ，进而推出 的周长等于 的长即可．
【详解】解：由作图可知， ，设 交于点 ，则： ，
∵ 平分 ，
第 22 页 共 48 页∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
故选B
19．（2025·湖北·中考真题）如图， 内接于 ．分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，
连接 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由 是 的垂直平分
线，可得 ，可得 ，再进一步求解即可.
【详解】解：由作图可得： 是 的垂直平分线，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
20．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形 中，分别以点A和 为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，再以点A为圆心，以 的长为半径作弧交直线 于
点 （点 在正方形 内部），连接 并延长交 于点 ．若 ，则正方形 的边长
为（ ）
第 23 页 共 48 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，设 交 于点H，正方形边长为 ，由作图知， ， 垂直平分
，得到 ， ，由勾股定理得到 ，证明 ，推出 ，
推出 ，得到 ，即得 ．
【详解】连接 ，设 交 于点H，正方形边长为 ，
由作图知， ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第 24 页 共 48 页∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，
勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．
21．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得： ，
∴线段 一定是 的高线；
故选B
22．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在 中，分别以B，D为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 于点O，交 于点E，F，下列结论不正确的是
（ ）
第 25 页 共 48 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图可知： 垂直平分 ，得到 ，于是得到点O为 的对称中心，
，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，
推出四边形 是菱形，据此判断即可．
【详解】解：根据作图可知： 垂直平分 ，
∴ ，
∴点O为 的对称中心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∴ ，
∴ ，故A正确；
∴四边形 是菱形，
∴ ，故C正确；
第 26 页 共 48 页与 不一定相等，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知
识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
23．（2023·天津·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 分别与边 相交于点D，E，连接
．若 ，则 的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由作图可知直线 为边 的垂直平分线，再由 得到 ，则可知
三点在以 为圆心 直径的圆上，进而得到 ，由勾股定理求出 即可．
【详解】解：由作图可知，直线 为边 的垂直平分线，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点在以 为圆心 直径的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌
握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
第 27 页 共 48 页24．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到 ， ，即 ，由一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵ 是直径，
∴运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ，
∴点 即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
第 28 页 共 48 页∴ ， ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形 中， ， 是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，垂足为点O，与边 分别交于
点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，求证：四边形 为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别以B、D为圆心，以大于 长的一半画弧，二者交于M、N，连接 分别与与边 分
别交于点E，F，则点E和点F即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义打得到 ， ， ，再由等边对等角和
平行线的性质可推出 ，则可证明 ，得到 ，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，
∵ 垂直平分 ，
第 29 页 共 48 页∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
26．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在 中，D是 中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段 的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合
，得到 ，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
第 30 页 共 48 页（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
27．（2024·广西·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作
法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于 为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，
则直线l即为所求．
（2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出 ，由三
角形内角和得出 ，则得出 为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出 的长．
【详解】（1）解：如下直线l即为所求．
第 31 页 共 48 页（2）连接 如下图：
∵ 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形
内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
考点4尺规作图与圆
28．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
第 32 页 共 48 页（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
【详解】解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ，
∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．
第 33 页 共 48 页∴ 为 的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题
的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩
共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶
艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三
点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一
点M．作法如下：
①以点M为圆心， 长为半径，作弧交 于A，B两点；
②延长 交 于点C；
即点A，B，C将 的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若 的半径为 ，则 的周长为______ ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接 ，设 的交点为D，得到 ，根据 的半径为 ， 是直径，
是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关
第 34 页 共 48 页键．
【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的 的圆周三等分点．
（2）连接 ，设 的交点为D，
根据垂径定理得到 ，
∵ 的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
30．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线 ，使扇形 的面积被直线 平分．
[拓展探究]
第 35 页 共 48 页如图（2），若扇形 的圆心角为 ，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点 为圆心的弧 ，交
于点 ，交 于点 ，使扇形 的面积与扇形 的面积比为 ．
【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形 的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形 的面积与扇
形 半径之比为 ，只要画出 或 的中点即可．方法一：作扇形 半径 的垂直平分线找
到中点 ，然后以 为半径作弧交半径 于点 ．方法二：扇形 的圆心角为 ，根据含 的
直角三角形是斜边的一半，过 点作出 的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以 为
圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
①连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点 ，标注出点
②画直线
③直线 即为所求
作法二：如图所示
①以 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，
第 36 页 共 48 页②分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，标注出点 .
