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专题突破卷 21 立体几何的轨迹问题
1.已知平行求轨迹
1．在棱长为1的正方体 中，E在棱 上且满足 ，点F是侧面 上的动点，
且 面AEC，则动点F在侧面 上的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解.
【详解】如图，取 的中点 ，并连接 、 、 ，
因为E在棱 上且满足 ，即E是棱 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ，所以动点F在侧面 上的轨迹即为 ，
因为正方体的棱长为1，由勾股定理有： .
故答案为： .
2．如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点．若侧面 的中心
为 ， 为侧面 内的一个动点， 平面 ，且 的轨迹长度为 ，则三棱柱
的表面积为 ．
【答案】 /
【分析】连接 交 于 ，取 的中点 ，过 作 ，分别交 于 ，连接
，由面面平行的判定定理可证得平面 平面 ，所以 的轨迹为线段 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】再由相似比求出 ，即可求出三棱柱 的表面积.
【详解】
连接 交 于 ，取 的中点 ，过 作 ，
分别交 于 ，连接 ，
易得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，因为 ，且都在面 内，所以平面 平面 ，
所以 的轨迹为线段 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故三棱柱 的表面积为 .
故答案为： .
3．如图，在三棱柱 中，M为AC 的中点N为侧面 上的一点，且MN//平面 ，若
1 1
点N的轨迹长度为2，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理证明平面 平面 ，再由MN//平面 可得点N的轨迹为线
段DE，据此即可得解.
【详解】如图，
取 的中点D， 的中点E，连接MD，DE，ME，
由 ， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，又 ， 平面
所以平面 平面 ，又 平面 ，
故点N的轨迹为线段DE，又由 ，可得 ．
故选：B．
4．如图，正方体 的棱长为2， E是棱 的中点，平面 截正方体
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所得截面图形的周长为 ，若F是侧面 上的动点，且满足 平面 ，则点F的轨迹长
度为 .
【答案】 /
【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长
度.
【详解】取CD中点G，连接BG、EG，
正方体中， ， ，四边形 为平行四边形，则 ，
E是 中点，G是CD中点， ，则等腰梯形 为截面，
而 ， ，
故梯形 的周长为 ；
取 中点M， 中点N，连接 ，
则 ，故四边形 为平行四边形，
则得 ，而 平面 ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 平面 ，同理 平面 ，
而 ， 平面 ，故平面 平面 ，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为 .
故答案为： ； .
5．如图，正方体 的棱长为1，点 是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内
一动点，若 平面 ，则 点轨迹在正方形 内的长度为 .
【答案】 /
【分析】利用面面平行的判定及性质得出结果.
【详解】如图，取 的中点 ，连结 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为点 是线段 的中点， 为 的中点，
所以 ， ，又
所以 ，所以四边形 为平行四边形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， 又平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 ，又 平面 .
所以平面 平面 .
当点 在线段 上时， 平面 ,
所以 平面 ，
又点 轨迹在正方形 内，所以点 在线段 上，
.
故答案为： .
6．如图所示，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面
内（包括边界）一动点，且 ∥平面EFG，则P点的轨迹长度为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】2
【分析】根据题意可证平面FGE∥平面 ，进而可得点P的轨迹为线段BC，即可得结果.
【详解】因为 ∥ ，则 四点共面，
连接 ，
因为E，F分别为所在棱的中点，则 ∥ ，
且 平面FGE， 平面FGE，所以 ∥平面FGE，
因为F，G分别为所在棱的中点，则 ∥ ，
且 平面FGE， 平面FGE，所以 ∥平面FGE，
， 平面 ，
所以平面FGE∥平面 ，且平面 平面 ，
可得当且仅当点P在棱BC上时，即 平面 ，满足 ∥平面EFG，
所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.
故答案为：2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】关键点睛：根据题意利用面面平行转化线面平行，再结合平行关系分析求解.
2.已知垂直求轨迹
7．如图，正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 是正方体表面上的动点．若
，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，设 ，证
明出 平面 ，可知 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为 的三边，求出 的周长
即可得解.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，
设 ，如下图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A B C D
1 1 1 1
因为四边形 是正方形，又点 是棱 的中点，点 是 的中点，
则 ， ， ，
所以， ，所以， ，
所以， ，
所以， ，即 ．
A B C D
在正方体 中， 平面 1 1 1 1，
A B C D
1 1 1 1
又 平面 ，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理可得， ，
又 ， 、 平面 ，所以， 平面 ．
所以 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为 的三边，
因为正方体 的棱长为 ，
由勾股定理可得 ，同理可得 ， ，
所以 的周长为 ．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（多选）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ，点 为 的中
点，点 为底面 上的动点，则（ ）
A．当 时，存在唯一的点 满足
B．当 时，存在点 满足
C．当 时，满足 的点 的轨迹长度为
D．当 时，满足 的点 轨迹长度为
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出 可以判断
B，求出点P轨迹长度可判定C,D.
【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴，建系如图，
则 ， ， ，设
对于选项A，当 时， ，
由 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，解得 ，
所以存在唯一的点P满足 ，故A正确；
对于选项B，当 时， ， ，
设点 关于平面 的对称点为 ，则 ，
.
