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专题 4.4 射影定理
【例题精讲】
【例1】如图，在 中， ，点 在 上，且 ．
（1）求证 ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题组训练】
1．如图，在矩形 中， ．对角线 与 相交于点 ，过点 作 的垂线，交 于点 ， ．则 的值为
A．4 B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．如图，在 中， ， ，垂足为 ， ， ，则
的长为A． B． C． D．2
【解答】解： ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
解得： ，
故选： ．
3．如图所示， 中， 于 ，对于下列中的每一个条件① ；
② ；③ ；④ ．其中一定能判定 是直角
三角形的共有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：①不能，
，
，，
，
无法证明 是直角三角形；
②能，
，则 ，
；
③能，
， ，
，
， ，
，
，
，
；
④能，
，
，
，
．
，
一定是直角三角形．
共有3个．
故选： ．
4．如图， 中， ， 于点 ，下列结论中错误的是
A． B． C． D．【解答】解： ， 于点 ，
， ， ．
故选： ．
5．如图， 是 斜边 上的高， ， ，则 的长为
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：根据射影定理， ，
，
．
故选： ．
6．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长是
A． B．6 C． D．
【解答】解： 如图，在 中， ， ， ， ，
由射影定理得： ，
（舍去负值）．
故选： ．7．已知 是 斜边上的高，则下列各式中不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
可得： 、 都符合题意．
根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得 选项正确；
综上可得： 、 、 选项都正确．
故选： ．
8． 中， 是斜边 上的高， 于 ， ，则
A． B． C． D．以上都不对
【解答】解：在 中， ， ，
，
， ， ，
．
故选： ．
9．如图：在 中， ， 于 ，若 ， ，则
18 ．【解答】解： ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
故答案为：18．
10．如图， 中， ， ， ， ，则 的长为 2
．
【解答】解： 如图，在 中， ， ， ， ，
由射影定理得： ，
（舍去负值）．
故答案是：2．11．如图，若 是 斜边 上的高， ， ，则 的长等于
．
【解答】解： 是 斜边 上的高，
，
，
则 ，
，
，
故答案为： ．
12．如图，在 中， ， 于点 ， ， ，则 的
长是 4 ， 的长是 ．
【解答】解： 在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，， ，
，
，
在 中， ，
故答案为：4， ．
13．如图，在 中， ， ，垂足为点 ，如果 ，
，那么 的长是 ．
【解答】解： ，
，
，
，
，又 ，
，
， ，
，即 ，解得， ，
故答案为： ．
14．如图，在锐角 中， 于 ， 于 ， ， ，
，则 ．
【解答】解： ，
，
，
设 ， ，
，
，
即 ，解得 ，
，
．
故答案为 ．
15．如图，在 中， ， 于 ， ， ，则 的长为
6 ．【解答】解： ， ，
，
，
故答案为：6．
16．如图所示，在矩形 中， 于点 ，对角线 ， 交于 ，且
， ，则 3 ．
【 解 答 】 解 ： 设 ， 因 为 ， 故 ， 根 据 射 影 定 理 ，
，即 ， ；
由 ， ；即 ； ．
17．已知：如图，在矩形 中， 于 ，对角线 、 相交于点 ，且
， ，则 的长度为 1 2 ．
【解答】解：设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，解得 ， ，
故 ．
18．如图， 是 斜边上的高，若 ， ，求 的长．
【解答】解：由射影定理得， ，
则 ．
19．如图， 是直角三角形 斜边上的高
（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】解：（1） 是直角三角形 斜边上的高，
，
；
（2） 是直角三角形 斜边上的高，
，
．
20．如图，在 中， ， 于点 ， ， ．（1）求 的度数；
（2）求 的长及 的面积．
【解答】解：（1） ， 于点 ，
，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
在 中， ，
；
（2） ，
而 ，
，
．
21．如图， 是 斜边 上的高， ， ，求（1） ；（2）
；（3） 的值．
【解答】解：（1）在 中， ，
则 ；
（2） ，
，
；（3） ，
，
，
，
．
22．如图，在 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求证 ；
（2）求 的长．
【解答】解：（1） 中， ，
，
，
，
，
又 ，
；
（2） ，
，
，
，
中， ．23．如图在 中 ， 于 ，则①图中有几个直角三角形？有几
对相似三角形？②若 ， ，则 的长是多少？你能找出图中还有哪些线段可
以作为比例中项吗？说明理由．
【解答】解：① ， ，
， ，
图中有3个直角三角形，分别是 ， ， ，
，
，
，
对相似三角形；
② ，
，
，
；
，
，
，
，
，，
和 以作为比例中项．
25．如图， 中， ， ， ， 于点 ，点 、 分别
在 ， 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长为 ；
（3）若 与 相似，则 的长为 ；
（4） 的最小值为 ；
（5）若 是等腰三角形，则 的长为 ．
【解答】（1）证明： ，
点 、 、 、 四点共圆，
，
，
，
；
（2）解：在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ，
．，
即 ，
，
，
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
当 时，
，
由（1）知， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
，
综上： 或 ，故答案为： 或 ；
（4）解：要使 最小，则 最小，
当 时， 最小，
，
，
的最小值 ，
故答案为： ；
（5）解：当 时，
，
，
，
，
，
，
；
当 时，则点 为 的中点，
，
，
，
由题意知， 不可能等于 ，
综上： 或 ，故答案为： 或 ．
