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第 36 课 反比例函数的性质和应用
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．若点 、 、 都在反比例函数， 的图象上，则 ， ， 大小关系
是( )
A． B． C． D．
2．对于函数 ，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C． 时的函数值小于 时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
3．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝ 在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于反比例函数y＝ 的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
5．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的
时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分
钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时
间为（ ）A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
6．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆
炸，该气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，与函数y= （k＞0，x＞0）
的图象交于点C、D．若CD= AB，则k的值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，直线 （ ， 为常数）与双曲线 （ ， 为常数）交于点 ， ，若 ， ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ，则 的面积是
（ ）
A．2 B． C．3 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作
正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线 上，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点
C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
10．如图，正比例函数y＝mx（m＞0）与反比例函数 的图象交于A，B两点， 轴，交y轴于
点C，在射线BC上取点D，且BD＝3BC，若 ，则k的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．已知反比例函数 ，当 时，y的取值范围是________．
12．已知反比例函数 ，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为
_______
13． 、 、 都在双曲线 上，把 、 、 按从小到大的顺序排列______．
14．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函
数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
15．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种
药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 时，y与x是正比例
函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量
x的取值范围是______．16．近视镜镜片焦距 （米）是镜片度数 （度）的某种函数，下表记录了一些数据：
（度） … …
… …
（米）
利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为 度时，镜片焦距为______米．
17．琪琪同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不
超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的
反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）y与x之间的函数关系式为________；x取值范围是________．
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为 ，比较 与 的大小：
________ ．
18．如图，函数 与函数 图像的交于点P，点P的纵坐标为4， 轴，垂足为点
B，点M是函数 图像上一动点（不与P点重合），过点M作 于点D，若 ，
点M的坐标是________．三、解答题
19．已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）
(1)求k的值；
(2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ．
20．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上．
(1)当 时
①求反比例函数表达式，并求出 点的坐标；
②当 时，求 的取值范围．
(2)若一次函数 与 轴交于点 ，求 的值．
21．已知反比例函数 的图象经过点A（2，－4）．
(1)求k的值．
(2)点A 、B 均在反比例函数 的图象上，若 ，比较 的大小关系．
(3)当y ≤4时，求x的取值范围．
22．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限内的图象交于 和
两点．(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，写出自变量x的取值范
围
(3)求 AOB面积．
23．一△艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变
化．已知y与t是反比例函数关系，图像如图所示．
(1)求y与t之间的函数表达式；
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
24．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数 的图象交于A，B两点，若
OC＝2，点B的纵坐标为3．(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
25．已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当 和 时，函
数图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．
(1)求点D坐标；
(2)当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．
26．如图，反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于 、 两点．
(1)则k＝______，b＝______，n＝______．
(2)观察图像，请直接写出满足 的取值范围．(3)若Q为y轴上的一点，使 最小，求点Q的坐标．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．设反比例函数 ，当x＝p，q，r（ ）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若
，则必有（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支于点 ．在点 的运
动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满足（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交
于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 轴于点 ，交 于点 ．设点A的横坐标为 ．若
，则 的值为( )A．1 B． C．2 D．4
4．已知反比例函数y= 和正比例函数y= 的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若 PMN为锐角
△
三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m＜ 且m≠0 B．- ＜m＜ 且m≠0
C．- ＜m＜- 或 ＜m＜ D．-2＜m＜- 或 ＜m＜2
5．已知函数 与函数 的部分图像如图所示，
有以下结论：
①当 时， ， 都随x的增大而增大；
②当 时， ；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数 的最小值是2．则下列结论正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
6．反比例函数 ，当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，则 ______．
7．如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 交于点C，过点C作 轴，垂足为D，且 ，则以下结论：① ；②当 时， ；③
如图，当 时， ；④当 时， 随x的增大而增大， 随x的增大而减小．其中正确结论的
是______．（只填写序号）
8．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直线 与x轴相交于点
C，D是线段 上一点．若 ，连接 ，记 ， 的面积分别为 ， ，则
的值为____________．
三、解答题
9．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，
此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需
要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空
气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
10．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，点 ， 均在 上，点 的横坐标为 ，点
的横坐标为 ，反比例函数 的图像 经过点 ．
(1)若 ，
①求 的解析式
②判断 是否经过点 ，并说明理由．
(2)若 经过点 ，求 的值．
11．如图，过C点的直线y=- x-2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC=AB，过点C作CH⊥x轴，垂
足为点H，交反比例函数y= （x＞0）的图象于点D，连接OD， ODH的面积为6．
△(1)求k值和点D的坐标；
(2)如图，连接BD，OC，点E在直线y=- x-2上，且位于第二象限内，若 BDE的面积是 OCD面积的2
△ △
倍，求点E的坐标．
12．某“数学兴趣小组”对函数y 的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完整．
(1)绘制函数图象：
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ．
… ﹣
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 0.5 1 3 3.5 4 5 6 n 8 ……
… 2
…
y 1 1.2 1.5 2 3 m 6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 ……
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ．
13．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯 ，约 把
∠
三等分的操作如下：
（1）以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 的图像，图像与 的边 交于点 ；
（3）以点 为圆心， 为半径作弧，交函数 的图像于点 ；
（4）分别过点 和 作 轴和 轴的平行线，两线交于点 ， ；
（5）作射线 ，交 于点 ，得到 ．(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)证明： 、 、 三点共线；
(3)证明： ．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2021·湖北随州·一模）已知一次 的图象与反比例函数 的图象相交．
(1)判断 是否经过点 ．
(2)若 的图象过点 ，且 ．
①求 的函数表达式．
②当 时，比较 ， 的大小．
2．（2021·四川乐山·三模）如图，A、B是双曲线y＝ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂
足为C，连接OA，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若 ADO的面积为1，D为OB的中点．
△(1)四边形DCEB的面积为 ；
(2)求k的值；
(3)若A、B两点的横坐标恰好是方程x2﹣3x+2＝0的两个不同实根，求点E到直线OA的距离．
3．（2022·浙江丽水·一模）同心守“沪”，抗击疫情！我市医护人员分批出征她援上海．丽水到上海行独
里程为400千米记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)人民医院医疗队上午8点搭乘汽车从丽水出发．医疗队需在当天12点30分至14点（含12点30分和14
点）间到达上海，求汽车行驶速度v的范围．
(3)医疗队能否在当天11点20分前到达上海？请说明理由．
4．（2021·四川成都·三模）如图，已知A（-4， ），B（﹣1，a）是一次函数 与反比例函数
（m≠0，x＜0）图像的两个交点，AC⊥ 轴于C，BD⊥ 轴于D
(1)求m、a的值及一次函数表达式；
(2)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
5．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯 ，约 把 三等分的操作如下：
∠
（1）以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 的图像，图像与 的边 交于点 ；
（3）以点 为圆心， 为半径作弧，交函数 的图像于点 ；
（4）分别过点 和 作 轴和 轴的平行线，两线交于点 ， ；
（5）作射线 ，交 于点 ，得到 ．
(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)证明： 、 、 三点共线；
(3)证明： ．
