文档内容
第 36 课 反比例函数的性质和应用
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．若点 、 、 都在反比例函数， 的图象上，则 ， ， 大小关系
是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数
的增减性解答．
【解析】∵在反比例函数 中， ，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内 随 增大而增大，
∵ ，
∴点 在第二象限，点 、 在第四象限，
∴ ，
∴ ， ， 的大小关系为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．
2．对于函数 ，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C． 时的函数值小于 时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
【答案】B【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可．
【解析】解：
∵
∴双曲线过二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大
当 时：
当 时：
故：A、C、D选项正确，不符合题意；B选项说法不正确，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝ 在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将一次函数化简为 ，得出x轴的交点为 ，据此排除选项A、C，考虑 时及
时，判断两个函数经过的象限即可得出结果．
【解析】解：AC. ，
函数 与x轴的交点为 ，故A、C不合题意；
B.函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在一、三象限，此时 的图像在第一、
二、三象限，故B符合题意；
当函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在二、四象限，此时 的图像在第二、
三、四象限，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像是解题关键．4．下列关于反比例函数y＝ 的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可．
【解析】解：在反比例函数 中，k2+2＞0．
A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意；
B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意；
C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意；
D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断．
5．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的
时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分
钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时
间为（ ）
A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
【答案】C
【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两
个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间．
【解析】解：当0≤x≤6时，设y=mx，
将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m= ，
∴y= ；当x＞6时，设y= ，
将点（6，16）代入，得：16= ，
解得：n=96，
∴y= ；
综上，y= ；
当0≤x≤6时，若y=8，则 x=8，
解得x=3；
当x＞6时，若y=8，则 ，
解得x=12；
∴12-3=9（分钟），
故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
6．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆
炸，该气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
【答案】B【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过
点（1，96）故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥ ．
【解析】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=
∵图象过点（1，96）
∴k=96，
即P=
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出
函数解析式．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，与函数y= （k＞0，x＞0）
的图象交于点C、D．若CD= AB，则k的值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】C
【分析】求出AB＝6 ，联立y＝﹣x+6和y 并整理得： ﹣6x+k＝0，则a+b＝6，ab＝k，则
，即可求解．
【解析】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，
令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝6，∴点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），
∴OB＝OA＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ABO是等腰直角三角形，
△
∴AB＝ ，
∴CD= AB＝ ，
联立y＝﹣x+6和 得到，
，
整理得： ﹣6x+k＝0，
设点C、D的坐标分别为（a，﹣a+6），（b，﹣b+6），
则a+b＝6，ab＝k，
∴ ，
解得：k ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、勾股定理、一元二次方程根与系数关系等知识，
熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线 （ ， 为常数）与双曲线 （ ， 为常数）交
于点 ， ，若 ， ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ，则 的面积是
（ ）A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据直线 与双曲线 都经过点A，得出 ，进而得到 ，再由直线 与
双曲线 都经过点B，得到 ，进而得到 ，进而求出b的值，得到点A的坐标，即可得
到答案．
【解析】由题，直线 与双曲线 都经过点A，
∴ ，得：
直线 与双曲线 都经过点B
，得：
将点B代入 ，得：故选：C
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图像问题，根据两者的交点结合解析式求出点的坐标是解题关
键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作
