专题4.5一线三垂直模型（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练

专题 4.5 一线三垂直模型 一．选择题（共5小题） 1．如图， 为线段 上一点， ， ， ， ，则 的长度为 A．12 B．10 C．8 D．6 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 2．如图， ， ， ， ， ， ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解： ， ，， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 故选： ． 3．如图， ， ， ， ，垂足分别是点 、 ， ， ，则 的长是 A．7 B．3 C．5 D．2 【解答】解： ， ， ， ． ， ． 在 和 中， ， ，， ． ． 故选： ． 4．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 在直线 上，过 作 于 ，过 作 于 ．下列给出四个结论：① ；② 与 互余；③ ．其中正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解： ， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ，故①正确； ， ， ， 即 与 互余，故②正确； ， ， ， ， ，故③正确． 故选： ． 5．如图所示， ， ，过点 任意作一直线 ，且作 ，，经测量 ， ，则 的长为 A． B． C． D． 【解答】解： ，又 ， ， 为直角， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 二．填空题（共1小题） 6．如图，在 中， ， ， 于点 ， 于点 ， 若 ， ，则 5 ． 【解答】解： ， 于点 ， 于点 ， ， ， ， 在 和 中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 三．解答题（共9小题） 7．【问题提出】 （1）已知：如图1， 于点 ， 于点 ，点 在线段 上， 且 ，求证： ． 【问题解决】 （2）如图 2，点 ， ， 在直线 上．点 ， 在 的同侧， ，若 ， ，求 的长． 【解答】（1）证明： 于点 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）解：作 于 ， 于 ，， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 由（1）同理得， ， ， ， ， ． 8．如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ． （1）求证： ； （2）试探究线段 ， ， 之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，； （2）解： ，理由如下： ， ， ， ， ． 9 ． 如 图 ， 在 中 ， ， 、 、 三 点 都 在 直 线 上 ， 并 且 有 ，若 ， ，求 的长． 【解答】解： ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ． ． 10．如图，在 中， ， ， ， 与 相交于点 ， 于点 ，且 平分 ，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以 证明．【解答】解： 、 ， 若选择 ，证明如下： 平分 ， ， ， ， 在 和 中 ， ． 11．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时， 求证：① ； ② ； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出 证明；若不成立，说明理由． 【解答】（1）证明：① ， ． 又 ， ，． ② ， ， ． ． （2） 成立， ．不成立，此时应有 ． 证明： ， ． 又 ， ， ． ， ． ． 12．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，求证： ， ， 的关系； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出 证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【解答】证明：（1） ，理由如下： ， ， ， ， ， 在 与 中， ，； ， ， ， ； （2） 于 ， 于 ． ， ， ． ． 在 和 中， ， ． ， ． ． 13．已知，如图，三角形 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，直线 经过点 ，分别过点 、 作 的垂线，即 ， ， （1）如图1，当 位于点 的右侧时，求证： ； （2）如图2，当 位于点 的左侧时，求证： ； （3）如图3，当 在 的外部时，试猜想 、 、 之间的数量关系，并证明 你的猜想． 【解答】（1）证明： ， ，． ， ， （同角的余角相等）． 在 与 中 ， ． （2）证明： ， ， ． ， ， （同角的余角相等）． 在 与 中 ， ． ， ． 又 ， ． （3） ． 证明： ， ， ． ， ， （同角的余角相等）． 在 与 中， ． ， ． 又 ， ． 14．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图 ①的位置时，说明： ① ；② ； （2）当直线 绕点 旋转到图②的位置时，说明： ； （3）当直线 绕点 旋转到图③的位置时，试问 ， ， 具有怎样的等量关系？ 请直接写出这个等量关系． 【解答】解：（1）①证明： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ． ②证明：由（1）知： ，， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． ， （3） ， 理由： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ．15．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图（1）的位置时， 求证：① ； ② ； （2）当直线 绕点 旋转到图（2）的位置时，求证： ； （3）当直线 绕点 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ， ， 之间的等量 关系． 【解答】解：（1）① ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ； ② ， ， ， ； （2）证明： ， ，， ， 在 和 中， ， ； ， ， ； （3）当 旋转到题图（3）的位置时， ， ， 所满足的等量关系是： ． 理由如下： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ．