专题4.4因式分解-公式法（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第3套）

专题4.4 因式分解-公式法（知识讲解） 【学习目标】 1. 能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解； 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯； 4.能运用平方差公式和完全平方公式的因式分解解决实际问题。 【知识要点】 要点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数 （整式）的和与这两个数（整式）的差的积. a b a b （3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 要点二、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . a2 2abb2 a2 2abb2 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数 之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. a b a b （4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 要点三、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点四、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、判断能否用公式法因式分解 1、下列各式中，不能分解因式的是（ ） A．—a2+b2； B．x2+4xy+y2； C．a2— a+ ； D．x2+2x+4． 【答案】D 【分析】应用公式分解时用的公式主要有平方差公式，完全平方公式．分 析各选项看能不能用这两个公式分解以及是否能提取公因式． 解：A、用平方差公式可分解为(b+a)(b−a)，不符合题意； B、用完全平方公式可分解为：( ，不符合题意； C、用完全平方公式可分解为： ，不符合题意 D、不能分解，当中间项为±4x时才可以用完全平方公式分解． 故选：D． 【点拨】本题主要考查应用公式法进行因式分解，在分解过程中主要用到 的有平方差公式和完全平方公式． 举一反三： 【变式1】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2 C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判 断后利用排除法求解．解：A、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题 意； B、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解， 不符合题意； C、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分 解，不符合题意； D、 ，可以利用平方差公式进行分解，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解时，多项 式需满足的结构特征是解题关键． 【变式2】 下列各式能用公式法因式分解的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 解：A、 ，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项 错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项 错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点拨】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点 是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 类型二、运用平方差公式进行因式分解 2、因式分解：(1) ； (2) ． 【答案】(1)4（x＋1）（x－1）(2)（a＋1）2（a－1）2 【分析】（1）提取公因数后利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再结合完全平方公式分解因式； (1) 解：原式=4（x2－1） =4（x＋1）（x－1）； (2)解：原式=（a2＋1＋2a）（a2＋1－2a） =（a＋1）2（a－1）2； 【点拨】本题主要考查平方差公式 和完全平方公式 的灵活运用，熟记公式是解题关键． 举一反三： 【变式1】 【答案】 【分析】将后三项利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即 可． 解： ， ， ， ． 【点拨】此题主要考查了分组分解法因式分解，解题的关键是正确进行分组． 【变式2】 因式分解：(1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据平方差公式进行解答，将（m+n）和 看做整体； （2）根据平方差公式进行解答，将（x2+y2）和 看做整体． (1) 解： == = (2) 解： = = = 【点拨】本题考查了因式分解——公式法，熟悉公式的结构是解题的关键． 类型三、运用完全平方公式进行因式分解 3、把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）先提取公因式 ，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． (1) 解： ； (2) 解： ． 【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 因式分解： ．【答案】 【分析】利用完全平方公式分解即可． 解：（x-y）2+6（x-y）+9=（x-y+3）2． 【点拨】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关 键． 【变式2】 因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点拨】本题主要考了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解 的方法——提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘 法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底． 类型四、运用公式法综合进行因式分解 4、．把下列各式分解因式； （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 解：（1）= ； （2） = = ． 【点拨】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟记公式，掌握分解因式 的方法是解答的关键，注意分解要彻底． 举一反三： 【变式1】 将下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）先提取公因式y，再将括号中的式子利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先将前三项利用完全平方公式进行合并，再与后面的1利用平方差公式进行因式 分解即可； 解：（1） （2） 【点拨】本题主要考查了提取公因式法与公式法以及分组法与公式法的综合运用，考 核学生的计算能力，熟悉平方差公式和完全平方公式的结构特点并能灵活运用是解题的关 键． 【变式2】 分解因式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解． 解：原式 ．【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． 类型五、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解 5、因式分解 (1) (2) 【答案】(1) ；(2) ． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式-1,调整符号，再利用完全平方公式因式分解即可． (1) 解： ； (2 )解： ． 【点拨】本题既考查了对因式分解方法的掌握，解题的关键是正确分解因式． 举一反三： 【变式1】 把下列多项式分解因式 (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）先提公因式 ，再根据平方差公式因式分解即可；（2）先提公因式 ， 再根据完全平方公式因式分解即可 (1) (2) 【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式2】 分解因式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因数－2，再利用完全平方公式分解因式即可．(1) 解： = = ； (2) 解： = = ． 【点拨】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式和公式 法分解因式是解答的关键． 类型六、公式法进行因式分解的应用 6 、 在 中 ， 角 、 、 所 对 的 边 的 长 分 别 为 、 、 ， 若 且 ．试证明 是等边三角形． 【分析】先分别将等式的两边进行因式分解，可得 ，再由 ， 可得 ，然后根据 ，即可求证． 解：证明：∵ ， ∴ ∴ ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ 是等腰三角形， 又∵ ， ∴ 是等边三角形． 【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，等边三角形的判定，熟练掌握多项式的 因式分解方法，等边三角形的判定定理是解题的关键．举一反三： 【变式1】（1）若 ，求 的值． （2）已知a，b，c分别是 的三边长，且满足 ，试确 定 的形状． 【答案】（1）-144 （2）等边三角形 【分析】（1）根据非负性的性质可得 ， ，然后整体代入整理后的代数 式进行求值； （2）利用配方得到 ，再通过非负性得到 、 、 的关系，再判 断 的形状． 解：（1）∵ ∴ ， ∴ ， ∵ ∴原式 （2）∵ ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是等边三角形 【点拨】本题考查了绝对值与平方的非负性、配方法以及因式分解的应用，解题关键 是根据非负性得到条件． 【变式2】求证： 能被7整除． 【分析】把原式提取公因式，计算得到7的倍数，进而得到能被7整除． 解：∵32022-4×32021+10×32020 =32020×（9-12+10） =32013×7，∴32022-4×32021+10×32020能被7整除． 【点拨】本题考查了因式分解的应用，将所求式子提取公因式分解因式是解本题的关 键．