正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线 上，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点
C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定
B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF
＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．
【解析】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y＝﹣3x+3中，
令x＝0，解得：y＝3，
即B的坐标是（0，3）．
令y＝0，解得：x＝1，
即A的坐标是（1，0）．
则OB＝3，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．
代入y＝ 得：k＝4，
则函数的解析式是：y＝ ．
∴OE＝4，
则C的纵坐标是4，
把x＝3代入y＝ 得：y＝ ．即G的坐标是（3， ），
∴CG＝4﹣ ＝ ，
∴a＝ ．
故选：C．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运
用这些知识点是解题关键．10．如图，正比例函数y＝mx（m＞0）与反比例函数 的图象交于A，B两点， 轴，交y轴于
点C，在射线BC上取点D，且BD＝3BC，若 ，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】表示出 ， ，求出A到直线BD的距离为： ，以及
，利用 求出k即可．
【解析】解：由图可知： ，
联立 ， 可得： ，解得： ，
∴ ， ，
∴A到直线BD的距离为： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，点到坐标的距离，三角形面积，解题的关键是求出A、B
坐标，表示出三角形面积．
二、填空题
11．已知反比例函数 ，当 时，y的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象的性质，k>0时， ，y随x的增大而减小，可知y的取值范围．
【解析】解：由反比例函数图象性质可知，在 中，当 时，y随x的增大而减小，
∵当x=1时，y=3，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数及其图像的性质，利用其性质求因变量的取值范围，掌握其在对应
象限的增减性是考查的重点．
12．已知反比例函数 ，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为
_______
【答案】k＞4
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可知k−4＞0，从而可以得到k的取值范围．
【解析】解：∵反比例函数 ，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k−4＞0，
解得，k＞4，故答案为：k＞4．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
13． 、 、 都在双曲线 上，把 、 、 按从小到大的顺序排列______．
【答案】
【分析】利用配方法和非负数的性质可判断 ＜0，易得 ，然后根据反比例函数的
性质可判断 ，从而得到 、 、 的大小关系．
【解析】解： ＜0，
∵ 、 、 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
14．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函
数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．【解析】解：设反比例函数的解析式为 ，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
当S=0.25时， ．
故答案为：400
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
15．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种
药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 时，y与x是正比例
函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量
x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得 时的自变量x的取值范围．
【解析】解：根据题意设 时，正比例函数为 ， 时，反比例函数为 ，将点
代入，得
，
当 时，当 时，
当 时，当 时，
根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是故答案为：
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．
16．近视镜镜片焦距 （米）是镜片度数 （度）的某种函数，下表记录了一些数据：
（度） … …
… …
（米）
利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为 度时，镜片焦距为______米．
【答案】
【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解；
【解析】根据表格数据可得，100×1= 250×0.4 =400×0.25=500×0.2=100，
所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例，
所以y关于x的函数关系式是：y= ，
将x=200代入解析式y= ，
得y= = 0.5，
故答案为：0.5.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键.
17．琪琪同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不
超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的
反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）y与x之间的函数关系式为________；x取值范围是________．
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为 ，比较 与 的大小：________ ．
【答案】 ； x为 的整数； >．
【分析】(1)设反比例函数解析式为 ，将点(3，400)代入求出 即可，最后注意自变量的取值范围；
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y，y，y 的值求出，然后求出 ， 再比
1 2 3
较大小求解．
【解析】解：(1)设反比例函数解析式为 ，
∵点（3，400）在反比例函数图像上，
将点(3,400)代入 ，即得 ，
故反比例函数的解析式为： ，
∵训练次数不超过15次，
∴x为 的整数，
故答案为： ；x为 的整数；
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得 ，
当x=8时，代入反比例函数中，解得 ，
当x=10时，代入反比例函数中，解得 ，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的
坐标代入解析式中，得到等式进而求解．18．如图，函数 与函数 图像的交于点P，点P的纵坐标为4， 轴，垂足为点
B，点M是函数 图像上一动点（不与P点重合），过点M作 于点D，若 ，
