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第 37 课 反比例函数 单元综合检测
一、单选题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义：y＝ （k≠0）进行判断可得答案．
【解析】A选项：不是反比例函数，故A错误；
B选项：y=x-1即为y= ,故是反比例函数，故B正确；
C选项：y不是x反比例函数，故C错误；
D选项：不是反比例函数，故D错误；
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝ （k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数的图象不经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可求反比例函数解析式 ，将x=3，1，-1代入解析式可求函数值y的值，即可求函
数的图象不经过的点．
【解析】因为反比例函数 的图象经过点 ，
所以 ，
所以反比例函数的表达式为 ，
所以当 时， ，
所以点 不在此反比例函数的图象上.
故选A.【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是本
题的关键．
3．对于三个反比例函数 ， ， ，下列说法错误的是（ ）
A．它们的图象都在相同的象限内 B．它们的自变量x的取值范围相同
C．它们的图象都不与坐标轴相交 D．它们图象的两个分支都分别关于原点对称
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质对各函数作出正确判断后再解答．
【解析】反比例函数 ， 的图象都在第一、三象限， 的图象在第二、四象限，故A中的
说法错误.
故选A.
【点睛】考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图
象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个
象限，y随x的增大而增大．
4．反比例函数y= 与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】反比例函数 ，当k>0时,函数图像在第一,三象限,当k<0时，函数图像在第二,四象限；
【解析】解： A．由反比例函数图象知k>0，与一次函数图象k<0矛盾，A不正确；
B．由反比例函数图象知k<0，与一次函数图象k<0一致，而一次函数与y轴交于负半轴，得-k+2<0解得
k>2,与 k<0矛盾，B不正确；C．由反比例函数图象知k<0,与一次函数图象k>0矛盾，C不正确；
D．由反比例函数图象知k>0，一次函数图象k>0而一次函数与y轴交于正半轴，得-k+2>0解得k<2所以
0
【分析】由π＞0可知函数图象过一三象限，并且在第一象限y随x增大而减小，问题得解.
【解析】解：∵π＞0，
∴反比例函数 的图象过一三象限，并且在第一象限y随x增大而减小，
∵1＜2，
∴y＞y，
1 2
故答案为＞.
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，关键是掌握反比例函数 （k≠0），①k＞0，反比例函
数图象在一、三象限；②k＜0，反比例函数图象在二、四象限内．
13．若反比例函数y=（m+1） 的图象在第二、四象限，m的值为________
【答案】
【分析】首先根据反比例函数定义可得2-m2=-1，且m+1≠0，求出m的值，再根据图象在第二、四象限可
得m+1＜0，进而确定m的值．
【解析】解：由题意得：2-m2=-1，且m+1≠0，
解得：m=± ，
∵图象在第二、四象限，
∴m+1＜0，
解得：m＜-1，
∴m=- ，
故答案为- ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义以及性质，重点是将一般式y= （k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）
的形式．
14．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5，求y与x
之间的函数关系式_______________．【答案】
【解析】由题意设
则
将 时, 和 时, 代入得：
解得：
故 与 之间的函数关系为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数定义的应用，熟记函数定义是解题关键．
15．如图，点P在双曲线 （k≠0）上，点 (1，2)与点P关于y轴对称，则此双曲线的解析式为
_____．
【答案】y= ．
【解析】∵点P′（1，2）与点P关于y轴对称，
则P的坐标是（-1，2），
∴点（-1，2）在双曲线 上，
代入得到：2=-k，则k=-2，
则此双曲线的解析式为 ．16．已知反比例函数 在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为 轴正半轴上一点，连
接AO、AB，且AO=AB，则 =_______．
【答案】6
【分析】根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S AOB即可．
△
【解析】过点A作AC⊥OB于点C，
∵AO=AB，
∴CO=BC，
∵点A在 的图象上，
∴ AC×CO=3，
∴ AC×BC=3，
∴S AOB=6．
△
故答案为：6．
17．如图，直线y=mx（m为常数，且m≠0）与双曲线y= （k为常数，且k≠0）相交于A（﹣2，6），
B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则 ABC的面积为________．
△【答案】12
【分析】因为直线与双曲线的交点坐标就是直线解析式与双曲线的解析式联立而成的方程组的解，故求出
直线解析式与双曲线的解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及
坐标的意义求解．
【解析】解：∵直线y=mx（m为常数，且m≠0）与双曲线y= （k为常数，且k≠0）相交于A（-2，
6），
∴-2m=6，6= ，
∴m=-3，k=-12，
∴直线的解析式为：y=-3x，双曲线的解析式为：y=-
解方程组 得： ， ，
则点A的坐标为（-2，6），点B的坐标为（2，-6）
∴点C的坐标为（2，0）
∴S = ×6×（2+2）=12；
ABC
△
故答案为12．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是理解函数的图象的交点与两函数解析式
之间的关系．
18．如图，在Rt OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线 经过边OB上