所以 .故B不正确.
对于选项C，当 时， ， ，
则 ，
由 得 .
在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，
则 的轨迹方程 表示的轨迹就是线段 ，
而 ，故C正确.
对于选项D，当 时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
由 得 ，即 ，
在平面 中，建立平面直角坐标系，如图，
记 的圆心为 ，与 交于 ；
令 ，可得 ，
而 ，所以 ，其对应的圆弧长度为 ；
根据对称性可知点P轨迹长度为 ；故D错误.
故选：AC.
9．（多选）如图，正方体 的棱长为3，动点 在侧面 内运动（含边界），且
，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．点 的轨迹长度为 B．点 的轨迹长度为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】根据 平面 ， 得点 的轨迹为 ， 可得点 的轨迹长度可判断A B；将
平面 翻折到与平面 重合， 可得 ， ， 三点共线， 取得最小值 ，分别求出
、 可得答案．
【详解】如图，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
若 ，则点 的轨迹为 ，
因为正方体 的棱长为3，所以点 的轨迹长度为 ，故A正确B错误；
将平面 翻折到与平面 重合，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 ， ， 三点共线， 取得最小值 ，
此时， 是边长为 的等边三角形，
是 边长为 的等腰直角三角形，且 是 的中点，
所以 ， ，
所以 取得最小值为 ，故C错误D正确.
故选：AD．
10．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底
面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．
【答案】 / /
【分析】建系，根据空间向量的垂直关系可得点P的轨迹方程为 .空1：根据圆的弦长公式运算求解；
空2：根据空间中两点间距离公式运算求解.
【详解】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
设 ，则 ，
因为AM⊥MP，则 ，解得 ，
所以点P的轨迹方程为 ，
空1：根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为 ；
空2：因为 ，
所以当 时，点S与P距离的最小，其最小值为 ．
故答案为： ； .
11．如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
与 交于点 ，现将 ， ， ， 分别沿 ， ， ， 把这个矩形折
成一个空间图形，使 与 重合， 与 重合，重合后的点分别记为 ， ， 为 的中点，则多面
体 的体积为 ；若点 是该多面体表面上的动点，满足 时，点 的轨迹长度为
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据给定的几何体，证明 平面 ，求出四棱锥 的体积即可；证明点 所在
平面平行于平面 ，作出过点 与平面 平行的几何体的截面，求出其周长作答.
【详解】连接 ，有 ，而 ， 为 中点，则有 ，
，则 平面 ，同理 平面 ，又平面 与平面 有公共点 ，
于是点 共面，而 ，即有 ， ，
因为 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，即有 ，则 ，同理 ，
即 ，从而 ，即四边形 为平行四边形， ， ，
等腰梯形 中，高 ，其面积 ，
显然 平面 ，所以多面体 的体积 ；
因为 平面 ，同理可得 平面 ，又 ，则 平面 ，
依题意，动点 所在平面与 垂直，则该平面与平面 平行，而此平面过点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令这个平面与几何体棱的交点依次为 ，则 ,
又 为 的中点，则点 为所在棱的中点，即点 的轨迹为五边形 ，
长度为：
.
故答案为： ；
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面
平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
12．（多选）正方体 的棱长为3，点 是正方体表面上的一个动点，点 在棱 上，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．若 在侧面 内，且保持 ，则点 的运动轨迹长度为
B．沿正方体的表面从点 到点 的最短路程为
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．当 在 点时，三棱锥 的外接球表面积为
【答案】AC
【分析】对于A，根据球的截面相关知识直接求解 的轨迹进而求解答案；
对于B，将正方体底面与后面展开计算 长度即可判断；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，根据题意找出 平面 ，进而找出 的轨迹进而求解答案；
对于D，根据已知条件建系，结合空间向量坐标运算求解外接球半径进而求解表面积.
【详解】对于A，若 在侧面 内，且保持 ，
则 在以点 为球心， 为半径的球面上，
如图，在棱 上取点 ，且 ，则 ，
即 在侧面 内轨迹是以 为圆心，半径为 的一段弧，
设轨迹与 交于点 ，则 ，即 ，所以 ，
所以点 的运动轨迹长度为 ，故A正确.
对于B，将正方体底面与后面展开如图所示，
此时 ，故B错误.
对于C，如下图所示，分别取 的点 ，
使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，
由正方体 可知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
由 可知 ，则 ，同理 ，
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
所以 点轨迹为六边形 ，由图形关系可知，
，
所以六边形 周长为 ，
即点 的轨迹长度为 ，故C正确.
对于D，以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，
由 ，得
，
解得 ，所以外接球半径为 ，
所以三棱锥 的外接球表面积为 ，故D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：
（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；
（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；
（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.
3.已知定长求轨迹
13．已知正方体 的棱长为1，点P在该正方体的表面 上运动，且 则点P
的轨迹长度是 ．
【答案】
【分析】根据圆的定义可知点 的轨迹是在面 ， ， 三个面内以1为半径，圆心角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 的三段弧，即可由圆的周长公式求解.
