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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练
第 3 章《位置与坐标》
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知识点01:有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序
数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，
190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间
定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表
示座位号.
知识点02:平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：细节剖析：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第
四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，
这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x，0)、B(x，0)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
y轴上两点C(0，y)、D(0，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2
③ 平行于x轴的直线上两点A(x，y)、B(x，y)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
平行于y轴的直线上两点C(x，y)、D(x，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
知识点03:坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
细节剖析： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位
置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以
得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)
(或(x，y-b))．
细节剖析：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是
把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新
图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
细节剖析：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，
反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，
纵不变；上加下减，横不变”．
考点提优练
考点01：坐标与图形性质
1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，
4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．14
解：∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵B（﹣1，b），C（2，c），
∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，
∵S +S ＝S ，
△ABO △ACO △ABC
∴ ×4×1+ ×4×2＝ ×AB•CD，
∴AB•CD＝12，
故答案为：C．
2．（2022春•如东县期中）在下列四点中，与点（﹣3，4）所连的直线不与y轴相交的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
解：点（﹣3，4）在第二象限，点（﹣3，2）也在第二象限，两点的连接线段与x轴，y轴都不相交．
故选：D．
3．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y轴，
则A点的坐标为（ ）
A．（4，7） B．（4，﹣1）
C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1）
解：∵AB∥y轴，
∴A、B两点的横坐标相同，
又∵AB＝4，
∴B点纵坐标为：3+4＝7或3﹣4＝﹣1，
∴B点的坐标为：（4，7）或（4，﹣1）．
故选：D．
4．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点
A（x，y）、B（x，y），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（ ， ），如：点A
1 1 2 2
（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（ ， ），即M（2，4）．利用以上结论
解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 4 或 0 ．
解：根据题意得：G（ ， ），
∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，
∴ ，
解得：4a+b＝4或0．
故答案为：4或0．
5．（2022春•海沧区校级期末）在平面直角坐标系内，若点A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1
﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．当m＞1时，则M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是
M ， P ．
解：∵这六个点的纵坐标都是3，
∴它们都在直线AB上，与x轴平行，
∵m＞1，
∴m2＞1，
∴1＜2＜m2+2，1﹣m2＜0，1＜m2＜m2+2，2﹣m2＜1，
∴M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是M，P．
故答案为：M，P．
6．（2022春•东莞市校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q
的坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，
解得m＝3．
所以m+2＝5，
故Q点的坐标是（0，5）；
（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，
解得m＝8．
所以2m﹣6＝10．
故Q点的坐标是（10，10）．
7．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足 +|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒
2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动
（1）求点B的坐标．
（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
解：（1）∵a、b满足 +|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6）；
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，
∴点P的路程：2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒），
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