△
一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为_____．【答案】
【分析】作DF⊥OA于F，易证得△DOF∽△BOA，得到 ，求得m的值，即可求得D的坐标，代入y
＝ ，求得k的值，得到解析式，把x＝6代入解析式即可求得E的坐标．
【解析】解：作DF⊥OA于F，
∵点D(4，m)，
∴OF＝4，DF＝m，
∵∠OAB＝90°，
∴DF//AB，
∴△DOF∽△BOA，
∴ ＝ ，
∵OA＝6，AB＝4，
∴ ，
∴m＝ ，
∴D(4， )，
∵双曲线y＝ 经过点D，
∴k＝4× ＝ ，
∴双曲线为y＝ ，
把x＝6代入得y＝ ＝ ，∴E(6， )，
故答案为(6， )．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图像上点的坐标特征，根据待定系数法求出反
比例函数的解析式是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点
C，与y轴交于点B， 的面积是6.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当 时，比较 与 的大小.
【答案】（1） ， ；（2）当 或 时， ，当 时， ，当
或 时， .
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数的表达式；根据
△AOB的面积求出OB的长，进而得到点B的坐标，利用待定系数法即可得到一次函数的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，然后根据数形结合的思想的即可解答本题．
【解析】解：（1）将点 代入 中，得 ，∴反比例函数的表达式为 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
将 ， ，代入 中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 .
（2）由 ，
解得 或 ，
∴点C的坐标为 ）.
∴当 或 时， ，
当 时， ，
当 或 时， ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答．
20．已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点B（－1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．
【答案】（1）这个函数的解析式为： ；（2）点C在函数图象上，理由见解析；（3），－6＜y＜－
2．
【分析】（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值；
（2）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；
（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
【解析】解：（1）∵反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得 ，解得，k=6．
∴这个函数的解析式为： ．
（2）∵反比例函数解析式 ，
∴6=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（－1）×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上；
3×2=6，则点C在函数图象上．
（3）∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小．
∵当x=－3时，y=－2，当x=－1时，y=－6，
∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2．
21．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进
行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造
时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃．
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？【答案】(1）锻造时的函数关系式为 ；煅烧时的函数关系式为 ；(2) 4
分钟
【分析】（1）根据题意，材料煅烧时，温度 与时间 成一次函数关系，煅烧结束时，温度 与 时间成
反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）把 代入 中，求解得出答案即可．
【解析】解：（1）停止加热时，设 ，
由题意得 ，解得 ，
当 时， ，
解得 ，
点B的坐标为（6，800）；
材料加热时，设 ，
由题意得 ，
解得 ．
材料加热时， 与 的函数关系式为 ，
停止加热进行锻造时 与 的函数关系式为： ．
（2）把 代入 中，
得
分钟．
故锻造的操作时间为4分钟．【点睛】考点：反比例函数的应用．
22．已知，直角三角形ABC如图所示放置， ， ， ，反比例函数 经过点
.
（1）求点A，B的坐标及m的值；
（2）求反比例函数及直线AB的表达式；
（3）将直线AB上下移动a个单位长度后，与反比例函数的图象只有唯一一个交点，求a的值
【答案】（1） ， ， ；（2） ， ；（3） .
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，根据点C的坐标得出CE的长，在Rt△BCE中根据勾股定理求出
BE的长，然后证得△AOB∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出OB，由勾股定理求得OA，即
可得出问题的答案；
（2）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式；
（3）设出直线AB上下移动a个单位长度后的表达式，然后与反比例函数表达式联立，得出一元二次方程，
然后根据一元二次方程的判别式即可求出a的值．
【解析】（1）过点C作 轴于点E，则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
，
∴ ， ， .
（2）将 代人反比例函数 中，
得 ，
解得 ，
即 ，
设直线AB的表达式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
即 .
（3）直线AB上下平移a个单位长度后，得 ，∵平移后的直线与反比例函数 的图象只有唯一一个交点，
∴方程 ，即 只有一个根，
∴ ，
解得 .
