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专题突破卷 22 求圆的最值与范围
1.斜率型
1．若实数x，y满足 ，则下列关于 的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋ ，最小值为—2－
B．最大值为2＋ ，最小值为2－
C．最大值为－2＋ ，最小值为－2－
D．最大值为—2＋ ，最小值为2－
【答案】B
【分析】根据几何意义，把 可看作圆上任意一点 与定点 连线的斜率，利用几何法求
最值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 可化为 .
可看作圆上任意一点 与定点 连线的斜率.
记 ，则 ，记为直线l.
当直线与圆 相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线的距离 ，解得： .
所以 .
故选：B.
2．已知实数 和 满足 ，则 的范围是 .
【答案】
【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】由 ，即 ，则 可表示 与 连线的斜率，作图如下：
则 与 连线与圆相切时， 取得最值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 代入 ，整理可得 ，
由直线与圆相切，则 ，即 ，解得 ，
故 .
故答案为： .
3．若实数x、y满足条件 ，则 的范围是 .
【答案】
【分析】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，求得斜率的取值范围即可.
【详解】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜
率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为 ，
，解得 ，
故 的范围是
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．求函数 的最值.
【答案】 ， .
【分析】由题联想直线的斜率公式， 可看作点 与动点 的连线的斜率，即转
化为解析几何中的问题.
【详解】∵ 可看作点 与动点 的连线的斜率，
而点B在半圆 （ ）上
故原题即求点 与半圆 （ ）上的点的连线的斜率的最值，如图可知，当B为 时，
斜率最大为 ；
当 切半圆于 时， 的斜率最小，
设此时 的斜率为k， 的方程为 ，
由 ，得 （舍去）， .
故 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．已知圆 过点 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）点 为圆 上任意一点，求 的最值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为0
【分析】（1）由 ，求出 的垂直平分线方程，与直线 联立求出圆心坐标，
可得圆的半径，从而可得圆的方程；（2） 可以看成是点 与 连线的斜率 ，直线
的方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时的 的值，从而可得结
果.
【详解】（1）由 ，得 中点为 ， ，
所以 的垂直平分线为
联立 ，得 ，则 ，
圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为
（2） 可以看成是点 与 连线的斜率
直线 的方程为 ，即
当直线 为圆的切线时，有 ，解得
所以 的最大值为 ，最小值为0
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 求圆的方程常见思路与
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐
标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求
出参数即可.
6．已知圆
(1)求过点 的圆的切线方程；
(2)点 为圆上任意一点，求 的最值．
【答案】(1) 和 (2) 的最大值为 ； 的最小值为
【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，
最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；
(2)本题首先可明确 为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，
最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果．
【详解】(1)因为圆的方程为 ，即 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
①当切线斜率不存在时，
因为直线过点 ，所以直线方程为 ，即
圆心到直线距离 ，所以直线 是圆的切线，
②当切线斜率存在时，设切线斜率为 ，
则切线方程为 ，即
因为圆心到切线距离等于半径，
所以 ，解得 ，此时切线方程为 ，
综上所述，过点 的圆的切线方程为 和 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)因为 即 ， 为圆上任意一点，
所以 即原点到圆上一点的直线的斜率，
令 ，则原点到圆上一点的直线的方程为 ，即
如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，
则有圆心到切线距离等于半径，即 ，解得 或 ，
所以斜率的最大值 ，斜率的最小 ，
所以 的最大值为 ； 的最小值为 ．
【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质，若圆与直线相切，则圆心到直线线距
离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题．
2.距离型
7．已知点 是圆 上一点，则 的范围是 ．
【答案】
【分析】求出圆心和半径，而 表示圆上的点到直线 的距离的2倍，所以求出圆到
直线 的距离，从而可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以圆心 ，半径为1，
表示圆上的点到直线 的距离的2倍，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆上的点到直线 的距离的最小值为1，最大值为3，
所以 的最小值为2，最大值为6，
所以 的范围为 ，
故答案为： .
8．已知点P(m，n)在圆 上运动，则 的最大值为 ，最小值为
， 的范围为 ．
【答案】 64 4
【分析】将问题转化为在圆 上点到 距离的平方、到原点的距离范围，结合点圆关系确定最值和范
围.
