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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.4以因式分解为载体的材料阅读题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021春•西乡县期末）已知 的三边长 ， ， 满足 ，试判断 的形
状，并说明理由．
【分析】把 进行因式分解，即可解答．
【解析】 为等腰三角形．
，
，
，
，
、 、 是 的三边长，
，
，
，
为等腰三角形．
2．（2021 秋•长沙期末）在 中，角 、 、 所对的边的长分别为 、 、 ，若
且 ．试证明 是等边三角形．
【分析】根据完全平方公式进行变形，然后根据等边三角形的判定即可解决问题．
【解析】证明： ，
，
，在 中，
，
，
， ，
是等腰三角形，
，
是等边三角形．
3．（2020春•新昌县期中）小明家的门锁密码采用教材中介绍的“因式分解法”设置，其原理是：将一个
多项式分解因式，如多项式 可因式分解为 ，当取 ， 时，各个因式的
值是： ， ， ，于是就把“018162”作为一个六位数密码．类似地，小明采
用多项式 产生密码，当 ， 时，写出能够产生的所有密码．
【分析】只需将 进行因式分解成 ，再将 ， 代入即可．
【解析】 ，
， ，
， ， ，
能够产生的密码为：115511或111155或551111．
4．（2021秋•高青县期中）如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到
完全平方公式： ．请你结合以上知识，解答下列问题：
（1）写出图2所示的正方形所表示的数学等式 ．并根据整
式乘法的运算法则，通过计算验证此等式．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，求代数式
的值．
（3）小明同学用图3中 张边长为 的正方形纸片， 张边长为 的正方形纸片， 张边长分别为 ，
的长方形纸片拼出一个面积为 的长方形，求代数式 的值．
【分析】（1）根据正方形的面积 各矩形的面积之和求解即可；
（2）根据（2）中关系式求得结果；
（3）由面积得 ，求解即可．
【解析】（1）正方形的面积可表示为 ；
各个矩形的面积之和 ，
．
计算验证：利用多项式乘法法则计算，
，
故答案为： ；
（2） ，
；
（3）如图是面积为 的长方形．，
， ， ，
，
答： 的值为98．
5．（2021 秋•五华区期末）如图 1，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积 长 宽
， 六 个 小 图 形 面 积 和 为 ： ， 可 得 等 式 ：
．
（1）仿照上面的方法，由图2可得等式 ；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知 ， ，求 的值．
【分析】（1）如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
（2）由等式利用代入法即可求解．
【解析】（1）如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ．
故答案为： ；
（2） ， ，
．
6．（2021春•历下区期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
例如由图①可以得到两数和的平方公式： ．
请解答下列问题：
（1）写出由图②可以得到的数学等式 ． ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若 ， ，求 的值；
（3）小明同学用图③中 个边长为 的正方形， 个宽为 ，长为 的长方形， 个边长为 的正方形，
拼出一个面积为 的长方形，求 的值．
【分析】（1）运用整体图形的面积等于各部分图形面积之和．
（2）由（1）可解决此题．
（3）由 ，得 ，进而解决此题．【解析】（1） ．
故答案为： ．
（2）由（1）可得： ．
， ，
．
（3）由题意得： ．
．
．
， ， ．
．
7．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就
是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程 ，则
， ， 已 知 ， 求 ， 的 值 ， 则 有
， ，解得 ， ，解方程 ，则有
， ，解得 ， ．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值．（3）若 ，求 的值．
（4）若 ， ， 表示 的三边长，且 ，试判断 的形状，并说明理
由．
【分析】熟悉完全平方公式，对每一个多项式如何对比公式配方，形成直接开平方．或者非负数的性质解
多元方程．
【解析】（1）直接配方得 ，解得 ．
（2） ，
，
解得 ， ．
．
（3） ，
，
两边开平方得 ，
或者 ．
（4） ，
，
得到 ，
的形状是等边三角形．
8．（2020春•高州市期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，
例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若 ， ，利用得到的结论，求 的值．
【分析】（1）边长为 的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等．问题可解；
（2）根据多项式乘法法则展开运算即可；
（3）由（1）中得到的结论得到 ，代入已知条件计算即可；
【解析】解解：（1） 边长为 的正方形的面积为： ，
分部分来看的面积为 ，
；
（2）
，
；
（3） ， ，
，的值为30．
9．（2021春•宁波期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式 及 叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，
关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数
式值的最小（或最大）问题．
例如： ，
，
．
则这个代数式 的最小值是 2 ，这时相应的 的值是 ．
【尝试应用】
（2）求代数式 的最小（或最大）值，并写出相应的 的值．
【拓展提高】
（3）将一根长 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方
