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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、三角形中线问题
如图在 中， 为 的中点， ，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常
用）
二、角平分线问题
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或
③边与面积的比值：
二、题型精讲精练
【典例1】在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出
，最后利用求模公式即可求 边上的中线 的长.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
由余弦定理及 得：
，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，所以 ，
由（1） ，所以 ，因为 为 边上的中线，
所以 ，所以 （通过平方，将向量转化为数量）
，所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
【典例2】在 中.AB＝2，AC＝ ，BC＝4，D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线，求BD；(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得 ，然后求得 .
（2）利用余弦定理，先求得 ，即可求得 、 ，利用等面积法求得 .
【详解】（1）在 中， ，
因为BD为AC边上的中线，所以 ，
在 中， ，所以 （活用两次余
弦定理）
（2）在 中， ，
由于 ，所以 .
因为BD为 的角平分线，所以 .
由 ，得 （等面积法）
即 ，解得 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 中线问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 边上的中线 的长为 ，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理可得 ，即可求出；
（2）由 平方可得 ，利用基本不等式可得 ，即可求出面积最值.
【详解】解：（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ．
再由余弦定理可得 ，即 ．
因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等，
故 ，则 的最大值为 ．
2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 边上的中线 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得 ，进而得到 ；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得 范围，根据 ，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】（1） ，
，
，又 ， .
（2）由余弦定理得： （当其仅当 时取等号），
， ，
，
，
，即 的最大值为 .
3（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 边中线 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；
（2）根据中线性质可得 ，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.
【详解】（1）由已知可得 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，又 ，所以 ．
（2）因为M为 的中点，所以 ，
则 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，
所以 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角A的值；
（2）若 边上的中线 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得
（2）结合（1）可得 为等腰三角形，在 中利用余弦定理可求 ，从而可求 的面积.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
整理得到 ，
因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 .
（2）因为 ， ，故 ，故 为等腰三角形且 .设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，故 .
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 为 的内角 所对的边，向
量 , ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，且 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理、余弦定理可求出 ；
（2）根据三角形面积公式求出 ，根据平面向量运算律可求出结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
由正弦定理，得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，解得 ，因为 ，则 ，
所以 ， .
6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线， ，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解；
（2）利用 ，分别在△ 和△ 运用余弦定理可得
，再在△ 运用余弦定理得 ，两式联立即可求得 ，最后直接用
三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ , ∴ ,
（2）由已知得 ， ，在△ 中，由余弦定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
又∵ ,
∴ ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
以上两式消去 得 , 解得 或 （舍去），
则 .
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ，
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 边上的中线 长为 ，求 的周长．
【答案】（1） ；（2）6．
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果；
（2）根据 两边平方可得 ，根据余弦定理可得 ，联立求出
和 ，由此可求出 ，则可得三角形的周长.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
根据正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 、 、 是 的三个内角，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 是 边上的中线，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ①，
又因为 ，所以 ，即 ②，
由①②，解得， ， ，
则 ，所以 ，
∴ ，故 的周长为6．
8．（2023·全国·高三专题练习） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 边上的中线 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 ，利用正弦定理转化为 ，再利用
两角和的正弦公式求解；
（2）在 中，由余弦定理得到 ，然后分别在 和 中，利用余弦定理结合
，两式相加得到 ，联立求得c，再利用三角形面积公式求
解.
【详解】（1）解；因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ；
（2）在 中，由余弦定理得 ，
即 ①，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
两式相加得 ②，
由①②得 ，
所以 .9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 中， ， ，
(1)求 ；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得 ，进而有
，由和差角余弦公式得 ，同角平方关系及三角形内角性质求各角大小，
即可得结果；
（2）取 ，应用余弦定理求 ，进而求 的余弦值.
【详解】（1）由题意 ，
又 ，故 ，而 ，
且 ，所以 ，
，所以 或 （舍），
故 ，且 ，则 ， ，故 .
（2）不妨取 ，则 ， ，
.10．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角 所对的边分别为 ，已知
△
.
(1)求 的大小；
(2) 的面积等于 ，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1） 可得 ，化简可求出
，从而得到 的大小；
（2）由 的面积等于 可得 ，利用余弦定理和基本不等式可求出中线AD长最短时AB的边
长.
(1) 可得 ，
即 ，因为
从而 ，而 ，
所以 .
(2) ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，故 .
11．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求边BC的中线AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理结合 ,可得 可得角；
（2）根据余弦定理及 的面积，求得 ，再根据向量关系平方应用数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为 ,所以 ,
可得 ,
又由两角和差正弦公式可得 ,
, ，
所以 ,
.
（2）因为 ,所以 ,
因为余弦定理得 ,又已知 ,
可得 ,即得 .
因为BC的中线AD,可得 ,.