【详解】由圆C的圆心为 ，半径为3，且P在圆 上，
则 表示在圆 上点到 距离的平方，
而圆心到 的距离为 ，
所以在圆 上点到 距离的最大值为8，最小值为2，
故 的最大值为64，最小值为4；
又 表示在圆 上点到原点的距离，而圆心到原点距离为 ，
所以 的范围为 .
故答案为：64，4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝ ，试求x2＋y2的最值.
【答案】最大值 ，最小值 .
【分析】根据x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，先求得原点到圆心距离，进而得到圆上的点到
坐标原点的最大距离和最小距离，再平方即可.
【详解】如图所示：
由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，
当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋ ＝ ，最小距离为1- ＝ ，
所以x2＋y2的最大值和最小值分别为 和 .
10．若圆 与两条直线 和 都有公共点，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有公共交点得到 和 ，相加得到答案.
【详解】圆 与两条直线 和 都有公共点
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
两式相加得到
故选：
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.
11．已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点A在圆 上运动，线段AB的中点为M.
（1）求M的轨迹方程；
（2）若 为M的轨迹上的任意一点，求 的最值.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】（1）设 ，表示出 坐标，利用相关点法代入求解即可；
（2） 为圆上的点 到直线 的距离 的 倍，再利用点
到线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出圆上的点到直线的距离的最值，从而求出 的取
值范围.
【详解】解：（1）设线段 中点为 ，则
因为点 在圆 上，
所以
整理可得
所求轨迹方程为： ，可见， 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆．
（2） 为圆上的点 到直线 的距离 的 倍，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为圆心为 到直线 的距离
则圆上的点到直线的距离的最小值为 ，最大值为
故
即 ，
【点睛】本题考查相关点法求动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.
12．若圆 ： 与两条直线 和 都有公共点，则 的范围是 .
【答案】
【分析】由已知得圆 的圆心坐标 ，半径 ，要使圆 与两直线 和 都有公共点，需
圆心 到两直线的距离 ，得出关于 的不等式组 ，作出不等式组所表示的
可行域，由 的几何意义可知表示点 到原点的距离的平方，可得 的取值范围.
【详解】由题意，圆 ： 的圆心坐标 ，半径 ，
因为圆 与两直线 和 都有公共点，
可得圆心 到两直线的距离 ，
即 ，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，
又由 的几何意义可知表示点 到原点的距离的平方，
所以 的最大值为 ，最小值为0，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，二元一次不等式组所表示的平面区域，根据几何意义求目标函数
的最值问题，属于中档题.
3.直线型
13．点 在圆 上，则 的范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据题意设 ，从而得到 ，再求其范围即可.
【详解】设 ， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
14．已知 ， 满足 ，则 的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得 为圆 上的点，要求 ，令 ，即转化为直线
与圆有公共点求参数 的取值范围，利用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，即可得
解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：因为 ，所以 ，表示以 为圆心， 为半径的圆，
即点 为圆 上的点，
令 ，即 ，当直线与圆 相切时 取得最值，所以
，即 ，解得 ，所以
故答案为：
15．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 ， ， ， ，且其
“欧拉线”与圆 ： 相切．
（1）求 的“欧拉线”方程；
（2）点 在圆 上，求 的最值．
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为
边 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得 边上的垂直平分线方程.
（2）根据直线与圆 相切，先求出圆 的方程，令 ，则点 在直线 上，故点
是直线 与圆 的公共点，利用代入消元后的一元二次方程的判别式 ，则可求得 的最
值，也即是 的最值.
【详解】（1）因为在 中，
所以 边上的高线、垂直平分线和中线合一，
则其“欧拉线”为 边 的垂直平分线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 ，点 ，所以
由直线 的斜率为 ，
可得 的垂直平分线的斜率为 ，
所以 的垂直平分线方程为 ，
即 为 的“欧拉线”方程；
（2）圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，
令 ，即 代入圆 的方程，，
可得 ，
整理，得 ，
因为该方程有解，
所以 ，
解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
16．已知实数 满足方程 ，求 的最大值和最小值．
【答案】最大值为 ，最小值为
【分析】设 ，则可知当直线 与圆相切时，截距 取得最值，然后由圆心到直线的距离等于
半径列方程可求得结果.