形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若
没有，请说明理由．
【分析】（1）由题意不难看出其最小值为2，相应的 的值为 ；
（2）根据（1）中的方法，不难求得结果；
（3）可设一段铁丝长为 ，则另一段长为 ，然后列出式子进行求解即可．
【解析】（1） ，
其最小值为2，这时相应的 的值为 ．
故答案为：2， ；
（2） ，，
，
故代数式 的最大值为59，相应的 的值为7，
（3）有最小值，
设一段铁丝长为 ，则另一段长为 ，由题意得：
，
当 ，两个正方形的面积之和有最小值 ．
则另一段铁丝的长度为 ．
10．（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方
式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似
不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式： 的最小值
解：原式
，
当 时， 的值最小，最小值为0，
，
当 时， 的值最小，最小值为1984，
代数式： 的最小值是1984．
例如：分解因式：解：原式
．
（1）分解因式 ；
（2）若 ，求 的最大值；
（3）当 ， 为何值时，代数式 有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）把 化为 的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分
解；
（2）首先把 配方写成 ，根据平方的非负性得 的最大值；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为 的形式，进一步分解因式，
再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【解析】（1）
；
（2），
，
，
的最大值1314；
（3）
，
当 ， 时代数式有最小值，
解得 ， ，最小值为2020．
11．（2020春•高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式 ，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 ，
宽为 ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法 ；
方法 ；
数学等式： ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知 ， ，求 的
值．
【分析】（1）根据图形直接得出长为 ，宽为 ；（2）整体上是一个边长为 的正方形，各个部分的面积和为 ，可得等
式；
（3）将 ，变形为 ，再整
体代入求值即可．
【解析】（1）由图形直观得出，长为： ，宽为 ，
故答案为： ， ；
（2）从总体看是边长为 的正方形，其面积为 ，
各个部分的面积和为 ，
因此有： ，
故答案为： ， ， ，
（3）由 得， ，
， ，
，
．
12．（2018春•巴南区期末）已知 是一个三位自然数，其个位、十位、百位上的数字分别为 、 、 ，
若 ，称 为“中心数”，例如132、583都是“中心数”；交换 的个位和十位数字后所得的新
数记为 ，规定 ．
（1）求 和 的值；
（2）设 是“中心数”，且 的各位数字之和与 的和是12的正整数倍，求 的最大值．
【分析】（1）理解题干中的新定义“中心数”，交换132和583的个位和十位数字后所得的新数为 ，再根据公式 求解即可．
（2）设 的百位数字和个位数字，根据“中心数”的定义可以把 的十位数字表示出来，再根据 的各
位数字之和与 的和是12的正整数倍，从而求出 的百位数字和个位数字，再相加就可以得到十位数字，
利用公式 ，就可以求出 的最大值．
【解析】（1）根据题意，交换132的个位和十位数字所得的新数为123，
，
，其中 ，
，
同理 ，
， ．
（2）设 的百位数字为 ，个位数字为 ，
根据题意，十位数字为 ，
则 可表示为 ，
的各位数字之和与 的和是12的正整数倍，
只需保证 为12的倍数即可
根据题意可知： ， ， ， 都是整数）
为12的整数倍
可以取的值为12，24，36
①当 时，符合题意的解为 或 或 ，
此时 或330或198，
则 分别为246或303或189，
，
，
；
②当 时，
符合题意的解为 或 ，
此时 或 ，
则 分别为549和606，
，
．
③当 时，
符合题意的解为 ，
此时 ，
则 为909，
．
综上所述， 的最大值为 ．
13．（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图
（1）可以用来解释 ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边
长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 ．（以上长度单位：
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为 ；
（2）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）
长之和．
【分析】（1）通过图形即可求得到；
（2）由题意可得 ， ，利用完全平方公式求出 的值，即可求解．
【解析】（1）由图形可知， 表示所有部分面积之和，整体来看面积为： ，
，
故答案为： ；
（2）由题意可知 ， ，所有裁剪线（虚线部分）长之和为： ，
，
，
所有裁剪线（虚线部分）长之和为： ．14．（2021春•叶县期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实
分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．
例如： ．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．
例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写
在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．
交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这
种分解方法叫做十字相乘法．
例如：
分析：
观察得出：两个因式分别为 与
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）③ ．