【详解】当 时，如图，点 的轨迹是在面 ， ， 三个面内以1为半径，圆
心角为 的三段弧，所以此时点 点P在该正方体的表面A B C D 上运动的轨迹的长度为 ，
1 1 1 1
故答案为：
14．在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，则
点Q的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.
【详解】由题意， 在面 的轨迹是以 为圆心，半径为 的四分之一圆弧，
所以轨迹长度为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（多选）已知正方体 的棱长为 为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 为线段 上任一点，则 与 所成角的范围为
B．若 在正方形 内部，且 ，则点 轨迹的长度为
C．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
D．若三棱锥 的体积为 恒成立，点 的轨迹为椭圆或部分椭圆
【答案】ABD
【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；判断轨迹形状并求出长度判断B；求出三棱锥
外接球半径计算判断C；求出满足两个条件的点 分别形成的图形，再结合圆锥曲线的意义判
断D作答.
【详解】对于A，当 与 不重合时，过 作 交 于 ，连接 ，如图，
由 平面 ， 平面 ，得 ，有 ，显然 ，
则 为 与 所成的角， ，当 与 重合时， ，
当 由点 向点 移动过程中， 逐渐增大， 逐渐减小，则 逐渐增大，
因此 ， ，当 与点 重合时，有 ， ，
所以 与 所成角的范围为 ，A正确；
对于B，由 平面 ，得 是直角三角形， ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为 ，B正确；
对于C，连接 ，连接 ，如图，
显然 分别为 中点，则 ，
因此点 是三棱锥 外接球球心，球半径为 ，体积为 ，C错误；
对于D，连接 ，如图， ， 面积 ，
设点 到平面 的距离为 ，由三棱锥 的体积为 ，得 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ， 平面 ，
则 平面 ，而 平面 ，于是 ，同理 ，
又 平面 ，从而 平面 ，同理 平面 ，则平面 平
面 ，
三棱锥 的体积 ，于是点 到平面 距离为 ，
同理点 到平面 距离为 ，又 ，即平面 与平面 的距离为 ，
因此点 在平面 上或在过点 与平面 平行的平面 上，
令 与平面 交于点 ，连接 ，有 ， ，
于是直线 与平面 所成角的余弦 ，即直线 与平面 所成角大于 ，
则点 在平面 上，由 ，得点 在以直线 为轴， 为顶点，轴截面顶角为 的圆锥侧面
上（除顶点外），
显然点P的轨迹是平面 与上述圆锥侧面的交线，所以平面 截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.
故选：ABD
16．已知正方体 的棱长为3，动点 在 内，满足 ，则点 的轨迹长度为
.
【答案】
【分析】确定正方体 对角线 与 的交点E，求出 确定轨迹形状，再求出轨迹
长度作答.
【详解】在正方体 中，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
， ， 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
则 ，同理 ，而 ， ， 平面 ，
因此 平面 ，令 交平面 于点 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，
而 ，于是 ，
因为点 在 内，满足 ，则 ，
因此点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆在 内的圆弧，
而 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正 的中心，
于是正 的内切圆半径 ，
则 ，即 ， ，
所以圆在 内的圆弧为圆周长的 ，
即点 的轨迹长度为
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面
平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
17．几何中常用 表示 的测度，当 为曲线､平面图形和空间几何体时， 分别表示其长度､面积和体积．
是边长为4的正三角形， 为 内部的动点（含边界），在空间中，到点 的距离为1的点的轨
迹为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体的形状，然后由空间几何体的体积公式求
解即可．
【详解】到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面 的视角下看，如图所示：
其中 ， ， 区域内的几何体为半圆柱，
， ， 区域内的几何体为被平面截的部分球，球心分别为A，B，C，
区域内的几何体为棱柱，其高为2．
由 ， ， 为矩形，所以 ， ，
是正三角形， ，
则有 ，
同理 ， ，则 ，
所以 ， ， 这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，体积为 ；
， ， 这三个区域内的半圆柱体积为 （其中 表示半圆底面）；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】区域内的棱柱体积为 .
所以几何体L的体积等于 ．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何种空间几
何体，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.
18．（多选）如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 和 的中点，点
在正方形 内运动，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 与直线 是异面直线
B． 与面 所成角小于
C．点 与点 到面 的距离相等
D．若点 到点 的距离为 ，则动点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】假设A错误，由四点共面可得直线 与直线 相交，易知假设错误，得A正确；取 中点
，结合投影线和平行关系可知所求角为 ，由长度关系知B正确；假设C正确，由线面平行性质
可知 ，显然不成立，知C错误；利用勾股定理可知 ，得到点 轨迹是以 为圆心，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为半径的圆在底面 上的部分，由扇形弧长的求法可求得D正确.
