文档内容
第 03 讲 简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线
课程标准 学习目标
1. 理解线段的垂直平分线、角平分线的概念。
①垂直平分线、角平分线的概念
2. 掌握线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及逆定理。
②垂直平分线、角平分线的性质
3. 运用线段的垂直平分线、角平分线的性质定理进行求解。
知识点01 线段的垂直平分线（简称中垂线）
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
作法：作已知线段的垂直平分线.
【即学即练1】
1．（2025·青海西宁·一模）如图，在 中， 是 的垂直平分线， ， ，则 的长
是 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在 中，分别以 ， 两点为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧相交于点 ， ，直线 与 ， 分别相交于点 、 ，若 ， 的周长为10，则
的周长是 ．
3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在 中，直线 垂直平分边 ，分别交 ， 于点 ，
．
(1)若 ， 的周长为 ，求 的长度；
(2)若 ，求 的度数；
(3)已知点 在线段 上，且点 在边 的垂直平分线上，连接 ，试判断点 是否在边 的垂直平
分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由．
知识点02 角平分线的性质
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3.作已知角的角平分线.
【即学即练2】
4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司5．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，小于
的长为半径画弧，分别交 ， 于点 、 ；②分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点 ；③作射线 交 边于点 ．若 ， ，则 的面积是 ．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 为 的平分线，过点D分别作
于点E， 交 的延长线于点F，若 的面积是 ，求
的长．
题型01 根据线段垂直平分线的性质求解
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于D，E
两点，若 ，则 的周长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图， 中， ，分别以点 、 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧在 两侧相交于点 、 ，作直线 分别与 、 交于点 ， ，连接 ，
则 ．
2．（24-25八年级下·广东河源·期中）在 中， ， 分别是边 ， 的垂直平分线，分别交
于 ， 两点，连接 ， ，若 ，则 的周长为 ．
3．（2025·山东济宁·一模）如图，在 中， ， ， ， ．若 、
分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
题型02 线段垂直平分线的性质和判定
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点M，交 于
点D， 的垂直平分线 交 于点N，交 于点E， 与 相交于点O， 的周长为10．
(1)求 的长；
(2)试判断点O是否在边 的垂直平分线上，并说明理由．
【变式训练】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的
高，连接 、 交于点O．
(1)证明： ；
(2)证明： 垂直平分 ．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形 ，其中 ， ．
(1)求证： ；
(2)证明： ．
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中，边 ， 的垂直平分线 ， 相交于点
P．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)请判断点 是否也在边 的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
题型03 线段垂直平分线的实际应用
例题：（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民
散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是 的
（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三个角平分线的交点
C．三条边上的高的交点
D．三条边上的中线的交点
2．（2025·广西桂林·一模）如图， 是等边三角形，直线 ，点P在直线 上运动，当点
P与 的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线 上会发出警报的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、
B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子
应放在 的（ ）
A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
题型04 作垂直平分线线（尺规作图）
例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在 中，请用尺规作图法，在边 上求作一点D，使得
．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，
为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹．
2．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在 中， ．
(1)尺规作图：作边 的垂直平分线 交 、 于D、E两点．
(2)连接 ，求 的周长．
3．（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，
按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位
置（要求利用尺规作图）；
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位
置．
题型05 根据角平分线的性质定理求解
例题：（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，点P是 平分线 上一点， ，垂足为D，
若 ，则点P到边 的距离是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在 中， ，以点B为圆
心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 、 ．分别以点M、N为圆心，以大于 的长度为
半径画弧，两弧相交于点P，过点 作线段 ，交 于点 ，则 的面积是 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为
的角平分线． ， 相交于点 ， 平分 ，已知 ， ， 的面积 ，求
的面积 ．
3．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在 中， ， 和 的平分线相交
于点O， 交 于D， 交 于E， ， ， ，则 周长为
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学科网（北京）股份有限公司题型06 根据角平分线的性质定理证明
例题：（24-25七年级下·重庆·期中）如图， 是 的角平分线上一点， ， ，垂足
分别为 ， ．过点 作 ，交 于点 ，在射线 上取一点 ，使 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在 中， 垂直平分 ，连接 ， 平分 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ， 的周长比 的周长多8， 的面积为6，则三角形 的面积为多少？
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图， 的外角 和 的平分线相交于点P，连接
．
(1)求证： 平分 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， 的面积是10， 的面积是15，求 的周长．
3．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在 中，D是 上一点．
小宜说：如图1，若 是边 上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出： ；
小昌说：如图2，若点D是 边上任意一点，则有 ；
小石说：如图3，若 是 的角平分线时，则有 ；
小榴说：受前面同学的启发我想到了：当 是 的角平分线时，有 ，请你为小榴
同学说明理由．
题型07 角平分线的性质实际应用
例题：（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图， ， ， 是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条