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，主要用到的知识点有相似三角形的判定与性质，待定系
数法求函数的解析式，一次函数图象的移动问题，一元二次方程的根的判别式，作出辅助线得出相似三角
形是解决（1）的关键，利用待定系数法是解决（2）的关键，把直线与双曲线交点问题转化为一元二次方
程的根的问题是解决（3）的 关键．
23．如图，已知反比例函数 （x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞
1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：∆ACB∽∆NOM；
（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ， .
【分析】（1）把 A 点坐标代入 可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则 ，再根据反比例函数 解
析式可得 =n，则 ，而 ，可得 ，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得ACB∽△NOM；
△（3）根据 ACB 与 NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定
系数法求出△AB的解析△式即可．
【解析】（1）∵ （x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）∵点 A（1，4），点 B（m，n），
∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，
∴ ，
∵B（m，n）在y= 上，
∴ =n，
∴ ，而 ，
∴ ，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB 与 NOM 的相似比为 2，
∴m-1=2，m=3， △
∴B（3， ），
设AB所在直线解析式为 y=kx+b，
∴ ，
解得，
∴AB的解析式为y=- x+ ．【点睛】考点：反比例函数综合题．
24．已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A 、B 两点，连结
AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）反比例函数关系式为y=− ，一次函数关系式为y=−3x−2；（2）C(0, )或（0， ）或
（0，1）或（0，2）.
【分析】（1）将点A（-1，a）、B（ ，-3）代入反比例函数y= 中得：-3× =（-1）×a=k ，可求k、
1 1
a；再将点A（-1，a）、B（ ，-3）代入y=kx+m中，列方程组求k、m即可；
2 2 2
（2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．
【解析】(1)∵反比例函数y= 的图象经过B( ,−3)，
∴k=3× ×(−3)=−3，
1
∵反比例函数y= 的图象经过点A(−1,a)，
∴a=1.
由直线y=kx+m过点A，B得：
2 2
，解得
∴反比例函数关系式为y=− ，一次函数关系式为y=−3x−2；
(2)点C在y轴上,且与点A. O构成等腰三角形,点C的坐标为：(0,− )或(0, )或(0,2)或(0,1).
如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个；
以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个；
以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个.
以上四个点为所求.
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y=﹣ x+ 与边AB，BC
分别相交于点M，N，函数y= （x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y= （x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═ （x＞0）的图象仅有一个交
点时，求直线M'N′的解析式．【答案】（1）说明见解析；（2）直线M'N′的解析式为y=﹣ x+2．
【解析】【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵
坐标为2，把x=4代入y=﹣ x+ ，得y= ，可求点M的坐标为（4， ），把y=2代入y=﹣ x+ ，得
x=1，可求点N的坐标为（1，2），由函数y= （x＞0）的图象过点M，根据待定系数法可求出函数y=
（x＞0）的解析式，把N（1，2）代入y= ，即可作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣ x+b，由 得x2﹣2bx+4=0，再根据判别式即可求解．
【解析】（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x=4代入y=﹣ x+ ，得y= ，
∴点M的坐标为（4， ），
把y=2代入y=﹣ x+ ，得x=1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y= （x＞0）的图象过点M，
∴k=4× =2，
∴y= （x＞0），
把N（1，2）代入y= ，得2=2，
∴点N也在函数y= （x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣ x+b，由 得x2﹣2bx+4=0，
∵直线y=﹣ x+b与函数y= （x＞0）的图象仅有一个交点，
∴ =（﹣2b）2﹣4×4=0，
解△得b=2，b
2
=﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y=﹣ x+2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，直线与双曲线的交点等，综合性较强，
弄清题意熟练掌握和灵活运用反比例函数的相关知识进行解题是关键.
26．如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数 的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的
坐标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的
平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)点P坐标为（ +1， ﹣1）或（1﹣ ，﹣1﹣ ）
(3)存在，点G的坐标为（﹣4，﹣2）或（﹣8，﹣2）或（ ，14）或（﹣ ，14）或（8，14）或（ ，
﹣2）
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；
（3）由平行四边形的面积为16，可求点Q坐标，再分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
（1）
∵OC=2，OB=6，
∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数 的图象过点A，
∴k=2×6=12；
（2）
∵k=12，
∴反比例函数解析式为： ，
设 ，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，
∴ ，
解得 （舍去）
∴
当点P在第三象限，
∴
解得： （舍去）
∴ ，
综上所述， 或
（3）
设点 的坐标为若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴ 或 或 或 ，
若AB为对角线，
设点G（x,y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB与QG互相平分，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
或 ，
∴ 或
解得 或
∴ 或
综上所述， 或 或 或 或 或
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平
行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