点M的坐标是________．
【答案】（12，2）
【分析】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得
PG=DH，DG=MH，设D(m， )，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．
【解析】解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示，
∵△PMD是等腰直角三角形，
∴PD=DM，
∵∠PDG+∠MDH＝90°， ∠PDG+∠DPG=90°，
∴∠DPG=∠MDH，
∵∠G=∠H，
∴△PGD≅△DHM(AAS)，
∴PG=DH，DG=MH，
∵点P的纵坐标为4，
∴将y=4代入 ，得x=6，∴P点坐标为（6，4），
将P（6，4），代入 ，得：k=24，
∴反比例函数解析式为：
设D(m， )，
∴DG=m-6，PG= ，
∴MH＝m-6，DH= ，
∴M（ ， ），
∵点M在反比例 的图象上，
∴ ，
解得 ， ，
当m＝6时，M（6，4）(舍去)， 当m=10时，M（12，2），
故答案为：（12，2）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主 要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰
直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键．
三、解答题
19．已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）
(1)求k的值；
(2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ．
【答案】(1)k=6；
(2)一、三；减小
(3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析(4)﹣6＜y＜﹣2
【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可；
（2）利用反比例函数的性质进而得出答案；
（3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可；
（4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可．
（1）
解：∵点A（2，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×3=6；
（2）
解：∵k=6＞0，
∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
故答案为：一、三；减小；
（3）
解：∵k=6，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∵当x=-1时，y= =-6，
∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上；
（4）
解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6，
则y的取值范围为：-6＜y＜-2．
故答案为：-6＜y＜-2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性
质是解题关键．
20．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上．
(1)当 时
①求反比例函数表达式，并求出 点的坐标；
②当 时，求 的取值范围．(2)若一次函数 与 轴交于点 ，求 的值．
【答案】(1)①反比例函数解析式为y＝ ，点B（﹣3，﹣2）；②0＜x＜1；
(2)k＝1．
【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再
求点中未知的坐标．根据函数图像以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
（1）
解：①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝ ，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝ ，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝ ，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴ ＞6，
∴0＜x＜1；
（2）
点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
∴0＝k﹣1，k＝1．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析
式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
21．已知反比例函数 的图象经过点A（2，－4）．
(1)求k的值．
(2)点A 、B 均在反比例函数 的图象上，若 ，比较 的大小关系．
(3)当y ≤4时，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 ＜0时， ；当 时， ；当 时，
(3) 或x＞ 0
【分析】（1）把点A（2，－4）代入函数解析式，即可求解；
（2）根据题意可得图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，然后分三种情况讨
论，即可求解；
（3）根据题意可得当 时， ，再由图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而
增大，即可求解．
（1）解：∵反比例函数 的图象经过点A（2，－4），∴ ，解得： ；
（2）解：∵ ，∴图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，当
＜0时， ，当 时， ，当 时， ，
（3）解：根据题意得：反比例函数表达式为 ，当 时， ，因为 ，∴图象位于
第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∴ 或x＞ 0，
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
22．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限内的图象交于 和
两点．(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，写出自变量x的取值范
围
(3)求 AOB面积．
△
【答案】(1) ．
(2)1﹤x﹤3．
(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得
出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用 可求得 的面积．
（1）
解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）
如图，设一次函数与x轴交于点C，在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故 AOB的面积为4．
【△点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点
坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
23．一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变
化．已知y与t是反比例函数关系，图像如图所示．
(1)求y与t之间的函数表达式；
