文档内容
第 22 讲 图形的变换（平移、轴对称与旋转）
第一部分：知识点梳理
知识点1 图形的平移
1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平
移不改变图形的形状和大小．
图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的
射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
2.平移的三要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3.平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①平移前后，对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③平移前后的图形全等．
【注意】平移、轴对称、旋转都全等变换，不改变图形的形状和大小.
知识点2 轴对称
1.轴对称图形
定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，
这条直线就是对称轴.
常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2.轴对称的性质
①成轴对称的两个图形全等；
②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
③成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
3.作某点关于某直线的对称点的一般步骤
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；
②再将线段延长一倍，得到的端点就是所求作的对称点．
4.作已知图形关于某直线的对称图形的步骤
①找：找出原图形的关键点；
②作：作出关键点关于对称轴的对称点；
③连：按原图顺序依次连接相应的对称点；
④若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合.
5.画对称轴
由轴对称的性质：任意一组对应点对应点的连线被对称轴垂直平分，可以作图.
具体步骤：找出任意一组对应点并连接，画出对应点所连线段的垂直平分线，即为对称轴.
轴对称图形与轴对称的对比
轴对称图形 轴对称
第 1 页 共 17 页图形
如果一个图形沿着某条直线对折后，直
如果两个图形对折后，这两个图形能够
线两旁的部分能够完全重合，那么这个
定义 完全重合，那么我们就说这两个图形成
图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做
轴对称，这条直线叫做对称轴
对称轴
对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
性 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
质 对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴对称图形是一个具有特殊形状的图 轴对称是指两个图形的位置关系，必须
区别
形，只对一个图形而言； 涉及两个图形；
知识点3 图形的旋转
1.定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫
旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．旋转过程中，这个图形上的每个点同时绕旋
转中心按照此方向旋转相同的角度.
2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3.性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4.旋转作图步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转
角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）依次连接各对应点，得到旋转后的图形．
5.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂
直平分线上，即旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变.所以在解答有关
旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形（等腰、等边）的性质的运用、锐角三角函
数建立的边角关系起着关键的作用．
知识点4 中心对称图形与中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图，△ABC与△A′B′C′关于点O对称.
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、正方形、正六边形、圆.（而正三角形不是中心对称图形）
第 2 页 共 17 页3.中心对称的性质：
中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经
过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
4.确定对称中心的方法：
（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
5.中心对称作图
（1）连接原图形的关键点与对称中心；
（2）延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到
对称中心的距离相等；
（3）将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
6.中心对称图形与中心对称对比
中心对称图形 中心对称
图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一
定义 它自身重合，我们就把这个图形叫做中 个图形重合，我们就把这两个图形叫做
心对称图形，这个点叫做它的对称中心 成中心对称
对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
性
对应线段 AB=CD，AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
质
对应角 ∠A=∠C，∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
中心对称图形是指具有某种特性的一个
区别 中心对称是指两个图形的关系
图形
把中心对称图形的两个部分看成“两个 把成中心对称的两个图形看成一个“整
联系
图形”，则这“两个图形”成中心对称 体”，则“整体”成为中心对称图形
知识点5 坐标变换规律 (轴对称与中心对称)：
已知平面直角坐标系的点P(x, y)
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 （ x ， - y ） ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标 （ - x ， y ） ．
（3）点P关于原点的对称点为 （ - x ， - y ） ．
可结合坐标系的图象进行推导（ “关于谁，谁不变，关于原点都改变”）
第 3 页 共 17 页第二部分：考点突破
考点1平移
1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度到 处，则点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将 平移，得到 ，点 在坐
标轴上．若 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将线
段 平移得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位到点B，则点B的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着 轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为
，则平移后点 的坐标为 ．
6．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点
的坐标是 ．
7．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的 沿 方向平移2个单位长度得 ，连
接 ，则四边形 的周长为 ．
第 4 页 共 17 页8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知 ， 两点的坐标分别为 ， ，将线段 平
移得到线段 ．若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段 的
端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中将线段 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段 （点 的对
应点为点 ，点 的对应点为点 ），画出线段 ， ， ；
(2)在方格纸中，画出以线段 为斜边的等腰 （点 在小正方形的顶点上），且 为钝角，
， 交于点 ，连接 ，直接写出 的值．
考点2轴对称
10．（2025·青海·中考真题）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·重庆·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第 5 页 共 17 页12．（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几
何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多
种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 、 、
分别是边 、 、 上的动点，则 周长的最小值是 ．
17．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形 的边长为 ，以 边为底向外作等腰 ，
点 是对角线 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
18．（2023·江苏宿迁·中考）在平面直角坐标系中，点 与点B关于x轴对称，则点B的坐标是
．
19．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片 中， 点E在边 上，将纸片沿 折叠，
第 6 页 共 17 页点B落在 处， ， 垂足为F 若 ， 则
20．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、
点 为射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ．
考点3旋转
21．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三