【详解】对于A，若直线 与直线 不是异面直线，则 四点共面，
直线 与直线 共面，
又直线 与直线 不平行， 直线 与直线 相交，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
直线 与直线 不相交，
假设错误，即直线 与直线 是异面直线，A正确；
对于B，取 中点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ， 在平面 内的投影为 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
即为 与平面 所成角，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 与面 所成角小于 ，B正确；
对于C，假设点 与点 到平面 的距离相等，则 平面 ，
， 四点共面， 平面 ，
平面 平面 ， ，显然不成立，
假设错误，即点 与点 到平面 的距离不相等，C错误；
对于D， 平面 ， 平面 ， ，
，
点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在底面 上的部分，即 ，如图所示，
， ， ， ，
同理可得： ， ，
的长为 ，即动点 的轨迹长度为 ，D正确.
故选：ABD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】关键点点睛：本题D选项考查立体几何中的动点轨迹问题的求解，解题关键是能够利用垂直关系，
得到动点 到定点 的距离为定值，从而将问题转化为圆的部分弧长的求解.
4.已知定角求轨迹
A B C D
19．如图，正方体 的棱长为1，点P为正方形 1 1 1 1内的动点，满足直线BP与下底面
ABCD所成角为 的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到P的轨迹为以 为圆心， 为半径，位于平面 内的圆的 ，求出轨
A B C D
1 1 1 1
迹长度.
A B C D
1 1 1 1
【详解】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面 所成角，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
连接 ，因为 ⊥平面 ， 平面 ，
A B C D
1 1 1 1
所以 ⊥ ，故 为直线BP与上底面 所成角，
则 ，
因为 ，所以 ，
故点P的轨迹为以 为圆心， 为半径，位于平面 内的圆的 ，
A B C D
1 1 1 1
故轨迹长度为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
20．如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面 所成的角
为45°，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用直线 与平面 所成的角为45°求得点 的轨迹，进而求得点 的轨迹长度.
A B C D
1 1 1 1
【详解】若点P在正方形 内，
过点P作 平面 于 ，连接 .
则 为直线 与平面 所成的角，则 ，
又 ，则 ，则 ，
A B C D
1 1 1 1
则点 的轨迹为以 为圆心半径为2的圆（落在正方形 内的部分），
若点P在正方形 内或 内，轨迹分别为线段 ，
因为点P不可能落在其他三个正方形内，
所以点 的轨迹长度为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A
21．已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直
线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹的长度为 ．
【答案】
【分析】利用线面角求法得出N的轨迹为正方形内一部分圆弧，求其圆心角计算弧长即可.
【详解】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，
故MN与底面ABCD的夹角即 ，
∴ ，则 ，
故N点在以G为原点 为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的轨迹为图示中的圆弧 ，
易知 ，
所以 长为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
22．已知 是半径为2的球面上的四点，且 ．二面角 的大小为 ，
则点 形成的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出 外接球球心与面 的距离，结合二面角的大小判断 与面 所成角
大小，进而求出 到 外接圆圆心距离，即可确定 轨迹长度.
【详解】由题意， 为等腰直角三角形，且外接圆半径 ，圆心为 中点 ，
又 外接球半径 ，球心 ，则 ，
易知： 为等腰直角三角形，又二面角 的大小为 ，
由 为 外接圆直径，且面 面 ，则 与面 所成角为 ，
所以 到 外接圆圆心距离 ，故 外接圆的半径为 ，
注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，
轨迹在大球冠对应 外接圆优弧的一侧，在小球冠对应 外接圆劣弧的一侧，
所以 轨迹长度为 .
故答案为：
23．已知正方体 的棱长为2， 为 的中点，且点 在四边形 内部及其边界上运
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】动，（1）若总是保持 平面 ，则动点 的轨迹长度为 ；（2）若总是保持 与 的夹
角为 ，则动点 的轨迹长度为 .
【答案】 2
【分析】分别取 的中点 ，连接 ，可证得平面 ∥平面 ，从而可得点
的轨迹是 ，进而可求出其长度，由 可得 ，则得点 的轨迹是以 为圆心，
为半径的一段弧，且圆心角为直角，从而可求出其长度.
【详解】分别取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，
因为 为 的中点，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ，所以平面 ∥平面 ，
因为平面 平面 ，点 在四边形 内部及其边界上运动， 平面 ，
所以点 的轨迹是 ，
因为 ，所以动点 的轨迹长度为2，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的一段弧，且圆心角为直角，
所以动点 的轨迹长度为 ，
故答案为：2，
【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查求立体图形中的轨迹长度问题，解题的关键是根据
题意求出动点的轨迹，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.
24．如图，已知正三棱台 的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面
内运动（包含边界），且AP与平面 所成角的正切值为 ，则所有满足条件的动点P形成的轨迹
长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点 到平面 的距离即可确定点 的运动轨迹，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】进而可得出答案.
【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点 ，取 中点 ，
中点 ，连接 ，则有 ，
所以 的延长线必过点 且 ，
过点 作 ，则四边形 是边长为2的菱形，
如图所示：
在 中， ，即 ，
解得 ，所以 ，
所以 为边长为6等边三角形，
所以 ， ，
所以 ，
因为 是边长为3的等边三角形且 为 中点，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理变形得， ，
在 中，由余弦定理变形得，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，所以 ，所以 ，
由 平面 ，
可得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ， ， ， 平面 ，
可得 平面 ，
因为AP与平面 所成角的正切值为 ，
所以 ，解得 ， ，
所以点 在平面 的轨迹为以 为原点的圆被四边形 所截的弧 ，
设 的长度为 ，则 ，
所以所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点 到平面 的距离即可确定点 的
运动轨迹，是解决本题的关键.
