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专题4.5 因式分解-公式法（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、判断能否用公式法因式分解
1．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A．m2+1 B．m2﹣m+1 C．mx+n D．m2﹣2m+1
2．在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣ a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤ ﹣
mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
类型二、运用平方差公式进行因式分解
4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣m2+4 B．﹣x2–y2
C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2
6．下列多项式：（1）a2＋b2；（2）x2－y2；（3）－m2＋n2；（4）－b2－a2；（5）－a6＋
4，能用平方差公式分解的因式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
类型三、运用完全平方公式进行因式分解
7．多项式 能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．4 B．-4 C．2或-2 D．4或-4
8．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+4 B．x2+6x+9 C．x2﹣2x﹣1 D．a2+ab+b2
类型四、运用公式法综合进行因式分解10．下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列多项式能因式分解的是（ ）
A．x2﹣y B．x2+1 C．x2+y+y2 D．x2﹣2xy+y2
12．下列因式分解不正确的是（ ）
A．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2
B．2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x﹣y）2
C．4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y）
D．x2+4x＝x（x+4）
类型五、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解
13．将（x＋3）2﹣（x﹣1）2因式分解正确的是（ ）
A．8（x﹣1） B．4（2x＋2） C．4（x＋1） D．8（x＋1）
14．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（ ）
A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2
C．b（a2﹣b2） D．b（a2+b2）
二、填空题
类型一、判断能否用公式法因式分解
16．给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ．其中能够因式分解的是：_____________ （填上序号）．
17．下列运算正确的个数有___个．
①分解因式ab2﹣2ab+a的结果是a（b﹣1）2；②（﹣2）0=0；③3 ﹣ =3．
18．分解因式：x2+2xy+y2﹣4=_____．类型二、运用平方差公式进行因式分解
19．当 ， 时，代数式 的值是______．
20．分解因式： ＝________．
21．把多项式2x3﹣8x分解因式的结果是_____．
类型三、运用完全平方公式进行因式分解
22．分解因式 _______．
23．分解因式：ma2﹣2ma+m＝___．
24．分解因式： ＝______．
类型四、运用公式法综合进行因式分解
25．分解因式 ________．
26．分解因式： ________．
27．因式分解： __________．
类型五、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解
28．因式分解： ＝_________．
29．因式分解：2x2－ ＝_________．
30．分解因式： ________．
三、解答题
31．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）32．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
33．（1）分解因式： （2）计算：
．
34．因式分解：
(1) (2)
(3)利用因式分解进行简便计算：
35．把下列多项式分解因式：
(1) ． (2) ．参考答案
1．D
【解析】
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【详解】
解：A．m2+1，不能因式分解，故不合题意；
B．m2-m+1，不能因式分解，故不合题意；
C．mx+n，不能因式分解，故不合题意；
D．m2-2m+1=(m-1)2，能因式分解，故符合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可．
【详解】
A、 ，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、 ，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C、 ，无法分解因式，故此选项不合题意；
D、 ，无法分解因式，故此选项不合题意．
故选B．
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行
判断即可．【详解】
解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②- a2b2+1=1-( ab)2=(1+ ab)(1- ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤ -mn+m2n2=( -mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是
应用的前提．
4．B
【解析】
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，
且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．
【详解】
A. ，不能使用；
B. ，可以使用平方差公式．；
C. ，不能使用；
D. ，不能使用．
故选B．
【点拨】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)是解答本题的
关键．
5．B
【解析】
【分析】根据平方差公式： 进行逐一求解判断即可．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、 ，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
C、 ，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、 能用平方差公式分解因式，
不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．
6．B
【解析】
【分析】平方差公式： ，根据平方差公式逐一分析可得答案.
【详解】
解：a2＋b2不能用平方差公式分解因式，故（1）不符合题意；
x2－y2能用平方差公式分解因式，故（2）符合题意；
－m2＋n2 能用平方差公式分解因式，故（3）符合题意；
－b2－a2不能用平方差公式分解因式，故（4）不符合题意；
－a6＋4 能用平方差公式分解因式，故（5）符合题意；
所以能用平方差公式分解的因式有3个，
故选B
【点拨】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“ ”是解本题
的关键.
7．C
【解析】
【分析】根据完全平方公式的两种情形求解．
【详解】
∵ 能用完全平方公式分解因式，∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练全面掌握公式是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】B、C选项考虑利用完全平方公式分解，A、D选项两项式考虑利用平方差公式分
解．
【详解】
解：A. 选项A不能用公式法进行因式分解，故选项A符合题意；
B. ，选项B能用公式法进行因式分解，故选项B不符合题意；
C. ，选项C能用公式法进行因式分解，故选项C不符合题意；
D. ，选项D能用公式法进行因式分解，故选项D不符合题
意；
故选A．
【点拨】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
9．B
【解析】
【分析】根据完全平方公式分解因式法解答．
【详解】
解：x2+6x+9＝（x+3）2．
故选：B．
【点拨】此题考查了利用完全平方公式分解因式，掌握该方法分解的多项式的特点：共三
项，其中有两项为平方项，第三项为这两项底数的积的2倍．
10．B
【解析】
【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】A. 不能用公式法分解因式，故错误；
B. ，正确；
C. 不能用公式法分解因式，故错误；
D. 不能用公式法分解因式，故错误；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关
键．
11．D
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式或平方差公式分解因式进而得出答案．
【详解】
解：A、x2﹣y，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、x2+1，无法分解因式，故此选项不合题意；
C、x2+y+y2，无法分解因式，故此选项不合题意；
D、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．B
【解析】
【分析】根据完全平方公式以及因式分解的计算即可求出正确答案．
【详解】
解：A选项，﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x2+2x+1）＝﹣（x+1）2，故A项不符合题意，
B选项，2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x2﹣2xy﹣y2），故B项符合题意，
C选项，4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y），故C项不符合题意，
D选项，x2+4x＝x（x+4），故D项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查因式分解．因式分解方法主要有提公因式法和公式法．
13．D
【解析】
【分析】先用平方差公式分解，再用提公因式分解即可．【详解】
解：原式＝（x+3+x﹣1）（x+3﹣x+1）
＝4（2x+2）
＝8（x+1）．
故选：D．
【点拨】本题考查公式法与提公因式法综合运用．注意：分解因式要分解到每一个因式都
不能再分解为止.