路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（ ）
A． ， 两边高线的交点处 B． ， 两边中线的交点处
C． ， 两边垂直平分线的交点处 D． ， 两角的平分线的交点处
【变式训练】
1．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，点 ， ， 表示三个车间，现要建一个仓库，使它到三
个车间的距离相等，则仓库应建在（ ）
A． 三边的中线的交点上 B． 三内角平分线的交点上
C． 三内高线的交点上 D． 三边垂直平分线的交点上
2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图， ， ， 表示的是三条河流，现决定在这三条河
流中间修建一个木材厂，使该木材厂到三条河流的距离相等，以便利用水路向外运木材，则这个木材厂应
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学科网（北京）股份有限公司建在（ ）
A． ， 两边高线的交点处 B． ， 两边中线的交点处
C． ， 两边垂直平分线的交点处 D． ， 两角的平分线的交点处
3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到
这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置应建在（ ）
A． ， 两边垂直平分线的交点处
B． ， 两边高线的交点处
C． ， 两边中线的交点处
D． ， 两内角的平分线的交点处
题型08 作角平分线（尺规作图）
例题：（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形 中， ，
用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
(1)作边 的中点D；
(2)作 的平分线 ，交 边于点E；
(3)作点C关于直线 的对称点F；
(4)直接写出 的长为 ．
【变式训练】
1．（2025·广东湛江·一模）如图，在 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请用无刻度的直尺和圆规作 的角平分线 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若 ， ，求 的面积
2．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图， 是等腰直角三角形， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长 至点 ，使 ，连接 ．求证： ．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）尺规作图，请保留作图痕迹：
(1)作出 的角平分线．
(2)延长 到点 ，使得 ．
(3)在 上方作 ，即 是 的角平分线．
一、单选题
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆 垂直平
分 ， ，则 的长是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2025·广东深圳·一模）如图，已知 ，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与 ， 分别
交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线 上一
点M作 ，与 相交于点N， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏苏州·一模）已知线段 ，利用直尺和圆规作 的垂直平分线，下列4个作图中正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在 中， 平分 ，若 ， ，则
的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图， 平分 ， ，垂足为E， 交 的
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学科网（北京）股份有限公司延长线于点F，若 恰好平分 ．则下列结论中：① 是 的高；② 是 的中线；③
；④ ．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知 是线段 的垂直平分线，E是 上的一点，若
，则 的长为 ．
7．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图， ，以点A为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别交
， 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线
，交 于点M．若 ，则 ．
8．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， 垂直平分 ．若 的周长
为 ， ，则 ．
9．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径作圆弧，交
于点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 和点 ，连
接 ，交 于点 ．若 的周长为21， ，则 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角 中， ，以 为边作 ，满足
，点 为 上一点，连接 ， ， ．有下列结论：① ；②
；③ ；④若 ，则 ．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟
在两条景观道 ， 之间（即 内部）的开阔地修建一所红十字救助站 ，使其到景观道 ，
的距离相等，同时到 ， 两个休息亭的距离也相等，试确定救助站 的位置．
12．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于
点F，交 于点E，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在 中， ，点 在 上，且点 在
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学科网（北京）股份有限公司的垂直平分线上，连接 ．
(1)若 ，求 的周长；
(2)分别过点 作 于 、 于 ，若 ， ，求 的长．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）在 中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知
．
(1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线 是线段 的______，射线 是 的______；
(2)在图②中，若 ，求 的面积；
(3)若P是直线 上的一个动点，求 的最小值．
15．（2024七年级下·江西景德镇·专题练习）已知 是 的平分线，P是射线 上一点，点C，D
分别在射线 ， 上，连接 ， ．
(1)如图①，当 时， 与 的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线 ， 上运动，且 ．当 时， 与 在（1）问
中的数量关系还成立吗？请说明理由．
16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1， 是 的角平分线， 为 上任意一点，
于 ， 于 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)如图2，在 中， 是 的角平分线， 于 ， 于 ，若 ， ，
求 的值；
(3)如图3，在 中， 是 的外角平分线， 交 的延长于点 ，当 ， 时，
求 与 的数量关系．
17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在 中，点 是 上一点，点 是 的中点，连接 并延长到点 ，过
点 作 交 于点 ，连接 ，求证： ；
【问题解决】
（2）如图2，四边形 是一个工业区，点 是一个入口， 是两个仓库，点 分别是粗加工
厂和精密加工厂，点 分别在 上， 是两条小路， 是两条运输公路，为方便从
粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿 修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨
道 与运输公路 之间的数量关系．已知 ， ．
请你帮助管理人员探索线段 之间的数量关系，并加以证明．
18．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线
的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长 到点E，使 ，再连接 ，这样就把 ，
， 集中在 中，则中线 的取值范围是______．
（2）如图2，在 中，D是 边的中点， 于点D， 交 于点E， 交 于点F，
连接 ．试判断 与 之间的大小关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中， ， ， ，以C为顶点作 ，
边 ， 分别交 ， 于点E，F，连接 ．试判断 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
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