文档内容
第 63 讲 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
设圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0)，
1 1 1 1
圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0).
2 2 2 2
方法 代数法：两圆方程联立组成方程
几何法：圆心距d与r ，r 的关系
位置关系 1 2 组的解的情况
外离
外切
相交
内切
内含
2、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)
＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C 是否满足题意，以防丢解)．
1 2 2 2 2 2
1、（2022•新高考Ⅰ）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 ．
1、若圆 与圆 外切，则A． B． C． D． ．
2、圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
3、圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－4)2＝9的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 相离
4、 已知圆C ：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C ：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，则圆C 和圆C 的公共弦所在直
1 2 1 2
线的方程为_______________________________．
考向一 圆与圆的位置关系
例1、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
变式1、（1）已知圆C ：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C ：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为
1 2
________．
（2）已知圆C ：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C ：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1， 则 a2＋b2的最小值为__________．
1 2
变式2、(1)已知两圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线
1 2
方程是____________．
(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切
线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代
数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，
利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考向二 圆与圆的综合问题
例2、（2022·山东临沂·高三期末）已知圆 ： ，圆 ： ， 在圆 上，
在圆 上，则（ ）
A． 的取值范围是 B．直线 是圆 在 点处的切线
C．直线 与圆 相交 D．直线 与圆 相切
变式、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为 ，P是圆C： 上一点，过
P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则 的取值范围为______．
方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的
关系，然后转化为函数的思想进行解决
1、 （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）圆 关于直线 对
称的圆为 ，若圆 和圆 有公共点，则实数 的取值范围为______.
2、（2022·山东枣庄·高三期末）设 与 相交于 两点，则
________．
3、（深圳市罗湖区期末试题）圆 与圆 公共弦长为（
）
A. B.C. D.
4、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）若过点 的圆 与两坐标轴都相切，且与过点
和点 的直线相离，设 为圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心 的坐标为 或
B. 面积的最大值为22
C. 当 最小时，
D. 不存在点 使
5、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）圆M： 关于直线 对称，
记点 ，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点
C． 的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则