（2）已知： 、 、 为 的三条边， ，求 的周长．
【分析】（1）①将原式化为 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化
为 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式 的左边变形，再根据偶次方的非负性可
得出 ， ， 的值，然后求和即可得出答案．
【解析】（1）①
；
②
；
③ ；
故答案为： ；
（2） ，
，，
， ， ，
．
的周长为7．
15．（2021秋•南京期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，
如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形
的两条直角边长分别为 、 ，斜边长为 ．
（1）试用图①证明勾股定理；
通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为 的正方体，被如图所
示的分割线分成8块．
（ 2 ） 用 不 同 方 法 计 算 这 个 正 方 体 的 体 积 ， 就 可 以 得 到 一 个 等 式 ， 这 个 等 式 为
；
（3）已知 ， ，利用上面的等式求 值为 ．
【分析】（1）求出阴影部分面积的两种表示，再根据同一图形的面积相等即可得出结论；
（2）求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案；
（3）代入（2）中的等式求出即可．
【解析】证明：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ，
图中阴影部分的面积为 或 ，
，
即 ；解：（2）图形的体积为 或 ，
即 ，
故答案为： ；
（3） ， ， ，
，
解得： ．
故答案为：40．
16．（2019秋•连江县期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些
有用的式子，如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形，拼成一个边长为 的大正方形．
（1）观察图形，从面积的计算可以得到式子 ；
（2）因式分解： ．
（3）若 ， ，求 的值．【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是 3个正方形的面积和6
个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）分组分解得出答案即可；
（3）将已知等式利用完全平方公式进行转化求解 ，可求解 ，再代入计算可求求解．
【解析】（1）这个等式可以为 ；
故答案为： ；
（2）
；
（3） ，，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
．
17．（2021秋•海淀区校级期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数
学家华罗庆先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计
算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
（2）解决问题：如果 ， ，求 的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方
形的面积．
【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．【解析】（1）如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ．
故答案为： ；
（2） ， ，
；
（3）设 ， ，
长方形的两邻边分别是 ， ，
，
，
，
这个长方形的面积 ．
18．（2020春•南海区期末）（1）如图甲，从边长为 的正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板
后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部
分的面积，可以验证因式分解公式成立的是 ；
（2）根据下面四个算式：
；
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（3）用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．
【分析】（1）利用两个图形，分别求出阴影部分的面积，即可得出关系式；
（2）任意写出两个奇数的平方差，右边写出8的倍数的形式即可；
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；任意写一个即可，如： 是8的倍数．
【解析】（1）图甲的阴影部分的面积为： ，图乙平行四边形的底为 ，高为 ，因此面
积为： ，
所以 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；
设较大的奇数为 ，较小的奇数为 ，
则， ，
是2的倍数，
是8的倍数．
19．（2021秋•张店区期中）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余
下的部分拼成如图2所示的长方形．
观察
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
应用计算： ；
拓展
已知 ， ，求 的值．
【分析】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系，可列出关系式．
（2）由 ，可解决问题．
（3）可将 进行因式分解，变形为 ，再将 ， 代入，可解决
此问题．
【解析】观察：
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
故答案为： ；
应用：
；
拓展：；
当 ， 时，原式 ．
20．（2021秋•唐县期末）（1）已知，如图所示的大长方形是由四个不同的小长方形拼成，我们可以用两
种 不 同 的 方 法 表 示 大 长 方 形 的 面 积 ： ① ， ② ， 因 此
．请据此回答下列问题：
Ⅰ．因为：
所以： （因式分解）；
Ⅱ．利用（1）中的结论，我们可以对特殊的二次三项式进行因式分解：
① ；
② ．（请将结果补充出来）
Ⅲ．请利用上述方法将下列多项式分解因式： （写出分解过程）．
