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专题 4.5 相似中的一线三垂直模型
【例题精讲】
【例1】如图，正方形 中，点 在 边上，且 ，若 ， ，求
正方形 的边长．
【例2】如图，在等腰直角 中， ， ，点 、 分别在边 、
上，连接 、 ，有 ．
（1）证明： ．
（2）若 ，当 时，求 的长．【题组训练】
1．如图，在矩形 中， ， ， 分别在 ， ， 上， ，
， ， ， ，则 的长是
A．4 B． C． D．5
2．如图，在矩形 中，点 是对角线上一点，连接 并延长交 于点 ，过点
作 交 于点 ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．如图，四边形 中， ， ， ， ， ，点 为
边上一动点，若 ，则 的长为 ．
4．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点，连接 ，将
沿着 折叠， 点落在 处，若 ，则 的长度是 ．5．如图，在等边三角形 中，点 、点 分别在 、 上，且 ．
（1）写出和 相等的角： ；
（2）若 ， ，则 长为 ．
6．如图，点 是矩形 边 上一点，沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处．
设 ，
（1）若点 恰为 边的中点，则 ．
（2）设 ，则 关于 的函数表达式是 ．
9．如图，在正方形 中， 是边 上的点，点 在边 上，且 ，
．
（1）求证： ；（2）若 ，延长 交 的延长线于点 ，求 的长．
10．如图，正方形 中， 是 上一点（点 不与点 ， 重合），连接 ，作
， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，点 为 的中点，求 的长．
11．如图，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，
，连结 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．12．如图，已知正方形 的边长为8，点 是 上的一动点，过点作 ，交
于点 ，连接 ．
（1）证明： ；
（2）若 的周长与 的周长之比为 ，求 的长．
13．如图，在正方形 中，点 为 中点，连接 ，过点 做 交 于
点 ．交 延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．14．已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点 落在 边上的
点处．如图，已知折痕与边 交于点 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 与 的比为 ，求边 的长．15．如图， ， ， 为 上一点， ，连接 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 平分 ，求证： ．16．折叠矩形 ，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ．
（1）求证 ；
（2）若 ， ，求矩形 的面积．17．已知，矩形 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿
直线 翻折得 ．
（1）如图①，点 恰好在 上，求证： ；
（2）如图②，当 时，延长 交边 于点 ，求 的长．18．已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．19．如图，在矩形 中， 是 上的一点，沿 将 对折，点 刚好落在
边的点 上．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 ．20．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图 1，
， 由 ， ， 可 得 ； 又 因 为
，可得 ，进而得到 我们把这个模型称
为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在 中，
， ，点 是 边上的一个动点（不与 、 重合），点 是 边
上的一个动点，且 ．
①求证： ；
②当点 为 中点时，求 的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长．