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
【答案】(1)
(2)40
【分析】（1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案；
（2）直接利用（1）中函数解析式，将t=6代入，进而得出答案．
（1）解：设y与t之间的函数表达式为 ，
把点（2，120）代入得：
，解得：k=240，
∴y与t之间的函数表达式为 ；
（2）
解：当t=6时， ，
∵k=240＞0，
∴y随t的增大而减小，
∴当 时， ，
答：平均每天至少要卸货40吨．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
24．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数 的图象交于A，B两点，若
OC＝2，点B的纵坐标为3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）OC＝2得C（0，2）可求出一次函数解析式，把点B的纵坐标为3代入一次函数解析式得B坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）联立直线与双曲线解析式求得 的坐标，进而求出△AOC、△BOC面积相加即可．
（1）
解：∵OC＝2，
∴C（0，2），代入y＝x+b得b＝2，
∴y＝x+2，
∵点B的纵坐标为3，
∴3＝x+2得x＝1，
∴B（1，3），
把B（1，3）代入反比例函数
得k＝3，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）
由
解得 或 ，
∴ ，
而C（0，2），
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，解一元二次方程，掌握反比例函数的中是
解题的关键．
25．已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当 和 时，函
数图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．(1)求点D坐标；
(2)当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．
【答案】(1)（45，20）
(2)当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【分析】（1）求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，可得y≥30时，x的取值范围，再由反比例函数 可得y≥30时，x的
取值范围，即可求解．
（1）
解：设当 时，反比例函数解析式为 ，
把点C（20，45）代入得：
，解得：k=900，
∴反比例函数解析式为 ，
∴当x=45时， ，
∴D（45，20）；
（2）
解：根据题意得：A（0，20），
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，
将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
当y≥30时， ，解得：x≥4，
由（1）得反比例函数解析式为 ，
当y≥30时， ，解得：x≤30，
∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出一次
函数和反比例函数的解析式．
26．如图，反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于 、 两点．
(1)则k＝______，b＝______，n＝______．
(2)观察图像，请直接写出满足 的取值范围．
(3)若Q为y轴上的一点，使 最小，求点Q的坐标．
【答案】(1)3，4，1
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图像即可求得；（3）作A关于y轴的对称点 ，连
接 ，与y轴的交点即为Q点，此时AQ+BQ的和最小，根据待定系数法求得直线 的解析式，进而即
可求得Q的坐标．（1）
解：∵反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于 、 两点，
∴ ，
∴k=3，b=4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为： ， ；
将点 代入 得
故答案为：3，4，1
（2）
由图像可得：满足 的取值范围是 或
（3）
作A关于y轴的对称点 ，连接 ，如图，
∵ ，
∴A关于y轴的对称点 ．
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得
∴直线 的解析式为 ，令 ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称-最短路线问题，数
形结合是本题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．设反比例函数 ，当x＝p，q，r（ ）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若
，则必有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解析】解：∵a2＞0，
∴反比例函数 图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
由题意可知，p＜0，0＜q＜r或p＜q＜r＜0，
∴P＜0＜R＜Q或0＞P＞Q＞R，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
2．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支于点 ．在点 的运
动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满足（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据等腰直角三角形的性质
得出 ，通过角的计算找出 ，结合“ ， ”可得出
，根据全等三角形的性质，可得出 ，进而得到 ，进一步得到 ．
【解析】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
由直线 与反比例函数 的对称性可知 、 点关于 点对称，
，
又 ， ，
， ，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
点 ，
， ，
， ，，
点 是反比例函数 图像上，
，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全
等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点 的坐标．
3．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交
于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 轴于点 ，交 于点 ．设点A的横坐标为 ．若
，则 的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】作BG丄x轴于G点，设A(m， )，B(n， )，由反比例函数k的几何意义可知，
S AO =S BOG= |k|=2，由S OAF+S EFBC=4，得S BGC=2S OEF，又由 OEF∽△OGB列比例式
E 四边形
△ △ △ △ △ △
把EF用含m、n的式子表示出来，再代入S BGC=2S OEF，化简后即可求出m的值．
△ △【解析】
作BG丄x轴于G点，