（2）先化简，再求值： ，选择一个你喜欢的 的值代入其中，并求值．【分析】（1）Ⅰ通过面积找到代数恒等式，完成分解．
Ⅱ，Ⅲ，可以利用Ⅰ中结论分解．
（2）先进行分式混合运算，再求值．
【解析】（1） ．①，②都表示同一个图形面积，
．
故答案为： ．
． ② ．
故答案为： ．
．
．
（2）
．
由题意， ，
， ．
取 ，原式 ．
21．（2021秋•宽城区校级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的
方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得等式： ；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的正方形，从中你能
发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ， ，求 的值；
（4）如图3，由两个边长分别为 ， 的正方形拼在一起，点 ， ， 在同一直线上，连接 、 ，
若 ， ，则图3中阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（2）用两种方法表示图中正方形的面积即可；
（3）找到三个代数式的关系，整体代入即可求出结果；
（3）先表示阴影部分面积，再求值．
【解析】（1） 图1正方形的面积可以表示为： ，又可以表示为： ，
，
故答案为： ；
（2） 图2正方形的面积可以表示为： ，又可以表示为： ，
，
故答案为： ；（3） ， ， ，
；
（4）
当 ， 时，
，
故答案为：36．
22．（2020•石家庄模拟）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧
数”，如： ， ， ，因此4，12，20这三个数都是“巧数”．
（1）400和2020这两个数是巧数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为 和 （其中 取正整数），由这两个连续偶数构造的巧数是 4的倍数吗？
为什么？（3）求介于50到101之间所有巧数之和．
【分析】（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；
（3）介于50到101之间所有“巧数”中，最小的为： ，列出所有的“巧数”，按照规律求
和即可．
【解析】（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：
因为 ，故400不是“巧数”；
因为 ，故2020是“巧数”；
（2）
为正整数
一定为正整数
一定能被4整除
由这两个连续偶数构造的巧数是4的倍数；
（3）介于50到101之间所有巧数之和为：
．
23．（2019秋•天心区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神
秘数”．
如： ， ， ，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 和 （其中 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4的倍数
吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
【分析】（1）利用神秘数的定义判断即可；
（2）根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用平方差公式化简即可做出判断；
（3）①根据神秘数得定义，只要证明此长方形的周长为两连续偶数的平方差便可；
②面积不为神秘数，用反证法进行说明．
【解析】（1） ，
是神秘数；
2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，
，
神秘数是4的倍数；
（3）①设长方形相邻两边长分别为 和 ， 为正整数），则其周长为：
，
，
此长方形的周长 ，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，
该长方形的周长一定为神秘数；
②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：
长方形的面积为： ，
设两个连续的偶数为 和 ， 为非负整数），
假设此长方形的面积为“神秘数”，则 ，即 ，
，为正整数，
必为偶数，
而 为奇数，
不成立，
假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，
故该长方形的面积不为“神秘数”．
24．（2020春•玄武区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面
积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式： ．
（1）由图2，可得等式 ；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知 ， ，求 的值．
（3）如图3，将两个边长为 、 的正方形拼在一起， ， ， 三点在同一直线上，连接 和 ，
若这两个正方形的边长 、 如图标注，且满足 ， ．请求出阴影部分的面积．
（4）图4中给出了边长分别为 、 的小正方形纸片和两边长分别为 、 的长方形纸片，现有足量的这
三种纸片．
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为 的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并
标注 、 ．
②研究①拼图发现，可以分解因式 ．
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是 3个正方形的面积和6
个 矩 形 的 面 积 ， 另 一 种 是 直 接 利 用 正 方 形 的 面 积 公 式 计 算 ， 可 得 等 式；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用 正方形 的面积 正方形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积求
解．
（4）①依照前面的拼图方法，画出图形便可；
②由图形写出因式分解结果便可．
【解析】（1）由题意得， ，
故答案为， ；
（2） ， ，
；
（3） ， ，
；
（4）①根据题意，作出图形如下：
②由上面图形可知， ．
故答案为 ．