【详解】设 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则当直线 与圆相切时，纵截距 取得最大值和最小值，
圆 的圆心为 ，半径为 ，则
，解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
4.面积周长型
17．在直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，则 面积的范围为
【答案】
【分析】根据题意求出点 的轨迹方程与边AC的方程，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的
距离加上半径，最近距离为圆心到直线的距离减去半径，即可求出点 到边AC的距离的最大值与最小值，
进而求出 面积的范围．
【详解】设点 ，则
由已知得 ，
所以 ，即
故点 的轨迹方程为 ，即 ，其圆心 ，半径为 ．
直线AC的方程为 ，即
圆心 到直线AC的距离
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则点 到边AC的距离的最小值为 ，最大值为
又
则 面积的最小值为 ，最大值为 ，
所以 面积的范围为 ．
故答案为： ．
18．已知圆 ，点 在直线 上，过点 作直线 与圆 相切于点
，则 的周长的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解.
【详解】由圆 知圆心 ，半径 ，
因为 与圆 相切于点 ，所以 ，
所以 ，所以 越小， 越小，
当 时， 最小，
因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 的最小值为6，
此时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的周长的最小值为 .
故答案为： .
19．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l： 被圆M所截的弦长为 ，且圆心M在直
线l的下方.
（1）求圆M的方程；
（2）设 ，若圆M是 ABC的内切圆，求 ABC的面积S的范围.
△ △
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设圆心M(a，0)，利用弦长可求出 ，即得圆的方程；
（2）设直线AC的方程为y=kx+t，直线BC的方程为y=kx+t+6，联立方程可求出C的横坐标，根据条件可
1 2
求出 ， ，则可将 ABC的面积用 表示，即可求出范围.
△
【详解】（1）设圆心M(a，0)，由已知得M到直线l：8x-6y-3=0的距离为 ，
，又∵M在直线l的下方，
∴8a-3>0，∴8a-3=5，a=1，
故圆的方程为(x-1)2+y2=1.
（2）设AC的斜率为k，BC的斜率为k，
1 2
则直线AC的方程为y=kx+t，直线BC的方程为y=kx+t+6，
1 2
由方程组 ，得C点的横坐标为 ，
∵|AB|=t+6-t=6， ，
由于圆M与AC相切，所以 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理 ，
，
，
，
，
∴ .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于较难题.
20．已知 ， ，若动点 满足 ，直线 与 轴、 轴分别交于两点
，则 的面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由 得 的轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，根据点到直线得距离公式求解圆
上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解.
【详解】设 ，由 可得 ，
化简可得 ，故动点 的轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，
圆心 到 的距离为 ，
故圆上的点到直线 的最小距离为 ，
由于 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的面积的最小值为 ，
故选：D
21．已知两点 ，点 是圆 上任意一点，则 面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得 ，结合圆的性质可知点 到直线 的距离的最小值为 ，进而可得结果.
【详解】由题意可得： ，
且直线 的方程为 ，即 ，
圆 ，即 ，圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 ： 的距离 ，
所以圆C与直线AB相离，可知点 到直线 的距离的最小值为 ，
所以 面积的最小值是 .
故选：B.
22．已知圆 ： ，直线 ： .
(1)若直线 与圆 相切，求 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，过直线 上一点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求四边形 面积的最小值及
此时点 的坐标，
【答案】(1) 或
(2) ，
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，
（2）当 时，直线 的方程为 ，而四边形 的面积 ，由圆的性质可
得当 最小时，切线长 最短，此时 ，求出直线 的方程，联立两直线方程可得点 的坐标.
【详解】（1）由已知，圆心 到直线 ： 的距离等于半径 ，
即 .
解得： 或 .
（2）当 时，直线 的方程为 ，四边形 的面积
∵ 为直角三角形，
当 最小时，切线长 最短，显然当 时，
∴
四边形 的面积最小值为 .