5.翻折过程求轨迹
25．如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将 AED沿AE折起，使点
D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】由题可知，根据 沿 折起，使点 在平面 上的射影 在直线 上，可知
，所以 的轨迹是以 为直径的一段圆弧 ，
在折起前的图形中对应以AD为直径的一段圆弧，利用弧长公式计算即可求得 所形成轨迹的长度.
【详解】如图所示：
由题可知，根据 沿 折起，使点 在平面 上的射影 在直线 上，
可知 ，所以 的轨迹是以 为直径的一段圆弧 ，
对应折起前的图形中，是如图所示的圆弧 ,圆心是线段AD的中点O，
长方形ABCD′中，AB= ，BC=1，
所以 ，∴ ,
所形成轨迹的长度为 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查空间轨迹问题，关键是根据折叠前后的不变性判定K的轨迹，注意根据E的极端位置判
定K的极端位置，从而确定轨迹的端点.
26．在矩形ABCD中， ， ，点E在CD上，现将 沿AE折起，使面 面ABC，
当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【分析】在原平面矩形 中,连接 ,由面 面ABC知 ,故 点的轨迹是以 为直
径的圆上一段弧,根据 的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将 沿 折起，使平面 平面 ，在平面 内过点 作 垂足 为
在平面 上的射影，连接 ,由翻折的特征知，
则 ，故 点的轨迹是以 为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是 ，
如图当 与 重合时， ,所以 ，
取 为 的中点，得到 是正三角形.
故 ，
其所对的弧长为 ；
故选：D.
27．如图所示，在平行四边形 中， 为 中点， ， ， .沿着 将 折
起，使 到达点 的位置，且平面 平面 .若点 为 内的动点，且满足 ，
则点 的轨迹的长度为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据给定条件探求出PB，PC在平面 的射影PE，PD的关系，再在平面 内建立平面直
角坐标系，探讨出动点P在 内的轨迹即可作答.
【详解】因平面 平面 ，平面 平面 ， ，于是得 平面 ，
而 ，则 平面 ，
从而得PE，PD分别是PB，PD在平面 内的射影，如图， ，
，而 ，则 ，
在 所在平面内以点E为原点，射线ED、 分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ，设 ，于是得 ，整理得 ，
从而得点P的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆，圆M交 分别于Q，N，
显然 ，圆M在 内的部分是圆心角 所对的弧 ，弧 长为 ，
所以点 的轨迹的长度为 .
故答案为：
28．如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折成
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法正
确的是（ ）
①平面 平面 ② 与 的夹角为定值
③三棱锥 体积最大值为 ④点 的轨迹的长度为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由题设结合线面垂直的判定证 面 ，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若 是
的中点，应用平行四边形的性质有 ，可知 与 的夹角为 或其补角，进而求其大
小；③根据①②的分析，当 面 时 最大，求其最大值；④确定F的轨迹与 到 的轨迹
相同，且 到 的轨迹为以 中点为圆心， 为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】对于①：由 ， ， 为边 的中点知 且 ，
易知 ， ，而 ， 面 ，
故 面 ，又 面 ，所以面 面 ，故①正确；
对于②：若 是 的中点，又 为 的中点，则 且 ，
而 且 ，所以 且 ，即 为平行四边形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，所以 与 的夹角为 或其补角，
若 为 中点，即 ，由①分析易知 ，
故 与 的夹角为 ，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当 面 时， 最大，
此时 ，故③错误；
对于④：由②分析知： 且 ，故 的轨迹与 到 的轨迹相同，
由①知： 到 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，而 为 中点，
故 到 的轨迹为以 中点为圆心， 为半径的半圆，所以 的轨迹长度为 ，故④正
确.
故选：C.
【点睛】关键点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性
质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求 的最大体积
以及F的轨迹的长度.
29．在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿 折起得到 ，设 的中点
为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度为 .
【答案】 /
【分析】先通过 始终是等腰直角三角形确定动点 的轨迹是一段圆弧，再结合垂直关系证明圆弧对
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】应的圆心角为 ，即可求出动点 的轨迹长度.
【详解】
如图，设 的中点为 ， 绕 旋转 ，此时平面 平面 ，取 中点 ， 中
点 ， 中点 ，
连接 .
， ， 和 是等腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，又
面 ，
面 ， 面 ，同理 面 ，又 ， 面 面 ，又平
面 平面 ，
故面 面 ，又面 面 ， ，故 面 ，又 面 ，
，
故动点 形成的轨迹长度为 .
故答案为： .
【点睛】本题关键点在于发现 在旋转过程中始终是等腰直角三角形，进而确定动点 的轨迹是一段
圆弧，再结合题目中的线面关系证明
圆弧对应的圆心角为 ，即可求出动点 的轨迹长度.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．如图，正方体 的棱长为2，点 是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内
一动点，若 平面 ，则 点轨迹在正方形 内的长度为 .