14．C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、 ，原分解错误，不符合题意；
B、 ，原分解错误，不符合题意；
C、 正确，符合题意；
D、 ，原分解错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用平方差公式、完全平方公式分
解因式，熟记公式结构是解题的关键．
15．A
【解析】
【分析】先提公因式b，再利用平方差公式分解因式．
【详解】
解：a2b﹣b3= b（a2﹣b2）= b（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点拨】此题考查了提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关
键．
16．②④⑤⑥
【解析】
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.【详解】
① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
17．1．
【解析】
【详解】
试题分析：①ab2﹣2ab+a=a（b2﹣2b+1）=a（b﹣1）2，故本小题正确；
②（﹣2）0=1，故本小题错误；
③3 ﹣ =2 ，故本小题错误；
综上所述，运算正确的是①共1个．
故答案是1．
考点：1.提公因式法与公式法的综合运用2.零指数幂3.二次根式的加减法．
18．（x+y+2）（x+y﹣2）
【解析】
【详解】
试题解析：x2＋2xy＋y2－4=（ x + y）2-4=（x+y+2)(x+y-2)
19．12
【解析】
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后再代值求解即可．【详解】
解：
=
= ，
把 ， 代入得：原式= ；
故答案为12．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解： ＝ ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．
初中因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法．因式分解必须分解到每个因式都
不能再分解为止．
21．2x（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提取公因式2x，再运用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2），
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
【点拨】本题考查分解因式，能够熟练应用乘法公式进行分解因式是解决本题的关键．
22．
【解析】
【分析】把(x-y)看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握能运用全平方公式分
解的式子的特点．
23．m（a－1）2
【解析】
【分析】先提公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：ma2﹣2ma+m= m（a2﹣2a+1）=m（a－1）2，
故答案为：m（a－1）2．
【点拨】本题考查因式分解、完全平方公式，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的方
法是解答的关键．
24． ##
【解析】
【分析】根据公式法因式分解即可
【详解】
解： ＝
故答案为：
【点拨】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法因式分解是解题的关键．
25．（2x+1-x2）（x+1）2
【解析】
【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：（2x+1）2-x4=（2x+1-x2）（2x+1+x2）=（2x+1-x2）（x+1）2．
故答案为：（2x+1-x2）（x+1）2．
【点拨】本题考查了用公式法进行因式分解，因式分解一定要彻底，本题的易错点是利用
平法差公式分解后，注意2x+1+x2的继续分解．
26．
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】
原式=
= ，
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
27．
【解析】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
28．
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．【详解】
解：
=
= ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了因式分解，综合掌握提公因式法及公式法分解因式是解题的关键．
29．
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】
解：2x2－
＝
＝
故答案为：
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行
因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
30．a（4+a）（4-a）
【解析】
【分析】提公因式a，括号里用平方差公式继续分解．
【详解】
解：16a-a3=a（16- a2）=a（4+a）（4-a），
故答案为：a（4+a）（4-a）．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
31．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，即可求解；
（2）先分组，再利用平方差公式法因式分解，即可求解；
（3）先利用完全平方公式法因式分解，再利用平方差公式法，即可求解；
（4）先将原式化简，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选
用合适的方法进行因式分解是解题的关键．
32．（1） ；（2） ；（3） ；（4）【解析】
【分析】（1）先利用完全平方公式展开，合并同类项，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用整式乘法法则去括号，再合并同类项，然后利用平方差公式分解因式；
（3）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；
（4）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式．
【详解】
解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ ；
（4）原式＝ ．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式、完全平方公式、平方差公式是关键．
33．（1）（a+b）（a-1）2；（2）1
【解析】
【分析】（1）首先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（2）把2018×2020转化为（2019-1）（2019+1），利用平方差公式简便运算．
【详解】
（1）(a+b)−2a(a+b)+a2(a+b)
=（a+b）（a2-2a+1）
=（a+b）（a-1）2；
（2）20192−2018×2020
=20192-（2019-1）（2019+1）
=20192-（20192-1）
= 20192-20192+1
=1．
【点拨】本题考查因式分解和利用乘法公式进行简便运算，因数分解的基本步骤是：一提
二套三检查．
34．(1)(2)
(3)246
【解析】
【分析】（1）先提取公因式3，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式 ，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式1.23，然后利用平方差公式求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：
．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．
35．(1) ；
(2) ．
【解析】【分析】（1）原式符合完全平方公式结构特征，直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）原式直接提取公因式(x-y)，再用平方差公式进行因式分解即可．
解：（1） ，
= ，
；
（2） ，
，
，
．
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