此时， ， ，
∴直线 ： ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，解得 ，即 .
5.数量积型
23．若点 是圆 ： 上的任一点，直线 ： 与 轴、 轴分别交于 两点，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【分析】由于直线 ： 与 轴、 轴分别交于 、 两点，分别令 ， 求得 点坐标，
再将圆 ： 化成标准方程，由参数方程表示点 的坐标，再代入 中，由三角函数
的最值即可求得 的最小值.
【详解】 令 则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
圆 ： ，则设点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时取得最小值 .
故选：C.
24．已知点 为圆 的弦 的中点，点 的坐标为 ，且 ，则 的范围是
．
【答案】
【分析】设 ， ，利用向量模的坐标运算
求出点 的轨迹方程为 ，由 ，根据点 的轨迹方程即可求解.
【详解】设 ，
，
， ，
，即 ，
，所以 .
因为 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆
所以 的取值范围为 ，即
则 的范围是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
【点睛】本题考查向量的运算，圆的轨迹方程，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据
，将问题转化为 ，进而求得 的轨迹方程，进一步将问题转化为
的横坐标的取值范围问题求解.
25．已知圆 的圆心在直线 上，且圆 在 轴、 轴上截得的弦长 和 分别为 和
.
(1)求圆 的方程；
(2)若圆心 位于第四象限，点 是圆 内一动点，且 ， 满足 ，求 的范围.
【答案】(1) 或 ；
(2)
【分析】（1）设圆心为 ，半径为 ，根据已知条件列方程，解方程组求出圆心坐标和半径，写出标
准方程；
（2）先得到向量 的坐标，结合 可得到 ，根据 在圆 内，可得到
，即可得到答案
【详解】（1）设圆心为 ，半径为 ，
则有 ，解得 或 ，
所以圆 的方程为 或 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）∵圆心 在第四象限，∴圆 的方程为 ，
令 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 满足 ，
∴ ，
又∵ 在圆 内，满足 且 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
26．已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的直线与圆 相切于
点 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切得勾股定理，由数量积的定义求解 得 ，即可根据抛物线的焦
半径求解.
【详解】解：因为抛物线 ，所以焦点坐标为 ，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，过 作 垂直准线 于 ，
则在直角 中， ，
所以
由抛物线的定义得： ，则由图可得 的最小值即抛物线顶点 到准线 的距离，即
，
所以 .
故选：B
6.坐标型
27．在平面直角坐标系 中，已知 ，曲线 上任一点 满足 ，点 在直
线 上，如果曲线 上总存在两点到点 的距离为 ，那么点 的横坐标 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可求出曲线 的方程，根据曲线 上总存在两点到点 的距离为 ，可得到点
到圆心 的距离小于 ，解不等式即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设 ，因为 满足
化简得：
∴曲线 的方程： ，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以直线与圆相离，如图所示：
设点 ，只需点 到圆心 的距离小于 即可．
此时点 在点 与点 之间.
∴ ．
解得： ．
故选：A
28．在平面直角坐标系 中，圆 ，点T在直线 上运动，若圆C上存在以 为中
点的弦 ，且 ，则点T的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 为 的中点，且 得 为直角三角形， ，而对点 而言 最
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】大时， 是圆的切线，题意说明过点 向圆引的两条切线的夹角不小于 ，求出 是圆的切线
且 时线段 的长，只要圆心到点 的距离不大于这个长度即可满足题意，由此可得．
【详解】 为 的中点，且 ， 为直角三角形， ，
若 ， 为切线，且 ，则，
在 中 则，
过点 向圆引的两条切线的夹角不小于 时，满足题意，则圆心 到 的距离不大于 ，
即 解得 .
故选：C.
29．已知函数 是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是
（ ）.
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】B
【分析】因为 为二次函数，故 为偶函数时，对称轴为 ，可求出 和 的关系，而 图象与
轴交点的纵坐标是 ，数形结合求最值即可.
【详解】解：因为 是偶函数，
所以 ，所以 ，即 ， ，
所以 是圆 位于x轴上和上方的半圆上的点.