【答案】
【分析】首先取 的中点 ，连接 ，易证平面 平面 ，从而得到 点在平面
的轨迹为 ，再计算 的长度即可.
【详解】取 的中点 ，连接 ，如图所示：
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 点在平面 的轨迹为 .
所以 .
故答案为：
2．已知面积为 的菱形ABCD如图①所示，其中 ，E是线段AD的中点．现将 沿AC折起，
使得点D到达点S的位置.
(1)若二面角 的平面角大小为 ，求三棱锥 的体积；
(2)若二面角 的平面角 ，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持 ，求点F
的轨迹长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由菱形ABCD的面积得 ，二面角 的平面角为 ，可得点S到
平面ABC的距离，从而可求三棱锥 的体积；
（2）取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，则 平面EGH，故点F的轨迹长度即为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的周长，由于 ， ，由二面角 的大小平面角 ，
结合余弦定理及三角函数的性质可得 的范围，从而可得答案..
【详解】（1）因为菱形ABCD的面积为 ，得 ， ， ，
又因为二面角 的平面角为 ，且大小为 ，所以 ，
故点S到平面ABC的距离为 ，
由于 的面积为 ，
则三棱锥 的体积为 .
（2）取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，连接EH，EG，GH，
∵EG∥SO，SO⊥AC，∴AC⊥EG，同理AC⊥GH，
∵ ， 平面EGH，所以 平面EGH，
故点F的轨迹长度即为 的周长.
由于 ， ， ，
且二面角 的大小平面角 ，
，
∵ ，∴ ， ，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点F的轨迹长度的取值范围为 .
3．如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 是正方 内部（含边界）
的一个动点，且 ∥平面 ，
(1)求动点 的轨迹长度
(2)求平面 与平面 夹角的正切值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，由三角形的中位定理结合正
方体的性质可证得平面 ∥ ，再由 ∥平面 ，可得动点 的轨迹为 ，从而可求出其长
度；
A B C D
1 1 1 1
（2）由（1）结合题意可得平面 与平面 夹角即为平面 与平面 的夹角，过点 作
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】交 于点 ，过点 作 交 于点 ，可证得点 与点 重合，则 为所求
二面角的平面角，从而可求出其正切值.
【详解】（1）取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，
则 ， ∥ ，
因为 为棱 的中点，所以 ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ， ∥ ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 ∥ ， ∥ ，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 平面 ， ，
所以平面 ∥ ，
因为 是正方 内部（含边界）的一个动点，且 ∥平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以动点 的轨迹为 ，
因为 ，
所以动点 的轨迹 的长度为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A B C D
1 1 1 1
（2）因为平面 ∥平面 ，平面 ∥平面 ，
A B C D
1 1 1 1
所以平面 与平面 的夹角即为平面 与平面 的夹角，
A B C D
1 1 1 1
平面 与平面 的交线为 ，
过点 作 交 于点 ，
设 = ，则 ， ，
所以在 中， ，即 ，解得 ，
过点 作 交 于点 ，在 中， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
即点 与点 重合，所以 为所求二面角的平面角，
因为 ， ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的正切值为 .
4．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面 平面
，M为底面内一动点．当 时，M点在底面内的轨迹长度为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度.
【详解】取 中点N， 中点O，连接 ，
因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，
由题意可得 两两垂直，
以O为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，令 ,
则
由 ，可得 ，
则 ，整理得 ，
则M点在底面内的轨迹为线段 ，
所以轨迹的端点的坐标为
则M点在底面内的轨迹长度为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
5．如图，在长方形ABCD中， ， ，E为BC的中点，将△ 沿AE向上翻折到 的位
置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥 体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥 外接球的表面积有最小值
【答案】B
【分析】四棱锥 的底面积为定值，当平面 平面AECD时，高最大，即可求出四棱锥
体积的最大值；取 的中点 ，由已知得点 的轨迹与点 的轨迹形状完全相同，则可以求点
的轨迹长度即可；利用线面角的概念分别找到EP，CD与平面PAD所成的角，即可求解；根据三棱锥的
外接球的定义作出图形，即可求解.
【详解】由已知条件可知，梯形AECD的面积为6， ，直角 斜边AE上的高为 ，当平面
平面AECD时，四棱锥 的体积取得最大值，
即 ，则 正确；
取 的中点 ，连接 ， ， ，则 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴四边形ECFG是平行四边形，
∴点 的轨迹与点 的轨迹形状完全相同．过 作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以 为圆心，
为半径的半圆弧，从而PD的中点 的轨迹长度为 ，
则 错误；
由四边形ECFG是平行四边形，知 ，则 平面PAD，
则E，C到平面PAD的距离相等，
故PE，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为 ，则 正确；
△ 外接圆 的半径为 ， 为 的中点，直角△ 外接圆 的半径为 ， 为 的中点，
是圆 与圆 的公共弦， ,
设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，
则 ,
因为 ，所以 ，所以球 表面积的最小值为 ，
则 正确,
故选： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】
6．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，动点 在 内（包括边
界上），且始终满足 ，则动点 的轨迹长度是 .