设A(m， )，B(n， )，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，
∴∠BCG=45º
∴∠CBG=45º
∴GB=CB=
∵AE丄x轴，
∴OE=m，
∵A、B两点都在 上，
由k的几何意义可知
S AOE=S BOG= ，
△ △
∵S OAF+S EFBC=4，
四边形
△
即S OAE-S OEF+S OBG-S OEF+S BCG=4，
△ △ △ △ △
2-2S OEF+2+S BCG=4，
△ △
∴S BCG=2S OEF，
△ △
由 轴，BG丄x轴，
得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
，
∵m＞0，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图像的交点，反比例函数k的几何意义，利用面积法求参数的
值．熟练掌握设参数法解题是解答本题的关键．
4．已知反比例函数y= 和正比例函数y= 的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若 PMN为锐角
△
三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m＜ 且m≠0 B．- ＜m＜ 且m≠0
C．- ＜m＜- 或 ＜m＜ D．-2＜m＜- 或 ＜m＜2
【答案】C
【分析】将两个函数联立求解可确定点M、N的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解
即可得出取值范围．
【解析】解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组 ，
即 ，
解得 ， ，
假设M(2,1)，N(-2,-1)，当 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ,
∴ ，
当 时， ,
∴ ，
综上， 或 ．
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的
性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．
5．已知函数 与函数 的部分图像如图所示，有以下结论：
①当 时， ， 都随x的增大而增大；
②当 时， ；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数 的最小值是2．则下列结论正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】补全函数图像，根据图像即可判断．
【解析】解：补全函数图像，如图所示：
①当 时， 随x的增大而减小， 随x的增大而增大，故①错误；
②当 时， ，故②正确；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 的最小值是2，故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④，
故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，
数形结合是解决问题的关键．
二、填空题
6．反比例函数 ，当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，则 ______．
【答案】-6
【分析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解析】解：当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴ ，解得k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答．
7．如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 交于点C，过
点C作 轴，垂足为D，且 ，则以下结论：① ；②当 时， ；③
如图，当 时， ；④当 时， 随x的增大而增大， 随x的增大而减小．其中正确结论的
是______．（只填写序号）
【答案】①③④
【分析】：将 ， 分别代入 计算求解 坐标，由 ，计算求解 点坐标，得反比例函数解析式；分别计算两三角形的面积，然后判断①即可；由当 时， ；当
时， ，判断②即可；将 分别代入 ， 中解得 ， ，计算后判断
③即可；根据图象的性质，判断④即可．
【解析】解：将 代入 中，解得 ，知
将 代入 中，解得 ，知
∵
∴ ， ，知
将 代入 中，解得 ，知
∵
∴
故①正确；
由图可知：当 时， ；当 时，
故②错误；
将 分别代入 ， 中解得 ，
∴
故③正确；
根据一次函数，反比例函数图象的性质可知当 时， 随x的增大而增大， 随x的增大而减小
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、图象与性质，反比例函数的解析式、图象与性质．解题的
关键在于对知识的灵活运用．
8．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直线 与x轴相交于点C，D是线段 上一点．若 ，连接 ，记 ， 的面积分别为 ， ，则
的值为____________．
【答案】4
【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为 ，从而可求出B(3，2)，进而可求出直线AB解析式为：
y=−2x+8．再由直线AB解析式可求出C点坐标，即由三角形面积公式可求出 的值．又易证
，从而可证 ，得出 ，即由三角形面积公式可求出 的值，从而由
求出 ，最后计算 即可．
【解析】解：∵A(1，6)在反比例函数图象 上，
∴k=6， 即反比例函数解析式为： ，
∵B(3，b)在反比例函数图象 上，
∴b=2， 即B(3，2)．
设直线AB为： ，
∴ ， 解得： ，∴直线AB解析式为：y=−2x+8．
∴ 对于y=−2x+8，当y=0时，即−2x+8=0，
解得：x=4，
∴C(4，0)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题为反比例函数综合题．涉及利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，三角形相似的
判定和性质，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
三、解答题
9．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，
此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需
要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1） ；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=kx，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取
1
值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y= ，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于
或等于10就有效．
【解析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=kx（k＞0）代入（8，6）为6=8k
1 1 1
∴k=
1
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= （k＞0）代入（8，6）为6= ，
2
∴k=48
2
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 （0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为 （x