又因为 ，
即求 的最大值，
令 ，则 ，它表示斜率为2的直线，
如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线 过点 时，
在直线在 轴上的截距 最小，从而 最大，即
故选：B．
30．已知点 ，圆 的半径为1.
(1)若圆 的圆心坐标为 ，过点 作圆 的切线，求此切线的方程；
(2)若圆 的圆心 在直线 上，且圆 上存在点 ，使 ， 为坐标原点，求圆心
的横坐标 的取值范围.
【答案】(1) 或
(2) 或 .
【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；
（2）由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意得圆 标准方程为 ，
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，
由 ，解得： ，
当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意；
所以切线的方程为 或 .
（2）由圆心 在直线 上，设 ，
设点 ，由 ，
得： ，
化简得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 在以 为圆心，2为半径的圆上.
又点 在圆 上，所以圆 与圆 有交点，
则 ，即 ，
解得： 或 .
31．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐
标场地（包含边界和内部， 为坐标原点）， 长12米， 长5米.在 处有一只电子狗，在 边上
距离 点 米的 点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始
位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点 ，那么电子狗被机器人捕获，称点 为成功点.
(1)求成功点 的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从 边上某点 处沿直线方向往 点运动，要求直线 与点 的轨迹没
有公共点，求点 纵坐标 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ， ，机器人运动速度为 ，依题意得 ，
整理即可得解；
（2）设直线 ： ，根据直线与点 的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，
即可求出 的取值范围，从而求出点 纵坐标 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）解：设 ， ，机器人运动速度为 ，
由题意可得 ，化简得 .
由于点 在矩形场地内，则 .
所以成功点 的轨迹方程为 .
（2）解：由题意可知直线 的斜率存在，不妨设直线 ： ，
直线 与点 的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得 ，解得 .
则点 纵坐标 ，
又因为 ，所以 .
7.参数的范围
32．曲线 与直线 有两个不同的交点时实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出 表示的曲线，而 表示经过定点 的一条动直线，利用斜率
数形结合可得结果.
【详解】由题意得， 即 ，其表示以 为圆心， 为半径的圆的上半部
分，而 表示经过定点 的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点 时，由
得 ，又点 ，则 ，由图可知 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.
33．已知关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的范围 .
【答案】
【分析】画出 和 的图像，数形结合得出实数 的范围.
【详解】设 ， ，图像如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心 到直线 的距离 ，即 ，
解得： （舍），或
当直线过点 时，可求得直线 的斜率 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则利用图像得：实数 的范围为
故答案为：
34．已知 ， ，圆 ： （ ），若圆 上存在点 ，使 ，则
圆 的半径 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由 得 ，即可知 的轨迹为 ，要使圆 上存在点
，即圆 与 有交点，进而可得半径 的范围.
【详解】设 ，则 ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆 的圆心为 ，半径为R，
∴圆 上存在点 ，即圆 与 有交点，
∴ .
故选：A
【点睛】关键点点睛：由 及向量垂直的数量积公式即可确定 的轨迹，要使圆 上存在点 ，
只需保证圆 与 的轨迹有交点即可.
35．已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P( ， )，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且
∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝ PC，则 的范围是 ．
【答案】 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据 可知 ，利用 构造方程可求得 ；根据 且
可解不等式求得结果.
【详解】 ， ，即
又 且 且
解得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键
是能够利用 表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.
36．已知曲线 与直线 交于两点 和 且 .记曲线 在点 和点
之间那一段 与线段 所围成的平面区域(含边界)为 .若曲线 与 有公
共点，则 的最小值为
【答案】
【分析】根据题意知圆 是圆心在直线 上且半径为 的圆.欲保证圆 与区域 有公共点且 的值最
小，只需考虑圆 与直线 相切或者经过点 时的情况.分别计算两种情况下的 值，比较即可.
【详解】
∵ 即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴圆 是以 为圆心，以 为半径的圆，且圆心总在直线 上.