【答案】
【分析】推导出 ，在平面 内，过点 作 ，垂足为点 ，证明出 ，可
得出 平面 ，分析可知点 的轨迹为线段 ，利用等面积法求出线段 的长，即为所求.
【详解】在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， ，则四边形 为菱形，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， .
在平面 内，过点 作 ，垂足为点 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
由于动点 又在 内，所以动点 在平面 与平面 的交线 上，
因为 ， ， ，
所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由等面积法可得 ，
因此，动点 的轨迹长度是 .
故答案为： .
7．已知四棱柱 的底面 为正方形，侧棱与底面垂直，点 是侧棱 上的点，且
.若点 在侧面 （包括其边界）上运动，且总保持 ，则动点 的
轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先找到过点 与 垂直的平面与侧面 的交线，从而求解.
【详解】
如图，在侧棱 上取一点 ，使得 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
由 ，可知 ，
平面 ， ，
从而 平面 ，所以 ，
又由 在平面 内的射影 ，所以 ，
平面 ， ，
知 平面 ，平面 ， 所以 ，
所以动点 的轨迹为线段 ，
在 中， ，所以 ，
则 ，得
易得 .
故选：D
8．已知正方体 的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且 ，则点P的轨迹
长度是 ．
【答案】
A B C D
1 1 1 1
【分析】由已知可判断点 可能在平面 内，可能在平面 内，可能在平面 内.先求解
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
当点 在平面 内时，可推得点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆与正方形 边界及
A B C D
1 1 1 1
其内部的交线.然后根据扇形的弧长公式，即可得出当点 在平面 内时，点P的轨迹长度是 ，进
而得出答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A B C D
1 1 1 1
【详解】因为 ，所以点 可能在平面 内，可能在平面 内，可能在平面
内.
A B C D
1 1 1 1
当点 在平面 内时，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
由 平面 ， 平面 ，可知 ，
所以 ，所以 ，
所以点 到 的距离为 ，
A B C D
1 1 1 1
所以点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆与正方形 边界及其内部的交线.
如上图， ， ，
则 的长 ，
A B C D
1 1 1 1
所以，当点 在平面 内时，点P的轨迹长度是 .
同理可得，当点 在平面 内时，点P的轨迹长度也是 .
当点 在平面 时，点P的轨迹长度也是 .
综上所述，点P的轨迹长度为 .
故答案为： .
9．（多选）如图，正方体 的棱长为2， 是 的中点， 是侧面 内的一个动点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（含边界），且 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 截正方体 所得截面的面积为
B．动点 的轨迹长度为
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据正方体的截面、动点轨迹、线段和的最值、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答
案.
【详解】如图1，取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，
所以平面 截正方体 所得的截面为四边形 .
因为 ，所以A错误.
如图1，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 ， ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，由于 平面 ，
所以平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 的轨迹为线段 .因为 ，所以B正确.
如图2，将平面 ，平面 展开至共面，连接 交 于 ，
此时 最小，因为 ，所以C正确.
如图3，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
设 ，则 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
当 时， 有最大值 ，所以D正确.
故选：BCD
10．（多选）已知图所示的正方体ABCD-ABC D 的外接球表面积为12π，点P在正方体的对角面BDD B
1 1 1 1 1 1
内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 平面AC D，则P的轨迹长度为
1 1
B．若BP⊥平面AC D，则P的轨迹长度为
1 1
C．若点P到平面ABC D 的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹是椭圆的一段
1 1 1 1
D．PA+PA 的最小值为
1
【答案】ABD
【分析】根据线面平行可得轨迹判断A选项，结合线面垂直可得轨迹判断B选项，应用点到平面距离判断
C选项，根据距离相等求距离和最小判断D选项.
【详解】 正方体ABCD-ABC D 的外接球表面积为12π，故外接球半径 ，所以正方体的棱长为
1 1 1 1
a=2．
对于A项，若 平面AC D因为BP 平面BDD B，记AC 交BD 于点O 连接DO ，如图4所示，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则平面AC D∩平面BDD B=DO ，所以 ．
1 1 1 1 1
记线段BD的中点为O，连接BO．在正方体ABCD-ABC D 中，平面 平面ACB，
1 1 1 1 1 1
再结合点P在正方体的对角面BDD B 内，可知点P的轨迹为平面ACB 与平面BDD B 的交线，也
1 1 1 1 1
就是线段BO（除去点B）
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然在矩形BDD B 中， ，则点P的轨迹就是线段BO（除去点B），
1 1 1 1
其长度为 ，故选项A正确．
对于B项，连接BD，如图5所示．
1
显然在正方体中BD⊥平面AC D，而过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，
1 1 1
所以若BP⊥平面AC D，则P的轨迹就是线段BD（除去点B），其长度为 ．故选项B正
1 1 1
确．
对于C项，过点P作BD 的垂线，垂足为H，如图6所示．
1 1
由正方体的性质可得AC ⊥平面BDD B，所以AC ⊥PH．
1 1 1 1 1 1
因为PH⊥BD，AC ，BD 平面ABC D，AC ∩BD=O，所以PH⊥平面ABC D．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故点P到平面ABC D 的距离就是点P到直线BD 的距离．所以点P到直线BD 的距离与点B的距离相
1 1 1 1 1 1 1 1
等，
由抛物线的定义可知P的轨迹是以B为焦点，直线BD 为准线的抛物线的一段（在四边形BDD B 内，包
1 1 1 1
含边界），故选项C不正确．
对于D项，由正方体的性质可得AC ⊥平面BDD B，连接PC ，AC ，因为 平面BDD B，所以
1 1 1 1 1 1 1 1
PA=PC ，
1 1
所以 ，当且仅当A，P，C 三点共线时等号成立．故选项D正确，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABD．
11．正方体 的棱长为3，点 ， 分别在线段 和线段 上，且 ，
，点 是正方形 所在平面内一动点，若 平面 ，则 点的轨迹在正方形
内的长度为 .