＞8）
∴
（2）结合实际，令 中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入 ，得：x=4把y=3代入 ，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1） ；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，点 ， 均在 上，点 的横坐标为 ，点
的横坐标为 ，反比例函数 的图像 经过点 ．
(1)若 ，
①求 的解析式
②判断 是否经过点 ，并说明理由．
(2)若 经过点 ，求 的值．
【答案】(1)① ；② 不经过点 ，理由见解析
(2)
【分析】（1）①把 代入 得 ，求得 ，代入 即可得到结论；②把 代入 得到 ，再把把 代入 的解析式求得函数值，再和 作比较，即可得到结
论；
（2）根据题意设出P和Q的坐标，根据两点在L上得出方程，然后解方程即可得到结论．
（1）
解：①∵ ，点 在直线 的图像上，点 的横坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵反比例函数 的图像 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的解析式为 ；
② 不经过点 ，理由如下：
∵ ，点 在直线 的图像上，点 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ 不经过点 ．
（2）
∵点 ， 均在直线 的图像上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴ ， ，
∵ 的图像经过点 ，点 ，
∴ ，解得： ．
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，一次函数点的坐标特征，反比
例函数点的坐标特征．正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
11．如图，过C点的直线y=- x-2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC=AB，过点C作CH⊥x轴，垂
足为点H，交反比例函数y= （x＞0）的图象于点D，连接OD， ODH的面积为6．
△
(1)求k值和点D的坐标；
(2)如图，连接BD，OC，点E在直线y=- x-2上，且位于第二象限内，若 BDE的面积是 OCD面积的2
△ △
倍，求点E的坐标．
【答案】(1)k=12，点D坐标为（4，3）；
(2)点E的坐标为（-8，2）．
【分析】（1）设点D坐标为（m，n），由 ODH的面积为6，即可判断mn=12，得到k的值，由直线解
析式求得A的坐标，然后根据平行线分线段△成比例定理求得点D的横坐标，代入反比例函数解析式即可求
得纵坐标；
（2）由同底等高三角形相等得出 ，即可得出 ，从而得到 CD•EF=3×
CD•OH，求得EF=12，进而求得E的横坐标为-8，代入y=- x-2即可求得坐标．
（1）解：设点D坐标为（m，n），由题意得 OH•DH= mn=6，
∴mn=12，
∵点D在y= 的图象上，
∴k=mn=12，
∵直线y=- x-2的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（-4，0），
∵CD⊥x轴，
∴CH y轴，
∴ =1，
∴OH=AO=4，
∴点D的横坐标为4．
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
∴点D坐标为（4，3）；
（2）
解：由（1）知CD y轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，∵ = CD•EF， = CD•OH，
∴ CD•EF=3× CD•OH，
∴EF=3OH=12．
∴EM=8，
∴点E的横坐标为-8，
∵点E在直线y=- x-2上，
∴点E的坐标为（-8，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图形上点的坐标特征，反比例函数图象上点
的坐标特征，三角形的面积等，求得点的坐标是解题的关键．
12．某“数学兴趣小组”对函数y 的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完整．
(1)绘制函数图象：
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ．
… ﹣
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 0.5 1 3 3.5 4 5 6 n 8 ……
… 2
…
y 1 1.2 1.5 2 3 m 6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 ……
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ．
【答案】(1)4，7，图见解析
(2)①关于直线x＝2对称；②当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小
【分析】（1）求出x＝0.5时的函数值，求得函数值为1.2时的x的值即可求得m、n的值，然后利用描点
法画出函数图象即可；
（2）结合图象写出两个性质即可．
(1)
解：当x＝0.5时，y 4，
当y＝1.2时，1.2 ，则x＝﹣3或x＝7，
故m＝4，n＝7，
故答案为4，7．
函数图象如图所示：(2)
解：①关于直线x＝2对称，②当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，理解题意,利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
13．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯 ，约 把
∠
三等分的操作如下：
（1）以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 的图像，图像与 的边 交于点 ；
（3）以点 为圆心， 为半径作弧，交函数 的图像于点 ；
（4）分别过点 和 作 轴和 轴的平行线，两线交于点 ， ；
（5）作射线 ，交 于点 ，得到 ．(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)证明： 、 、 三点共线；
(3)证明： ．
【答案】(1)四边形 是矩形，证明见解析
(2) 、 、 三点共线，证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形 是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线 的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得 ，可得 ，由 ，可求
，可得结论．
（1）
证明： 轴， 轴， 轴， 轴，
， ，
四边形 是平行四边形，
轴 轴， 轴， 轴，
，
四边形 是矩形；
（2）
解：设点 ，点 ，
点 ，点 ，
直线 的解析式为： ，当 时， ，
点 在直线 上，即 、 、 三点共线；
（3）
解： 、 、 三点共线，
四边形 是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的
性质等知识点，证明四边形 是矩形是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2021·湖北随州·一模）已知一次 的图象与反比例函数 的图象相交．
(1)判断 是否经过点 ．
(2)若 的图象过点 ，且 ．
①求 的函数表达式．
②当 时，比较 ， 的大小．