如图，欲使 值达到最小，只需保证圆 与区域的公共点尽可能靠近最左边，故只需考虑圆 与直线
相切或者经过点 的情况.下面分别进行：
、当圆 与直线 相切时有
，解得 ，
∵ 要取最小值，故这里取 ，此时
联立 解得切点横坐标为 ，故切点在区域边界上，符合题意；
、当圆 过点 时，
联立 得 ，解得 ， ，即 点坐标为 ，
将点 代入圆 的方程化简得
，解得 或 ，
同理，此处取 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
1．若实数 满足条件 ，则 的范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，求得斜率取值范围即可.
【详解】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线
斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为 ，
由切线性质有， ，解得 ，故 的取值范围为 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据 的几何意义即点 到 的斜率，从而转化为斜率范围进行求解.
2．已知直线l： 与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线 ： 和 ：
交于点P，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离
公式可得面积最小值.
【详解】根据题意可知，动直线 过定点 ，动直线 ： ，即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过定点 ，
因为 ，所以无论m取何值，都有 ，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为 ，半径为 ，
设 ，则点P的轨迹方程为 ，
圆心到直线l的距离为 ，则P到直线l的距离的最小值为 ．
由题可知 ， ，则 ，
所以 的面积的最小值为 ．
故选：B
3．过 作圆 与圆 的切线，切点分别为 ， ，若
，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】圆 ，显然 ，半径为1，
圆 ，显然 ，半径为2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 是分别是圆 ，圆 的切线，
所以 ，
因为 ，
所以有 ，
即 ，
化简，得 代入 中，
得 ，
所以当 时， 的最小值 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用圆的切线性质得到等式 .
4．点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线，分别相切于 、 两点，则 的
最小值为 ；四边形 面积的最小值为 ；
【答案】 /
【分析】由圆的几何性质可知， ，分析可知，当 与直线 垂直时， 取最小值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求出 的最小值，结合勾股定理可求出 的最小值，证明出 ，可得出 ，
结合三角形的面积公式可求得四边形 面积的最小值.
【详解】圆 的圆心为坐标原点 ，如下图所示：
由圆的几何性质可知， ，由勾股定理可知， ，
当 与直线 垂直时， 取最小值，且 ，
所以， ，
由切线长定理可得 ，又因为 ， ，
所以， ，
所以， ，
故四边形 面积的最小值为 .
故答案为： ； .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．对平面上两点A、B，满足 的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知 ， ， ，若动点P满足 ，
则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定 ，利用三角形三边关系可知当 三点共线时，
，即为所求最小值.
【详解】
由题意知： ，即 ，
（当且仅当 三点按顺序共线时取等号），
又 ， 的最小值为 ；
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆
上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形 面积的最小值
为 .
【答案】 /7.5
【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出 及点 到直线 的距离
最小值即可作答.
【详解】直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
所以直线在x和y轴上的截距之和为 ；
圆 ，即 的圆心 ，半径为 ，
点 到直线 的距离 ，
因此圆 上的动点 到直线 的距离最小值为 ，
所以 面积的最小值为 .
故答案为： ；
7．已知抛物线 上三点 ，直线 是圆 的两条切
线，则直线 斜率之积是 ；线段 中点的纵坐标的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 1
【分析】（1）设出切线方程，利用直线与圆相切，列出方程，根据韦达定理求出切线的斜率之积；（2）
利用韦达定理求出 两点的纵坐标，建立 中点的坐标与 之间的函数关系式，根据 的取值范围确定
中点纵坐标的取值范围.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
由题可知，过 引圆 的切线斜率存在.
设切线 的方程为 ，
则圆心 到切线 的距离
整理得 ，
设切线 的方程为 ，
同理可得 ，
因此 是方程 的两个根，
所以 ，
设 ，
由 得 ，
由韦达定理知 ，所以 ，
同理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 中点坐标为 ，
则
因为 ，所以 ，
所以 ,所以 .
故答案为； ； .