8．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），点B（x，y），定义|x﹣x|
1 1 2 2 1 2
+|y﹣y|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x﹣x|＝|y﹣y|时，规定d（A，
1 2 1 2 1 2
B）＝|x﹣x|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝对距离
1 2
的最大值为d，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d，称d与d的较大值为分类系数．如图，
1 2 1 2点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d＝ 2 ，d＝ 5 ，因此，这种分类方
1 2
式的分类系数为 5 ；
（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：
（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直
接写出m的取值范围．
解：（1）观察坐标图，根据题意得知：
d＝d（A，C）＝|x﹣x|＝2；
1 A C
d＝d（B，E）＝|y﹣y|＝5；因为d＞d，所以分类系数为5；
2 B E 2 1
故答案为：2；5；5；
（2）共有十种分类方法：
若将点A，B分为第I类，点C，D，E分为第Ⅱ类：d＝d（A，B）＝|y﹣y|＝4，
1 A B
d＝d（D，E）＝|y﹣y|＝3，因为 d＞d，所以分类系数为4；
2 D E 1 2
若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类：分类系数为5；
若将点A，D分为第I类，点B，C，E分为第Ⅱ类：d＝d（A，D）＝|x﹣x|＝3，d＝d（B，E）＝|y﹣
1 A D 2 B
y|＝5，因为d＞d，所以分类系数为5；
E 2 1
若将点A，E分为第I类，点B，C，D分为第Ⅱ类：d＝d（A，E）＝|x﹣x|＝4，d＝d（B，C）＝|y﹣
1 A E 2 B
y|＝4，因为d＝d，所以分类系数为4；
C 1 2
若将点B，C分为第I类，点A，D，E分为第Ⅱ类：d＝d（B，C）＝|y﹣y|＝4，d＝d（A，E）＝|x﹣
1 B C 2 A
x|＝4，因为d＝d，所以分类系数为4；
E 1 2
若将点B，D分为第I类，点A，C，E分为第Ⅱ类：d＝d（B，D）＝|x﹣x|＝2，d＝d（A，E）＝|x﹣
1 B D 2 A
x|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
E 2 1
若将点B，E分为第I类，点A，C，D分为第Ⅱ类：d＝d（B，E）＝|y﹣y|＝5，d＝d（A，D）＝|x﹣
1 B E 2 Ax|＝3，因为d＞d，所以分类系数为5；
D 1 2
若将点C，D分为第I类，点A，B，E分为第Ⅱ类：d1＝d（C，D）＝|y﹣y|＝2，d＝d（B，E）＝|y
C D 2 B
﹣y|＝5，因为d＞d，所以分类系数为5；
E 2 1
若将点C，E分为第I类，点A，B，D分为第Ⅱ类：d＝d（C，E）＝|x﹣x|＝2，d＝d（A，B）＝|y﹣
1 C E 2 A
y|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
B 2 1
若将点D，E分为第I类，点A，B，C分为第Ⅱ类：d＝d（D，E）＝|y﹣y|＝3，d＝d（A，B）＝|y﹣
1 D E 2 A
y|＝4，因为d＞d，所以分类系数为4；
B 2 1
比较得：分类系数d的最小值为4；
（3）当点F在点E的右边时，|x﹣x|≤5，m﹣1≤5；
F A
当点F在点A的左边时，|x﹣x|≤5，5﹣m≤5，得0≤m≤6．
F E
故m的取值范围是：0≤m≤6．
考点02：两点间的距离公式
9．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：根据题意得AB＝ ＝ ，
∵（x+1）2≥0，（2y+2）2≥0，
∴当x+1＝0，2y+2＝0时，AB最小，
解得x＝﹣1，y＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣1），
∴P点在第三象限．
故选：C．
10．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，
则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）
∴y＝2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，
点B到AC的距离最短，即
BC的最小值＝5﹣2＝3，
此时点C的坐标为（3，2），
故选：D．
11．（2021春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小
值为 3 ．
解：如图．
∵A（0，a），
∴A在y轴上．
∴线段AB的长度为B点到y轴上点的距离．
若使得线段AB长度的最小，由垂线段最短，
∴当A在（0，5）时，即AB⊥y轴，线段AB长度最小．
∴（d） ＝3．
AB min
故答案为：3．12．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）
（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为
P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，
且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ± 5 ．
解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），
∵PP′＝5OP，
∴|mk|＝5m，
∵m＞0，
∴|k|＝5，
∴k＝±5．
故答案为：±5．
13．（2021秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：
已知平面内两点 M（x，y）、N（x，y），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝
1 1 2 2
．
例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝ ＝ ．
特别地，如果两点M（x，y）、N（x，y）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，
1 1 2 2
那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x﹣x|或|y﹣y|．
1 2 1 2
（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两
点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
解：（1）AB＝ ＝ ；
（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；
（3）△ABC为直角三角形．理由如下：
∵AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝
5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
14．（2021•张家界模拟）问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x，y）和点B（x，y），小明在学习中发现，若x＝
1 1 2 2 1
x，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y﹣y|；若y＝y，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x﹣x|；
2 1 2 1 2 1 2
【应用】：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 （ 1 ， 2 ）或（ 1 ，﹣ 2 ） ．