【答案】(1)过(2)① ；②当 时， ，当 时， ，当 时，
【分析】（1）根据 ，把点 代入反比例函数，即可；
（2） 把点 代入 ，得 ，根据 ，解出 和 的值，即可得到 的表
达式；
根据函数图象，即可比较 ， 的大小．
（1）
∵
∴把点 代入反比例函数，得
∴ 经过点 ．
（2）
∵ 的图象过点
∴把点 代入 ，得
又∵
∴解得 ，
∴
∴ 的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当 时， ；当 时， ；当 时， ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，
交点的综合问题．
2．（2021·四川乐山·三模）如图，A、B是双曲线y＝ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂
足为C，连接OA，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若 ADO的面积为1，D为OB的中点．
△
(1)四边形DCEB的面积为 ；
(2)求k的值；
(3)若A、B两点的横坐标恰好是方程x2﹣3x+2＝0的两个不同实根，求点E到直线OA的距离．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到 AOC与 BOE面积相等，进而得到四边形CDBE面积与
AOD面积相等，即可得到结果； △ △
△（2）证明 COD∽△EOB，根据D为OB中点，得到面积之比为1：4，求出 COD面积，得到 BOE面积，
即可确定出△k的值； △ △（3）先根据因式分解法解一元二次方程，确定点A的坐标，根据勾股定理可得OA的长，最后根据三角形
面积公式可得结论．
（1）解：∵A、B是双曲线y＝ 上的两点，AC⊥x轴，BE⊥x轴，∴S AOC＝S BOE，即
△ △
S AOD+S COD＝S COD+S CDBE，∵S AOD＝1，∴S CDBE＝S AOD＝1，故答案为：1；
四边形 四边形
（△2）解：△∵AC⊥x轴△，BE⊥x轴，∴AC∥BE，∴△ COD∽△EOB，∵D为OB中△点，∴C是OE的中点，
△
∴CD＝ BE，∴S COD：S BOE＝1：4，∴S COD：S CDBE＝1：3，∴S DOC＝ ，∴S BOE
四边形
△ △ △ △ △
＝ ，∴k＝ ；
（3）解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x＝1，x＝2，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标
1 2
为2，当x＝1时，y＝ ，∴A（1， ），∴OA＝ ，连接AE，设点E到OA的距离为
h，∴S OAE＝ ＝ AO•h，∴h＝ ，即点E到直线OA的距离是 ．
△
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的判定
和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
3．（2022·浙江丽水·一模）同心守“沪”，抗击疫情！我市医护人员分批出征她援上海．丽水到上海行独
里程为400千米记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．(1)求v关于t的函数表达式；
(2)人民医院医疗队上午8点搭乘汽车从丽水出发．医疗队需在当天12点30分至14点（含12点30分和14
点）间到达上海，求汽车行驶速度v的范围．
(3)医疗队能否在当天11点20分前到达上海？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)医疗队不能在当天11点20分前到达上海，理由见解析
【分析】（1）由速度 路程 时间即可得出结果；
（2）8点到12点30分时间长为 小时，8点到14点时间长是 小时，将它们分别代入v关于t的函数表
达式，即可得汽车行驶速度v的范围；
（3）8点到11点20分时间长为 小时，将其代入v关于t的函数表达式，得到的速度与最大速度进行比
较即可．
（1）
解： ，汽车行驶速度不超过100千米/小时，
v关于t的函数表达式为： ；
（2）
8点到12点30分时间长为 小时，8点到14点时间长是 小时，
将 代入 得 ；
将 代入 得 ；
汽车行驶速度v的范围为： ；
（3）
医疗队不能在当天11点20分前到达上海，理由如下：
8点到11点20分时间长为 小时，
将 代入 得 100千米/小时，故医疗队不能在当天11点20分前到达上海．
【点睛】本题考查了反比例函数在行程问题中的应用，根据时间、速度、路程的关系可以求解，难度不大．
4．（2021·四川成都·三模）如图，已知A（-4， ），B（﹣1，a）是一次函数 与反比例函数
（m≠0，x＜0）图像的两个交点，AC⊥ 轴于C，BD⊥ 轴于D
(1)求m、a的值及一次函数表达式；
(2)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】(1)m＝﹣2，a＝2，
(2)
【分析】（1）把A、B的坐标分别代入函数表达式，即可得到答案．
（2）首先设P点的坐标为（m，n），然后分别用m、n表示出△ACP和△BDP的面积，根据题意列出等
式，又因为点P在函数 上，将P点坐标代入小问1中求得的函数表达式中，解关于m、n的二元
一次方程组即可得到答案．
（1）
解：∵反比例函数 图像经过A（-4， ），B（﹣1，a）
∴解得
∵一次函数 经过点A（-4， ）
∴ = ×（-4）+b
∴b=
∴一次函数表达式为
（2）
解：设P点坐标为（-m，n），过P作AC、BD的垂线，分别交于F、E；
由上知：A（-4， ），B（-1,2）
∴AC= ，OC=4，BD=1，OD=2
∴PF=4-m，PE=2-n
∴ ，
∵ ，点P在一次函数 上
∴解得
∴P点坐标为（- ， ）
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像和解析式，涉及到二元一次方程、三角形的面积、平面
直角坐标系等相关知识，掌握并熟练使用相关知识、精准识图、注意在解题过程中需注意的事项是本题的
解题关键．
5．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，
古希腊数学家帕普斯 ，约 把 三等分的操作如下：
∠
（1）以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 的图像，图像与 的边 交于点 ；
（3）以点 为圆心， 为半径作弧，交函数 的图像于点 ；
（4）分别过点 和 作 轴和 轴的平行线，两线交于点 ， ；
（5）作射线 ，交 于点 ，得到 ．
(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)证明： 、 、 三点共线；
(3)证明： ．
【答案】(1)四边形 是矩形，证明见解析
(2) 、 、 三点共线，证明见解析(3) ，证明见解析
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形 是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线 的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得 ，可得 ，由 ，可求
，可得结论．
（1）
证明： 轴， 轴， 轴， 轴，
， ，
四边形 是平行四边形，
轴 轴， 轴， 轴，
，
四边形 是矩形；
（2）
解：设点 ，点 ，
点 ，点 ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
点 在直线 上，即 、 、 三点共线；
（3）
解： 、 、 三点共线，
四边形 是矩形，
，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的
性质等知识点，证明四边形 是矩形是解题的关键．