12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C的值；
(2)若 ，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出 ，结合角 为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出 ，利用平面向量的线性运算可得出 ，由平面向量
数量积的运算可得出 ，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得 的取值范围，可
得出 的取值范围，即可得解
【详解】（1）由 ，
，
， ， ， ．
（2） ， ， ，
由余弦定理有： ， ，
所以 ， ，由正弦定理 ， ， ， ，
，
，因为 为锐角三角形，所以 且 ，
则 ， ,则 ， ．
13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在 中，角
的对边分别为 且 ，
(1)求 ；
(2)求 边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得 ，再根据 ，结合向量的相关运算
求解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
且 ，则 ，
由正弦定理 ，其中 为 的外接圆半径，
可得 ，
又因为 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理 ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，即
设 边上的中点为D，
因为 ，则
，
即 ，所以 边上中线长的取值范围为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .【分析】（Ⅰ）首先根据正弦定理，将原等式中的边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，求出 ,
再根据 ，得到 ，最后代入面积公式
（Ⅱ）由 ,得 ，根据上一问的结果可求 ，再根据中线表示向量为
，两边平方后得到结果.
【详解】（Ⅰ） ,由正弦定理可化为：
, ,即 ,
, ,
又 ,
得 , ,即 ，
的面积
（Ⅱ）由 ,得 ，
，又 ，解得： ，
又 ,,
,
即 边上的中线 的长为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得 ，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得 ，由正弦定理可得 ，
，所以 ，结合角的范围，利用三角函数性质可求得
的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理可得 ，又 ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以中线CD长的取值范围为 ．
16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，
且 ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 满足 ，点 满足 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到 ，因为 ，求得 ，进而求
得 ，即可求得 的大小；（2）在 中，由余弦定理求得 ，再由 ，根据向量的数量积的运算公式，求
得 ，再在 中，求得 ，得到 ，进而得到 ，分别在 和
中，求得 ， ，利用余弦定理求得 ，进而求得 的值.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
由正弦定理得 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 .
（2）解：在 中，因为 且 ，
由余弦定理得 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去），
设 ，因为 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，可得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，在 中，可得 ，
所以 ，
在 中，可得 ，
所以 ，
在 中，可得 ，
所以
17．（2023·全国·高三专题练习）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角 的大小；
（2）由面积公式可得 ，再在 和 中，由余弦定理可得 ，最后用完全平方公式可
求 的值，即可求得三角形的周长.
【详解】（1）由已知 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，在 中，因为 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ①，
由（1）知 ，即 ②，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ③，
由①②③，得 ，
所以 ，
所以 的周长 .
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
【答案】(1)
(2) .【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由 ，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三
角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得 ，
即 ，
由正弦定理得
，
，即 ，
.
（2）由余弦定理得： ，则 .
由正弦定理得
所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
则 .中线 长的取值范围是 .
2 . 角平分线问题一、解答题
1．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ．
，角 的角平分线交 于点 ，且 ， ．
(1)求角 的大小；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；
（2）利用面积公式列方程解出线段 的长．
【详解】（1）在 中，由已知 ，可得：
则有： ，
即
又 ，即有 ，
而 ，所以 ．
（2）在 中，由（1）知 ，因为 为角 的角平分线，
则有 ，
由 得：
解得 ，
所以线段 的长为 ．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测） 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
， ， 边上的高为 ，(1)求c的值；
(2)设 是 的角平分线，求 的长.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角形面积公式运算求解；
（2）根据题意可得 ，结合三角形面积公式运算求解.
【详解】（1）由 的面积 ，则 ，
且 ，解得 ，
故c的值为3.
（2）由（1）可得： ，
由题意可得： ，
∵ ，则 ，
即 ，解得 ，
故 的长 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若角 的角平分线 与 交于点 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出 ，即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以根据正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）由 ，
得 ，解得 ，所以 的面积为
.
4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， 且满足
.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，点 在边 上， 是 的角平分线，且 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面积公式，先求 ，再利用余弦定理求 即可.
【详解】（1） ，
，
由正弦定理得 ，
，
又 ， .（2）
，
，
，
由题意知 ，
，
，
，
，
，故 .
的周长为 .
5．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得 ，利用余
弦定理得 和基本不等式可得 ，根据面积得 ，整理分析．
【详解】（1）由正弦定理得 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 .
由余弦定理得 ，得 （当且仅当 时，等号成立），即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .故 的最小值为 .
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小，
(2)若 ，角 的角平分线交 于 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意和三角函数的基本关系式化简得 ，利用正弦定理和余弦定理，得到 ，即可求解；
（2）由 的角平分线 将 分为 和 ，得到 ，化简得到 ，
又由余弦定理得到 ，联立求得 的值，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，
由三角函数的基本关系式，可得
由正弦定理和 ，
即 ，
又由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）解：由 的角平分线 将 分为 和 ，如图所示，
可得 ，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，
即 ，整理得 ，即 ，
又由 ，可得 ，即 ，
又由 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
， ， ， 外接圆面积为 .
(1)求 ；
(2)若 为角 的角平分线，交 于 点，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，角化边可得 与 的关系，由 和外接圆半径可得 ，再由余弦定理即可解
得 ；
（2）使用等面积法建立方程，求解 即可.
