文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.5第4章因式分解单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•郑州期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解析】 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选： ．
2．（2019秋•鹿邑县期末）分解因式 正确的是
A． B．
C． D．
【分析】将式子先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【解析】 ，
故选： ．
3．（2019秋•闵行区期末）下列多项式能用公式法分解因式的有
① ；② ；③ ；④ ；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解析】① ，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
② ，故此选项符合题意；
③ ，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
④ ，故此选项符合题意；
⑤ ，故此选项符合题意；
故选： ．
4．（2021秋•黄骅市期末）将多项式 进行因式分解的结果是
A． B． C． D．
【分析】直接提取公因式 ，进而分解因式得出答案．
【解析】 ．
故选： ．
5．（2021•杭州）因式分解：
A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】
．
故选： ．
6．（2020 秋•泰山区期末）下列各式：① ，② ，③，④ 中，分解因式正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别计算这4个算式即可得到答案．
【解析】① ，不符合题意；
② ，符合题意；
③ ，不符合题意；
④ ，符合题意．
故选： ．
7．（2021春•下城区期中）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】用提公因式法逐个因式分解即可选出正确答案．
【解析】 ，故 错误，
． ，故 错误，
． ，故 错误，
． ，故 正确．
故选： ．
8．（2021•河池模拟）若 ， ，则代数式 的值是
A． B． C．1 D．6
【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而将已知代入求出答案．
【解析】 ， ，．
故选： ．
9．在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形 （如图甲），把余下的部分拼成一个矩形
（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A． B．
C． D．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是 的正方形的面积减去边长是 的小正方形的面积，等于
；第二个图形阴影部分是一个长是 ，宽是 的长方形，面积是 ；这两个图
形的阴影部分的面积相等．
【解析】 图甲中阴影部分的面积 ，图乙中阴影部分的面积 ，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积 ．
故选： ．
10．（2021秋•招远市期中）由图得到的等式中正确的有
① ；
② ；③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
【分析】通过等面积法验证恒等式．
【解析】由图知：两个边长分别是 ， 的正方形，两个长为 ，宽是 的长方形拼成一个边长为
的长方形．
．
故可以得到①．
图中没有边长为 的长方形或正方形．
不能得到②．
由图知：两个边长分别是 ， 的正方形，两个长为 ，宽是 的长方形拼成一个边长为 的长方形．
．
故可以得到③．
．不能得到④．
综上可以排除 ， ， 三个选项，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•双台子区期末）因式分解： ．
【分析】先提取公因式 ，再用平方差公式即可．
【解析】
，
故答案为： ．
12．（2021•阿荣旗模拟）分解因式： ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式 ，
故答案为：
13．（2020秋•东平县校级月考）若多项式 可分解为 ．则 的值为 2 ．
【分析】直接利用多项式乘法进而得出 ， 的值进而得出答案．
【解析】 多项式 可分解为 ，
，
则 ， ，
解得： ， ，
故 ．
故答案为：2．
14．（2021秋•霍林郭勒市期末）分解因式 ．【分析】用完全平方公式分解因式．
【解析】 ；
故答案为： ．
15．（2020春•姜堰区期中）若 ，则 ．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知 应该是2与 的两个因数的和．
【解析】由题意知， ．
故答案是： ．
16．（2020春•高新区校级月考）若 能用完全平方公式因式分解，则 的值为 13 或
．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值．
【解析】 是一个完全平方式，
，
解得： 或 ，
故选：13或 ．
17．（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为
．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出 、 的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】因式分解 时，
甲看错了 的值，分解的结果是 ，
，
又 乙看错了 的值，分解的结果为 ，，
原二次三项式为 ，
因此， ，
故答案为： ．
18．（2021春•奉化区校级期末）已知多项式：① ；② ；③ ；④ ；其
中能运用平方差公式分解因式的是 ② ．（填序号即可）
【分析】利用平方差公式的特点判断即可得到结果．
【解析】① 不能运用平方差公式分解因式；
② 能运用平方差公式分解因式；
③ 不能运用平方差公式分解因式；
④ 不能运用平方差公式分解因式，
则能用平方差公式分解的是②．
故答案为：②．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•姑苏区期末）因式分解
（1）
（2）
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ．
20．（2010春•东阳市期末）因式分解：（1）
（2） ．
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式即可作答；
（2）先利用平方差公式，再提取公因式即可．
【解析】（1） ，
，（1分）
（2分）；
（2） ，
，
．（1分）
21．（2019秋•南昌县期末）因式分解：
（1）
（2）
【分析】（1）直接提取公因式 ，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式 ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】（1）
；
（2）．
22．（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
【分析】（1）原式两项两项结合后，提取公因式即可；
（2）原式前三项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ．
23．（2019春•泰兴市期中）阅读材料：若 ，求 、 的值．
解： ，，而 ， ，
且 ，
， ．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1） ，则 2 ； ．
（2）已知 的三边 ， ， 满足 ，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它
不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为 ．
（3）已知 的三边长 、 、 都是正整数，且 ，求 的周长．
【分析】阅读材料可知：主要是对等号左边的多项式正确的分组，变形成两个平方式，根据平方的非负性
和为零，转换成每个底数必为零求解；
第（1）题直接按材料方法计算，
第（2）题是把材料放到等边三角形中探究，
第（3）题求三角形的周长，必先求三边的长度，同时求 时依据三角形三边关系求解．
【解析】（1）根据材料得：
，
，
，
又 ，
且 ，
且 ．
故答案为2和0．（2）
又 且 ，
， ，
是等边三角形．
故答案为①、②、③、④．
（3）
又 且 ，
， ，
， ，
在 中， 、 、 分别三角形的三边，
，
，
又 是正整数，
，
当 时， 的周长为：
．
24．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的
多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平
方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式 ；
（2） 三边 ， ， 满足 ，判断 的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出 ， ， 的关系，判断三角
形形状即可．
【解析】（1）
；
（2）
，
，
或 ，
的形状是等腰三角形．