8．（多选）已知 为坐标原点， ，动点 满足 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 的方程
为 ， 交 于两点 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的方程为
B． 的取值范围是
C． 的最小值为8
D． 可能是直角三角形
【答案】ABC
【分析】设 ，可求点的轨迹方程判断A；利用有两交点可求 的范围判断B；联立方程组可求
的最小值为8判断C；求得 的斜率的范围可判断D．
【详解】对A，设 ，由题意可得 ，整理可得 ，所以A正
确；
对B，且圆心 的坐标 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离 ，
要使有两个交点，可得 ，即 ，可得 ，所以B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对C，联立 ，整理可得： ，
，即 ， ， ，
，
所以 ，
当 满足 时， 的值最小，最小值为8，所以C正确；
对D，由 的最小值为8，可知 不可能为直角顶点，
不妨设 在 的下方，可知 不可能为直角顶点，
设过原点与 的直线方程为 ，由圆心 到直线的距离 ，
解得 ，解得 ， ，
故 不与 垂直，
不可能是直角三角形，故D错误．
故选：ABC．
9．（多选）已知抛物线 : 与圆 : ，点 在抛物线 上，点 在圆 上，点
，则（ ）
A． 的最小值为
B． 最大值为
C．当 最大时，四边形 的面积为
D．若 的中点也在圆 上，则点 的纵坐标的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ACD
【分析】对于A，根据 ，结合抛物线的定义可判断A；
对于B，设 是圆 的切线，切点为 ，根据 ， ，可得
，由此可判断B；
对于C，根据 两点在 轴异侧，且 与抛物线 相切于 ， 与圆 相切于 ，可求出四边形
的面积，由此可判断C；
对于D，设 的中点为 ， 是圆 的切线，切点为 ，利用圆的切割线长定理得到
，再根据 得到 ，再根据抛物线的定义可求出点 的纵坐标的取
值范围，由此可判断D.
【详解】由 可知其焦点为圆 的圆心 ，圆 的半径为 ，设 ，则 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，设 是圆 的切线，切点为 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 最大值为 ，故B不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，如图：当 两点在 轴异侧，且 与抛物线 相切于 ， 与圆 相切于 时，
取得最大值，
不妨设点 在第一象限，则点 在第四象限，
设直线 ： ，代入 ，消去 并整理得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
此时 ，
当 与圆 相切于 时， ，
，
所以四边形 的面积为 ，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，如图设 的中点为 ， 是圆 的切线，切点为 ，
根据圆的切割线长定理可得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即点 的纵坐标的取值范围为 .故D正确；
故选：ACD
10．已知 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意， 点的轨迹是圆，然后将问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值，进而求出结果.
【详解】由 得 ，
整理得 ，
所以 点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点到直线 距离的 倍，
而圆心到直线 的距离为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 与圆相离，
所以圆上的点到直线 距离的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
11．已知直线 交 于不同的 、 两点， ．
(1)求直线 的方程；
(2)若 为 上一动点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心到直线 的距离 ，求出圆的半径 的值，由勾股定理可得出 ，求
出 的值，即可得出直线 的方程；
（2）取线段 的中点 ，利用平面向量数量积运算性质可得出 ，求出 的最小值，即
可得出 的最小值.
【详解】（1）解：圆心为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
由题意可知，圆 的半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由勾股定理可得 ，即 ，整理可得 ，解得 ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
（2）解：设线段 的中点为 ，由垂径定理可知 ，
且 ，
，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
则 ，
所以， ，
当且仅当点 为线段 与圆 的交点时，等号成立，
所以， ，
故 的最小值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（1）如果实数x，y满足 ，求 的最大值和最小值；
（2）已知实数x，y满足方程 ，求 的取值范围．
【答案】（1）最大值、最小值分别为 ；（2）
【分析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆 相切于上方时 最大，相切于下方时
最小，结合图形求出直线的倾斜角可得答案，解法二：令 ，将 与 联立，化简
后由 可求出结果，
（2） 可以看成圆上的点 到 的距离，然后结合图形可求得结果.
【详解】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆 相切于上方时 最大，过圆心
作切线l的垂线交于B，
在 中， ．
∴切线l的倾斜角为 ，∴ 的最大值为 ．
同理可得 的最小值为 ．
解法二：令 ，将 与 联立，消去y得 ，
，即 ，
∴ ，即 的最大值、最小值分别为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） 可以看成圆上的点 到 的距离．
圆心 到 的距离为 ．
由图可知，圆上的点 到 的距离的范围是 ，
则 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