【详解】（1）由已知，∵ ，
∴由正弦定理得 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，即 .
设 外接圆半径为 ，则 外接圆面积 ，∴ ，
∴由正弦定理， 得， ，
∵ ，∴ 或 .
当 时，由余弦定理 ，∴ ，
解得 ，∴ （舍）；当 时，由余弦定理 ，∴ ，
解得 ，∴ .
综上所述， .
（2）
由第（1）问知， ，若 为角 的角平分线，则 ，
如图，设 ， ， 的面积分别为 ， ， ，
则 ，
∴
∴ ，
∴解得， .
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 是 的角平分线，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出边 的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式
及面积关系 ，建立关于 边的关系式求解即可得到答案【详解】（1）在 中，由余弦定理
整理得
解得 或
由于 ，所以
因为 ，所以 ，所以
由正弦定理得： ，故
（2）设 ，
由 及三角形的面积公式可得：
整理得
在 中，由余弦定理
由 得
则
9．（2023·全国·高三专题练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）从向量角度，以 为基底，表示出 ，再用向量法计算 的模长，即 的长度；
（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出 ， ， 面积，列出等式计算即可求出A的正
弦值，继而求出面积.
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
又∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，即： .
（2）在 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若 ，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面积．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【分析】（1）利用同角关系式可得 或sin ，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得 ，利用角平分线定理及条件可得 ，进而可得 ， ，即得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
解得 或sin ,
当 时， ， ，
所以 ， ；
当 时，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由角平分线定理可知， ，又 ，
所以 ，
由 ，可得 ，∴ ， ，
所以 ．
11．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，
① 的角平分线交 于M，求线段 的长；
②若D是线段 上的点，E是线段 上的点，满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；
（2）①法一：在 与 中根据正弦定理可得 ，再根据 结合数量积
运算求解即可；
法二：根据 ，结合面积公式列式求解即可；
②法一：根据平面向量基本定理可得 ，进而求得范围；
法二：以 所在直线为x轴，过点A垂直于 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解
即可
【详解】（1） ，则 ，故 ，
所以 ，因为 ，
可得 ，由 ，所以 ．（2）①法一：在 与 中，
由正弦定理得 ，
即 ，故 ，
所以 ，
所以
法二：在 中，由 是 的角平分线
所以
由 知：
即 ，解得
②法一：由 ，得
又
所以 ．
的取值范围为 ；
法二：以 所在直线为x轴，过点A垂直于 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由
．则因为 ，
所以 ．
所以
由 ，得 的取值范围为
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角B；
(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即 ，可得 ，结合基本不等式，即可
求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得： ，
又在 中， ,
∴ ，
即 ，
又 ，∴ ,又 ，∴ ，即角B的大小为 .
（2）∵ .
是 的角平分线，而 ，
∴ ，
即 ，∴ .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ,
当且仅当 时取等号，则 ，
即 的面积的最小值为 .
13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到 ，由此得解；
（2）利用三角面积公式推得 ，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
（2）因为 的角平分线交 于点 ，且 ， ，
根据三角形面积公式可得 ，
等式两边同除以 可得 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等式成立，
故 的最小值为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）
cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；
（2）在 和 中，分别运用正弦定理，进而求出 ，然后在 中再次运用正弦定理得到 ，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
【详解】（1）根据题意，由正弦定理可知： ，则
，因为 ，所以
，则 ，而 ，于是 .
（2）由（1）可知， ，在 中，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得： ，
在 中，由正弦定理得： ，
所以 .
在 中，由正弦定理得： ，
所以 .
由基本不等式可得： ，当且仅当 时取“=”.
于是， .即△ABC的面积的最小值为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆面积为 ，求 的最大值；
(3)若 ，且 的角平分线 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得 ，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得 ，进而求得 ，应用余弦定理、基本不等式求 最
值，注意等号成立条件.
（3）利用等面积法得 ，由二倍角余弦公式求 ，即可求结果.
【详解】（1）由题知 ，即 ，
由 ，解得 ．
（2）由外接圆面积为 得外接圆半径 ，
由（1） ，所以 ，由正弦定理得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
化简得 ，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为 ．
（3）因为BD是 的角平分线，则 ，
所以 的面积 ，
所以 ，则 ，
由 ，所以 ，解得 （负值舍去），
综上， ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交AB于D点，且 ．求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理可将 转化为 ，结合角度关系转化得
，即可证得 ；
（2）由 为 的角平分线， ，可得 ，根据 面积公式可求得
，再由三角形 为锐角三角形可得 的范围，由平方公式二倍角公式可得 的值，根据和差公式得 的值，由余弦定理求得 ，再根据正弦定理的 的值即可.
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理 得：
，又 ，
所以 ，整理得 ．
又 ，则 ，即 .
（2）因为 为 的平分线，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得
，所以 ，
由正弦定理 得 .