【拓展】：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x，y），N（x，y）之间的折线距离为d（M，N）
1 1 2 2
＝|x﹣x|+|y﹣y|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）
1 2 1 2
＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
解决下列问题：
（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ＝ 5 ；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ 2 或﹣ 2 ．
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ 4 或 8 ．
解：【应用】：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．
【拓展】：
（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案为：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴ |x|×3＝3，解得：x＝±2．
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案为：4或8．
15．（2021•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已 知 在 平 面 内 两 点 P （ x ， y ） 、 P （ x ， y ） ， 其 两 点 间 的 距 离 公 式
1 1 1 2 2 2
，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标
轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
2 1 2 1
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的
距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状
吗？说明理由．
解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝ ＝13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标
16．（2021秋•历下区期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对
（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有
序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
解：有序数对（a，b）（b≠0）它的“k阶结伴数对”为（ka+b，a﹣b），
∵（a，b）与（ka+b，a﹣b）关于y轴对称，
∴a＝﹣ka﹣b，b＝a﹣b，
解得k＝﹣ ，
故选：B．
17．（2022春•洛江区期末）点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ）
解：点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（﹣5，﹣3），
故选：A．
18．（2022•皇姑区二模）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第 四
象限．
解：由题意，得
a﹣2＝1，b+5＝3，
解得a＝3，b＝﹣2，
点C（a，b）在第四象限，
故答案为：四．19．（2021秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 （ 1 ， 2 ）
．
解：由点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
20．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△PQR，写出它们的坐标P （ 4 ，
1 1 1 1
﹣ 1 ） ，Q （ 1 ， 4 ） ，R （﹣ 1 ， 1 ）
1 1
解：如图，△PQR即为所求．
1 1 1
观察图象可知：P（4，﹣1）、Q（1，4）、R（﹣1，1），
1 1 1
故答案为（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）．
21．（2016秋•天桥区期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，
0）．请将点A，B，C的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，分别得到点A′，B′，C′，并依次连
接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面积．解：如图所示，△A′B′C′即为所求，
△A′B′C′的面积为 ×5×4＝10．
22．（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y
轴于G，连OB、OC．
（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．
解：（1）△AOG是等腰三角形；
证明：∵AC∥y轴，
∴∠CAO＝∠AOG，∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO＝∠GAO，
∴∠GAO＝∠AOG，
∴AG＝GO，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，
∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，
∴AN＝CK＝BK，
在△ANG和△BKG中，
，
∴△ANG≌△BKG，（AAS）
∴AG＝BG，
∵AG＝OG，（1）中已证，
∴AG＝OG＝BG，
∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，
∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∴AO⊥BO．
23．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．
（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；
（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？
（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．解：（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣3），点D的坐标为（4，0），点F的坐标为
（0，3）；
（2）点B与点C的纵坐标相等，线段BC平行于x轴；
（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，3），它与点C关于原点对称．
考点04：坐标与图形变化-对称
24．（2022•邗江区校级一模）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，
若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C．（2，0） D．（3，0）
解：如图，连接AB、AB′，
∵A（0，4），B（6，8），
∴AB＝ ＝2 ，
∵点B与B′关于直线AP对称，∴AB′＝AB＝2 ，
在Rt△AOB′中，B′O＝ ＝ ＝6，
∴B′点坐标为（﹣6，0）或（6，0），
∵A（0，4），点B（6，8）关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，
