文档内容
第 02 讲 简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形
课程标准 学习目标
1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
①等腰三角形的性质
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质
②等边三角形的性质
解决有关问题．(难点)
知识点01 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三
角的三线合一）
图形：如下所示； A
12
符号：在 中，AB＝AC，
1 / 14 B D C
学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】
1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图， ，点D在 上，且 ，则 的
度数为 ．
2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为 ， ，其中 ， 满足
，那么这个等腰三角形的周长是 ．
3．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在 中， ， 是边 上的中线，已知
， ，则 的度数是 ．
4．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在 中， ．
(1) 是 上的高， ．
①如图1，如果 ，则 _____°；
②如图2，如果 ，则 _____．
(2)思考：通过以上两小题，你发现 与 之间有什么关系？请用式子表示：_____．
(3)如图3，如果 不是 上的高， ，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
知识点02 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
【即学即练2】
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知 三条边的长都为 ，三个内角都相等，点 、 同
时从点A出发，点 以每秒 速度沿 向点 运动，点 以每秒 速度沿折线 运动，当点
到达点 时，点 也同时停止运动．如果点 在边 上，且以A、 、 中的两点和点 为顶点构成的
三角形与 全等，那么运动的时间为 秒．
6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边 中，点E在线段 的延长线上，点D在直线
上，且 ．若 的边长为1， ，则 ．
7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图， 中， ， ， 于点 ，延长
至点 ，连接 ，且 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上．且
与 相交于点于点 于点 ．
(1)求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)分别求出 的度数．
题型01 等腰三角形两腰相等求解
例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知 是等腰三角形，若 ，那么
的周长是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知 、 为等腰 的边长，且满足 ，则
的底边长是 ．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰 的三边长分别为5，11， ，则 ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形底边长为 ，一腰上的中线把这个三角形的周长分为
两部分，其差为 ，则该等腰三角形的腰长为 ．
题型02 根据等边对等角求角度
例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰 的一个内角是 ，则它的底角度数为
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它顶角的度数是 ．
2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为
．
3．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））如图，在 中 ， ，
， 平分 ，M 为射线 上的一动点． 当 为等腰三角形时， 的度
数为
题型03 根据等边对等角证明
例题：（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司．求证： ．
【变式训练】
1．（2025·陕西西安·三模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ， ，
与 交于点H．求证： ．
2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上， ，
， 与 相交于点 ，求证：
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图， 中， ，点 为 的中点，过点 分
别作 于 于 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型04 根据三线合一求解
例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，且 ，则 长
为
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中， ， 于点D，若
，则 的周长是 ．
2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的中
线，点 在 上， ，则 等于 ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等腰 的底边 长为4，面积是 ，腰 的垂直平分
线 分别交 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则 的周长
最小值为： ．
题型05 根据三线合一证明
例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， ， ，垂足为 ， ，
交 于点 ． 是等腰三角形吗？请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在 中， ， ．求证：
．
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图 ， ， ， 是 的中点．
求证： ．
3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在 中， ， 是 边上的中线，
，垂足为E．
(1)求证： ；
(2)若 的面积是2，求四边形 的面积．
题型06 根据等边三角形的性质求解
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图， 为等边三角形， ， ，则
的度数为 ．
2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形 中， ，点D是 的中点，过点D
作 于点F，过点F作 于点E，则 的长为 ．
3．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知点 、点 分别是等边三角形 中 、
边的中点， ，点 是 边上的动点，则 的最小值为 ．
题型07 根据等边三角形的性质证明
例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 和 是等边三角形，点 ， 分别在 ，
上，且 ，连接 与 交于点 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2) ；
(3) 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边 中，点 、 在边 、 上，且 ，
连接 、 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
2．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）如图，D是等边 内一点，且 ，点P是等边 外
一点， ， ．
(1)求 的度数；
(2)设 交 于点E，连接 ， 的边长为10， ，求 的面积．
3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图， 为等边三角形， ， 交 于点P，
于Q．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)连接 ，若 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它的底角度数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（24-25七年级下·重庆·期中）等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（
）
A．16 B．20 C．16或20 D．18或20
3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图， 中， ， 平分 ，则下列结论中，错误的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在 中、 、 的平分线相交于 ，过 作
，交 于 ，交 于 ，那么下列结论正确的有（ ）
① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图， 是等边三角形， ， 于 ，
交 于点 ，下列说法：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 .
7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在 中， ， 于点 ，点 、 在边 上，点
在点 的左侧，且 ，则图中全等三角形的对数共有 对．
8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在 中， ，点D 在边 上，
，则 ．
9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点
N和点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为 ．
10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 中， ， ，射线 从射线 开
始绕点 逆时针旋转 角 ，与 相交于点 ，将 沿射线 翻折至处 ，射线
与射线 相交于点 ．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在 与 中， ， ， ，求证：
．
12．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题：
(1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．
(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．
13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段 上有点D，E，且 ．在线段 外侧取
点A，使 ．连结 ， ， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求出图中除 与 外所有的等腰三角形，并说明理由．
14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点 作
于点 ，延长 和 ，交于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形：
(2)若 ， ， ，求 的长．
15．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在 中， 是 边上一点，以 为
边在 右侧作 ，使 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：
(2)若 ，求 的度数
16．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图， 与 均为等腰三角形， ，且
， 为 延长线上一点， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在 中， 是 的中点， ，
，垂足分别为 ，连接 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)当 的度数为_________时， 为等边三角形．
18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知 和 均是等边三角形．
(1) 与 之间的数量关系为_____；
(2)如图2，当 绕点C旋转至点D，且在 的延长线上时， ， ， 存在什么数量关系？并说
明理由；
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学科网（北京）股份有限公司(3)如图3，当 绕点C旋转至 经过点B时，过点A作 于点F，请直接写出线段 ，
与 之间的数量关系．
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