【答案】
【分析】在 上取点 ，使得 ，在 上取点 ，使得 ，根据线面平行以及面面平
行的判定定理，推得平面 平面 .结合已知即可得出 在线段 上，然后根据勾股定理，即可
得出答案.
【详解】
如图，在 上取点 ，使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 .
根据正方体的性质可知， ， .
由已知可得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 .
又 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ，且 .
同理可得， ，且 ， .
根据正方体的性质可知， ，且 ，
所以， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得， 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以，平面 平面 .
又平面 平面 ，
所以，根据面面平行的性质定理可知，只有 在线段 上运动时，满足条件.
过点 作 ，垂足为 ，
易知 ，且 ， ，
所以， .
故答案为： .
12．（多选）已知正方体 的各顶点均在表面积为 的球面上， 为该球面上一动点，则
（ ）
A B C D
1 1 1 1
A．存在无数个点 ，使得 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．当平面 平面 时，点 的轨迹长度为
C．当 平面 时，点 的轨迹长度为
D．存在无数个点 ，使得平面 平面
【答案】ACD
【分析】根据面面平行、面面垂直的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】因为该球的表面积为 ，故半径 ，且正方体的棱长满足 ，故棱长
为2，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
选项A：由题意可知平面 平面 ，且 平面 ，故 平面 ，则 的轨
迹为正方形 的外接圆，故有无数个点 满足，A正确；
选项B：易知 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，故 的轨迹为矩形 的
外接圆，其周长为 ，故B错误；
选项C：因为 平面 ，设过 且与平面 平行的平面为 ，则 的轨迹为 与外接球的
交线，其半径为 ，周长为 ，故C正确；
选项D：若平面 平面 ，则点 在以 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲
线，故有无数个点 满足，故D正确；
故选：ACD
13．已知 ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将 BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在
平面BCD△内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D△的变化，点P的轨迹长度为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．π
【答案】C
【分析】根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.
【详解】由题意，在平面BCD内作BQ⊥CD，交CD于Q，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD与平面
ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，
BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部
分，由题意知随着点D的变化，∠BCD的范围为 ，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的
圆的 ，即得点P的轨迹长度为 .
故选：C.
14．已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足 ，则点P的轨迹长度为
．
【答案】 /
【分析】确定正方体 对角线 与 的交点E，求出 确定轨迹形状，再求出轨迹
长度作答.
【详解】在正方体 中，如图，
平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，同理 ，而 平面 ，因此 平面 ，
令 交平面 于点E，由 ，得 ，
即 ，解得 ，而 ，于是 ，
因为点P在 内，满足 ，则 ，
因此点P的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆在 内的圆弧，
而 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正 的中心，
于是正 的内切圆半径 ，
则 ，即 ， ，
所以圆在 内的圆弧为圆周长的 ，即点P的轨迹长度为 ．
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面
平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
15．如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折成
（点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，给出下列四
个结论：
①平面 平面 ；
② 与 的夹角为定值 ；
③三棱锥 体积最大值为 ；
④点 的轨迹的长度为 ；
其中所有正确结论的序号是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】①②④
【分析】①由题设结合线面垂直的判定证 面 ，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若 是
的中点，应用平行四边形的性质有 ，可知 与 的夹角为 或其补角，进而求其大
小；③根据①②的分析，当 面 时 最大，求其最大值；④确定F的轨迹与 到 的轨迹
相同，且 到 的轨迹为以 中点为圆心， 为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】对于①：由 ， ， 为边 的中点知 且 ，
易知 ， ，而 ， 面 ，
故 面 ，又 面 ，所以面 面 ，故①正确；
对于②：若 是 的中点，又 为 的中点，则 且 ，
而 且 ，所以 且 ，即 为平行四边形，
故 ，所以 与 的夹角为 或其补角，
若 为 中点，即 ，由①分析易知 ，
故 与 的夹角为 ，故②正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于③：由上分析知：翻折过程中当 面 时， 最大，
此时 ，故③错误；
对于④：由②分析知： 且 ，故 的轨迹与 到 的轨迹相同，
由①知： 到 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，而 为 中点，
故 到 的轨迹为以 中点为圆心， 为半径的半圆，所以 的轨迹长度为 ，故④正
确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性
质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求 的最大体积
以及F的轨迹的长度.
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