∴点B（6，8）关于直线AP的对称点B′（﹣6，0），
∴B′点坐标为（6，0）不合题意舍去，
设直线BB′方程为y＝kx+b
将B（6，8），B′（﹣6，0）代入得
，
解得k＝ ，b＝4，
∴直线BB′的解析式为：y＝ x+4，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣ x+4，
当y＝0时，﹣ x+4＝0，
AP
解得：x＝ ，
∴点P的坐标为：（ ，0）；
故选：A．
25．（2021秋•武城县期末）明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方
子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，
所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1）
解：将第4枚圆形放在中心方形棋子的正上方一格处，即（﹣1，1）处，构成以过点（﹣1，0），
（0，﹣1）的直线为对称轴的轴对称图形．
故选：D．
26．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A
的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成
轴对称图形，则点C的坐标可以是 （ 3. 1 ）（答案不唯一） （写出一个即可），满足题意的点C的
个数为 6 ．
解：由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，
则△ABC是等腰三角形，
如图，共有符合要求的点C有6个．
其中点C坐标为（3，1）（答案不唯一），
故答案为：（3，1）（不唯一），6．27．（2021秋•盐田区校级期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盘正中方形
棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称
图形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置是 （ 2 ， 1 ） ．
解：第八枚圆形棋子放在位置，如图所示，坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
28．（2021•黄石港区校级模拟）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴
于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 （ ﹣ 1 ， 2 ）或
（﹣ ﹣ 1 ， 2 ） ．
解：∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2），
∴AB＝ ＝2 ，
∵由题意点D在∠CAB的角平分线或∠CAB的外角平分线上，
作DH⊥AB于H．
∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝m，则有 •AC•BC＝ •AC•DC+ •AB•DH，
∴2×4＝2m+2 m，
∴m＝ ﹣1，
∴D（ ﹣1，2），
当D′在∠CAB的外角平分线上时，同法可得CD′＝ +1，
∴D′（﹣ ﹣1，2）
故答案为：（ ﹣1，2）或（﹣ ﹣1，2）．
29．（2021秋•江阴市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），其中m为实
数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 3 ，点P（﹣2，0）到点C的最大距离为
5+ ．
解：∵A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），
∴点A在直线y＝1上，点B在直线y＝4上，
∴AB的最小值为3，
如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b．
则有 ，
解得 ，∴直线AB的解析式为y＝﹣ •x+3+ ，
∵x＝2时，y＝3，
∴直线AB经过定点D（2，3），
连接PD，CD，OD，
∵P（﹣2，0），
∵PD＝ ＝5，OD＝ ＝ ，
∵O，C关于直线AB对称，
∴DC＝OD＝ ，
∴PC≤PD+CD＝5+ ，
∴PC的最大值为5+ ．
故答案为：3，5+ ．
30．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：
（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 （ 2 ， 4 ） ，M关于y轴的对称点N的坐标 （ 1 ， 1 ） ；
（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 （ 4 ， 4 ） ，则PR的距离为 6 ；
（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ，则NT的距离为 2 ．
解：（1）如图，点Q，点N即为所求，Q（2，4），N（1，1）．
故答案为：（2，4），（1，1）；
（2）如图，点R即为所求，R（4，4），PR＝6．故答案为：（4，4），6；
（3）如图，点T即为所求．T（﹣1，﹣1），NT＝ ＝2 ．
故答案为：（﹣1，﹣1），2 ．
31．（2021秋•峡江县期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣
1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标．
解：（1）如图，
（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．32．（2021秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．
（1）写出P′的坐标 （ 4 ， 4 ） ，M′的坐标 （ 3 ， 1 ） ；
（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 （ 0 ， 4 ） ；写出N′（5，﹣2）关于
直线x＝2的对称点坐标 （﹣ 1 ，﹣ 2 ） ；
（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 （ 2n ﹣ a ， b ） ．
解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），
故答案为：（4，4），（3，1）；
（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐
标（﹣1，﹣2）．
故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）；
（3）设对称点坐标为（x，y），
则有 ＝n，y＝b，
x＝2n﹣a，∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．
故答案为：（2n﹣a，b）．
33．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的
对称图形是△ABC，△ABC关于直线l的对称图形是△ABC，写出△ABC的三个顶点的坐标；
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P，点P关于直线l的对
1 1
称点是P，求PP的长．
2 2
解：（1）△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（5，0），C（5，2）；
2 2 2 2 2 2
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P关于y轴对称，P（﹣a，0），
1
∴P（a，0），
1
又∵P与P关于l：直线x＝3对称，
1 2
设P（x，0），可得： ＝3，即x＝6﹣a，
2
∴P（6﹣a，0），
2
则PP＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
2