③画直线 ，直线 即为所求
[拓展探究]
扇形 的面积与扇形 的面积比为 ，设扇形 的半径为 ，扇形 的半径为
扇形 的面积∶扇形 的面积
只要画出 或 的中点即可
作法一：
①作 的垂直平分线交 于点 ，标注出点
②以 为圆心 长为半径画弧，交 于点 ，标注出点
③弧 即为所求．（同理作 的垂直平分线也可得分）
作法二：
过 点作出 的垂线或者过 点作 的垂线，取垂线段的长度为半径，以 为圆心画弧即可．（依
据：含 的直角三角形是斜边的一半）
31．（2018·广西河池·中考真题）如图，在 中， ．
第 37 页 共 48 页（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 的垂直平分线，垂足为 ；
②以 为圆心， 长为半径作圆，交 于 （ 异于 ），连接 ；
（2）探究 与 的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2） （或垂直），理由见解析．
【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到 ．
【详解】（1）解：如图，①作出 的垂直平分线
②以点 为圆心， 长为半径作圆，连接
（2） （或垂直），理由如下:
∵ 是 的直径
∴
∴ ．
【点睛】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．
32．（2019·江苏无锡·中考真题）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中
线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻
度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
第 38 页 共 48 页【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于
点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点
F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，
连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；
(2)①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法
是解题的关键.
33．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交边 于点 ，
连接 ，过点 作 ．
第 39 页 共 48 页(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹，标
明字母）
(2)在（1）的条件下，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作图，过点 作 的垂线，交 于点 ，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明 ，根据平行线的性质以及
等腰三角形的性质得出 ，进而证明 ，即可得证．
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点 在以 为直径的圆上，
第 40 页 共 48 页∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵在 和 中，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
34．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点 是 外一点．
(1)尺规作图：如图，过点 作出 的两条切线 ， ，切点分别为点 、点 ．（保留作图痕迹，
不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ．求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画圆，两圆交于点 两点，
作直线 交 于点 ，②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
（2）根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得出 ，进而根据圆周角
第 41 页 共 48 页定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
①连接 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 两点，作直线 交
于点 ，
②以点 为圆心， 为半径画圆，与 交于 两点，作直线 ，
则直线 即为所求；
（2）如图所示，点 在 上（点 不与 ， 两点重合），且 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定
理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点5命题与证明
35．（2023·辽宁盘锦·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为
【答案】D
【分析】根据方差的意义，中心对称图形的定义，矩形的性质，正多边形的外角和定理逐项判断即可．
【详解】解：方差越小则数据波动越小，故A选项错误；
第 42 页 共 48 页等边三角形不是中心对称图形，故B选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误；
正多边形的外角和为 ，故D选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查方差，中心对称图形，矩形，正多边形的外角和等，熟练掌握相关定义或性质是解题
的关键．
36．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图
形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱
形，故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．
37．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于
”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大
于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结
第 43 页 共 48 页论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
38．（2019·江苏常州·中考真题）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只需举出一个反例，
反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】反例中的 满足 ，使 ，从而对各选项进行判断．
【详解】解：当 时，满足 ，但 ，
所以判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，举出 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．
要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
39．（2023·四川达州·中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设 ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是
掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
40．（2022·广西贵港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
第 44 页 共 48 页A． B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等 D．正多边形都是中心对称图形
【答案】C
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
【详解】解：当 时， ，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
正三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
41．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
42．（2021·山东日照·中考真题）下列命题：① 的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴
对称图形；②天气预报说明天的降水概率是 ，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于
，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可
确定正确的选项．
【详解】解：① 的算术平方根是 ，故原命题错误，是假命题；
第 45 页 共 48 页②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；
②天气预报说明天的降水概率是 ，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，
是假命题；
④若一个多边形的各内角都等于 ，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；
真命题有1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的
意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
43．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别在边 ， 上，
连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】由 ，可得 ，再由 ，由 无法证明 与
全等，从而无法得到 ；证明 可得 ；证明 ，可得
，即可证明；证明 ，即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵若 ，
又 ，
∴ 与 满足“ ”的关系，无法证明全等，
因此无法得出 ，故A是假命题，
∵若 ，
∴ ，
在 和 中，
第 46 页 共 48 页，
∴ ，
∴ ，故B是真命题；
若 ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C是真命题；
若 ，则在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题
叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
44．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数a，b的值为
， ．
【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反
例是解题的关键．
根据举反例的方法找到a，b满足 ，但是不满足 即可解答．
第 47 页 共 48 页【详解】解：当 ， 时， ，但是 ．
故答案为： ，1（答案不唯一）．
45．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理
．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
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