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专题 4.10 函数与导数真题训练
第一部分：函数
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023年新高考天津数学高考真题）若 ，则 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的定义域为R，且，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高
效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条
件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单
位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知 ， ， ，则下列判断
正确的是（ ）
A． B． C． D．12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函
数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数
的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情
况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据
L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，
则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
17．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且
.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．
C． D．
19．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 是偶函数，则
______.
20．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则
________．
21．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若 是奇函数，则
_____， ______．
第二部分：导数
22．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递
增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
23．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 存在3个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
25．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 在区间
的最小值、最大值分别为（ ）A． B． C． D．
26．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当 时，函数 取得最大值
，则 （ ）
A． B． C． D．1
28．（2022年新高考全国I卷数学真题）
A． B． C． D．
29．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ， ， ．
则（ ）
A． B． C． D．
30．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ，若 为函数
的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
31．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B．
C． D．
32．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在
上单调递增，则a的取值范围是______.
33．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则
a的取值范围是________________．34．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数
（ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是
____________．
35．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ，函数 的
图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，
则 取值范围是_______．
36．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 的定义域为 ，
，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
37．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
_______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
38．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线 在点 处的切线方程为
__________．
39．（2021年全国新高考I卷数学试题）函数 的最小值为______.
40．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为
____________，____________．
41．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线42．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也
有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
43．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
44．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ，曲线
在点 处的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
45．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
46．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．47．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
48．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
49．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
50．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
51．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 和 有相同的
最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
52．（2021年全国新高考II卷数学试题）
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．53．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数 ，已知 是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
54．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
55．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
56．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
57．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
58．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
59．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
60．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
