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专题 4.5 相似中的一线三垂直模型
【例题精讲】
【例1】如图，正方形 中，点 在 边上，且 ，若 ， ，求
正方形 的边长．
【解答】解： ， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
正方形 的边长为6．
【例2】如图，在等腰直角 中， ， ，点 、 分别在边 、
上，连接 、 ，有 ．
（1）证明： ．
（2）若 ，当 时，求 的长．【解答】（1）证明： ，
而 ．
，
，
．
（等角的补角相等）．
而 ，
．
故 得证．
（2）解：当 时，
，
，
，
， ，
平分 ，
垂直平分 ，
．
【题组训练】
1．如图，在矩形 中， ， ， 分别在 ， ， 上， ，
， ， ， ，则 的长是A．4 B． C． D．5
【解答】解： ，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
同理可得 ，
，
，
，
，
．
故选： ．
2．如图，在矩形 中，点 是对角线上一点，连接 并延长交 于点 ，过点
作 交 于点 ，若 ， ， ，则A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
， ，
经检验： ， 都是原方程的根， （舍去），
， ，
，
故选： ．
3．如图，四边形 中， ， ， ， ， ，点 为
边上一动点，若 ，则 的长为 1 或 2 ．
【解答】解：设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，，
解得： 或 ，
故答案为：1或2．
4．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点，连接 ，将
沿着 折叠， 点落在 处，若 ，则 的长度是 2 ．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，并延长 交 于点 ，
设 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
由折叠可得：
， ，
，
，
，
，，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
经检验： 是原方程的根，
，
故答案为：2．
5．如图，在等边三角形 中，点 、点 分别在 、 上，且 ．
（1）写出和 相等的角： ；
（2）若 ， ，则 长为 ．
【解答】解：（1） 是等边三角形，， ，
，
，
，
，
和 相等的角： ，
故答案为： ；
（2） ， ，
，
由（1）得： ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
6．如图，点 是矩形 边 上一点，沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处．
设 ，
（1）若点 恰为 边的中点，则 2 ．
（2）设 ，则 关于 的函数表达式是 ．
【解答】解：（1） 点 为 边的中点，
，四边形 是矩形，
， ，
，
由折叠得：
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）由（1）可得 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
9．如图，在正方形 中， 是边 上的点，点 在边 上，且 ，
．
（1）求证： ；（2）若 ，延长 交 的延长线于点 ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
又 ，
，
；
（2）解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
设 ，
，
，
即 ，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
10．如图，正方形 中， 是 上一点（点 不与点 ， 重合），连接 ，作， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，点 为 的中点，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
．
11．如图，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，
，连结 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．【解答】证明：（1）设正方形的边长为 ，则 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
；
（2） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．如图，已知正方形 的边长为8，点 是 上的一动点，过点作 ，交
于点 ，连接 ．
（1）证明： ；
（2）若 的周长与 的周长之比为 ，求 的长．【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，且 ，
；
（2） ，
，
的周长与 的周长之比为 ，
的边长与 的边长之比为 ，
即 ，
，
，
，
，
，
．
13．如图，在正方形 中，点 为 中点，连接 ，过点 做 交 于
点 ．交 延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．【解答】解：（1） 四边形 为正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
，
．
（2） 四边形 为正方形，
．
点 为 中点，
．
．
由（1）知： ，
．
，
．
．
．
．
．．
14．已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点 落在 边上的
点处．如图，已知折痕与边 交于点 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 与 的比为 ，求边 的长．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知， ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
与 的比为 ， ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
，
解得： ，．
15．如图， ， ， 为 上一点， ，连接 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 平分 ，求证： ．
【解答】（1）解： ， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
的长为 ；
（2）证明： 平分 ，
，
，
，
，
，
，．
16．折叠矩形 ，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ．
（1）求证 ；
（2）若 ， ，求矩形 的面积．
【解答】（1）证明：由矩形 可得， ，
．
由折叠得 ．
．
．
；
（2）解： ， ， ，
，
，
由（1）得 ，
，
．
，
矩形 的面积 ．
答：矩形 的面积为80．
17．已知，矩形 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿
直线 翻折得 ．
（1）如图①，点 恰好在 上，求证： ；
（2）如图②，当 时，延长 交边 于点 ，求 的长．【解答】（1）证明：在矩形 中， ．
由折叠可得： ．
，
．
．
在 和 中，
， ．
．
（2）解：过点 作 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图②所示：
则 ， ．
在矩形 中， ．
由折叠可得： ， ， ．
，
．
．
在 和 中，
， ，
．
． ．
．
在 中， ，
，．
解得： ，或 （舍去），
．
．
四边形 是矩形，
， ，
，
，
．
．
18．已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）求证： ；（2）如果 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
， ，
；
（2）解：由（1）证得 ，
，
设 ，则 ，
，
或 ，
或 ．
19．如图，在矩形 中， 是 上的一点，沿 将 对折，点 刚好落在
边的点 上．
（1）求证： ．（2）若 ， ，求 ．
【解答】解：（1）证明： 在矩形 中，沿 将 对折，点 刚好落在 边
的点 上，
，
，
，
，
，
，
又 ，
．
（2） 四边形 为矩形， ， ，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ．
20．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图 1，， 由 ， ， 可 得 ； 又 因 为
，可得 ，进而得到 我们把这个模型称
为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在 中，
， ，点 是 边上的一个动点（不与 、 重合），点 是 边
上的一个动点，且 ．
①求证： ；
②当点 为 中点时，求 的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长．
【解答】（1）解： ，
，
，
故答案为： ；
（2）①证明： ，
，
， ， ，
，
，
；
②解： ，点 为 中点，
，，
，即 ，
解得： ；
（3）解：当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
，不合题意，
；
当 时， ，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为2或 ．