个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是 ，将线段 绕点O顺时针旋转 ，点A的对
应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·天津·中考真题）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，
点B，C的对应点分别为 的延长线与边 相交于点 ，连接 ．若 ，则线段
的长为（ ）
第 7 页 共 17 页A． B． C．4 D．
24．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形 先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正
方形绕原点O顺时针方向旋转 ，得到四边形 ，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ．当 落在 上时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，
点N是 边上任意一点，将线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小
值为（ ）
第 8 页 共 17 页A．15 B． C． D．18
27．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，则点 对应点的坐标为 ．
28．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ．将射线 绕点C顺时
针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，使得 面积为24，连结 ，则 的最大值
1
是 ．
29．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在 和 中， ， ，将
绕点A顺时针旋转一定角度，当 时， 的度数是 ．
30．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原
点按顺时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的 变换，现将斜边为1的等腰直角三角形
放置在如图的平面直角坐标系中， 经 变换后得 为第一次变换， 经
变换得 为第二次变换，…，经 变换得 ，则点 的坐标是 ．
第 9 页 共 17 页考点4中心对称
31．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为
中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称
图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2025·辽宁·中考真题）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A. B.
C. D.
34．（2025·福建·中考真题）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其
规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容
圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
35．（2025·山西·中考真题）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个
科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2025·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第 10 页 共 17 页38．（2024·山东·中考真题）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的对角线 相交
于原点O．若点A的坐标是 ，则点C的坐标是 ．
考点5图形变换的综合问题
41．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面
直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ．
第 11 页 共 17 页(1)将 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 ，画出两次平移后的
，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
42．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中含 角
的三角板 的直角边 落在 轴上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函
数 的图象经过点 ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板 绕点 顺时针旋转 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 的坐
标．
43．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题
展开探究．
特例研究
在正方形 中， 相交于点O．
第 12 页 共 17 页（1）如图1， 可以看成是 绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为
________，k的值为________；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 （点O，B的对应点分别为
点E，F），使得点E落在 上，点F落在 上，求 的值
类比探究
（3）如图3，在菱形 中， ，O是 的垂直平分线与 的交点，将 绕点A逆
时针旋转，旋转角为α，并放缩得到 （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 上，
点F落在 上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中 ，其余条件不变，探究 之间的数量关系（用含β的式子表示）．
44．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图， 中， ，设 ，点D是直线 上一
动点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转α至 ，连接 、 ，过点E作 ，交直线
于点F．探究如下：
(1)若 时，
如图①，点D在 延长线上时，易证： ；
如图②，点D在 延长线上时，试探究线段 、 、 之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并
说明理由．
(2)若 ，点D在 延长线上时，如图③，猜想线段 、 、 之间又有怎样的数量关系？请
直接写出结论，不需要证明．
第 13 页 共 17 页45．（2025·湖北·中考真题）在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应
点 落在边 上，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；
(3)如图3，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过点 作 的平行线交 于点G， 与
交于点 ．
①求证： ；
②当 时，直接写出 的值．
46．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动
点的几何问题．若四边形 是正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．
用等式写出线段 的数量关系______．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形 的边
的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ，
，点N，M分别在边 上， ，用等式写出线段 的数量关系，
并说明理由．
第 14 页 共 17 页第 15 页 共 17 页47．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点
，点 在第一象限，且 ．
(1)填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点
落在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
48．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面
上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上， ，
， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在
移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线 上），且形状大小保持不变，但落在义
卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 移动到 落在 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
第 16 页 共 17 页49．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探
究．
(1)如图（1）所示，在梯形 中， ， ．设 为边 中点，将 绕点 旋转
，点 旋转至点 的位置，得到的 是等腰三角形，其中 ，设 ，求边 的
长（用 表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形 中， ，且 ， ．请设计一种方案，用一
条或两条直线将梯形 分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无
缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的
论述语言： 为边 中点， 是梯形 的顶点）．
50．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形
与正方形 （ ），点E，G分别在 上，根据图形提出问题：如图2，正方形 绕
点B顺时针旋转，旋转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，探究线段 ，
， 之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你
写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角 的范围再扩大，正方形 绕点B顺时针旋转，
旋转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，请直接写出 ， ， 之间的
数量关系．
第 17 页 共 17 页
