文档内容
第 73 讲 章末检测九
一、单选题
1、(2022·江苏如皋期初考试)直线 的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－，令x＝0，解得y＝－，故答案选C.
2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线 的方程是 ，则曲线
的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点 到两定点 的距离之和为4．而 ，因此 的轨迹是以
为焦点的椭圆．
故选：B．
3、（2022·广东清远·高三期末）若椭圆 的焦距为6，则实数 （ ）
A．13 B．40 C．5 D．
【答案】A
【解析】解：因为椭圆 的焦距为6，
可知 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得： .
故选：A.
4、（2022·山东烟台·高三期末）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率
为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意， ，否则等式左边是非正数，不会等于 ，那么双曲线的焦点在 轴上，于是
，则 ，由渐近线方程 可得， ，于是离心率为
.
故选: C.
5、（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆化为一般方程为 ，因此可知圆C的圆心为 ，半径为4，
因为直线l过定点 ，所以当圆心到直线l的距离为 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 ．
故选：D
6、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且
，若 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，由抛物线的定义可得 ，
，则 ，，解得 或 （舍）.
故选：B.
7、(2022·江苏如皋期初考试)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会
之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会
开幕式. 在手工课上，老师带领同学们
一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其
俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平
程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，
短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为
20cm，可得焦距长为 cm，故离心率为 ，所以小椭圆离心率为 ，小椭圆的短轴长为
10cm，即2b＝10cm，由 ，可得：a＝10cm，所以长轴为20cm.故答案选B.
8、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 (-
c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
二、多选题
9、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知直线 和点 ，过点A作直线
与直线 相交于点B，且 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为点B在直线 ： 上，设点 ，
因为 ，则 ，解得 或 ，
则B点坐标为 或 ，
当B点坐标为 时，直线 的方程为 ；
当B点坐标为 时，直线 的方程为 ，即 .
故选：AC.
10、（2022·湖北武昌·高三期末）已知双曲线C： ，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】BD
【解析】由双曲线C： ，可得 ，则
所以
所以选项A不正确，选项B正确.
由 ，所以选项C不正确.
渐近线方程为 ，即 ，故选项D正确.
故选：BD
11、（2022·山东泰安·高三期末）已知双曲线 的一条渐近线过点 ， 为
的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的渐近线方程为
C．若 到 的渐近线的距离为 ，则 的方程为
D．设 为坐标原点，若 ,则
【答案】AC
【解析】由题：双曲线 的一条渐近线过点 ，
所以渐近线方程为 ，所以B选项错误；所以 ，离心率 ，所以A选项正确；
若 到 的渐近线的距离为 ，即
则 的方程为 ，所以C选项正确；
为坐标原点，若 , ，所以
，所以D选项错误.
故选：AC
11、（2022·湖南常德·高三期末）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 交抛物线于 、
两点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．线段 的中点在直线 上
C．若 ，则 的面积为
D．以线段 为直径的圆一定与 轴相切
【答案】BCD
【解析】对于A选项，抛物线 的准线方程为 ，A错；
对于B选项，设点 、 ，设线段 的中点为 ，
则 ，两式作差得 ，可得 ，
所以， ，故 ，B对；
对于C选项，设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
，解得 ，由韦达定理可得 ， ，，解得 ，
点 到直线 的距离为 ，故 ，C对；
对于D选项，设线段 的中点为 ，则 ，
由抛物线的定义可得 ，即 等于点 到 轴距离的两倍，
所以，以线段 为直径的圆一定与 轴相切，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为
，则双曲线 的焦距为___________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，结合已知条件可得 ，故焦距为
，
故答案为： .
14、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线 与圆 相离，则整数
的一个取值可以是______．
【答案】 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
【解析】因为圆 的圆心为 ，所以圆心到直线 的距离 ，因为圆 的方程可化简为
，即半径为 ，所以 ，所以 ，故整数 的取值可能是
．故答案为： 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
15、（2023·云南玉溪·统考一模）已知直线 与圆C： 相交于点
A，B，若 是正三角形，则实数 ________
【答案】
【解析】设圆 的半径为 ，
由 可得，
因为 是正三角形，所以点 到直线 的距离为 ,
即 ，
两边平方得 ，解得 .
故答案为: .
16、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右
焦点分别为 ， ，若在C上存在点P（不是顶点），使得 ，则C的离心率的取值范
围为______．
【答案】
【解析】设 与 轴交点 ，连接 ， 由对称性可知， ，如图所示，又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
由 ，且三角形的内角和为 ，
，即 ，则
综上， ．
故答案为：
四、解答题
17、（2022杭州市西湖高级中学高二期末）已知直线 与圆 .
（Ⅰ）求证：直线 必过定点，并求该定点；
（Ⅱ）当圆 截直线 所得弦长最小时，求 的值.
【解析】（Ⅰ）证明：直线 方程可化为： ，
对上式中,当 时，不论 取何值，等式恒成立，
所以直线 恒过点
（Ⅱ）将圆 的方程化为： ，圆心为 ，半径由（Ⅰ）知，直线 恒过点 ，当圆 截直线 所得弦长最小时，则 垂直于直线 ，即
， ， ，
所以当圆 截直线 所得弦长最小时， 的值为
18、(2022·江苏如皋期初考试)如图，已知圆心坐标为 的圆 与 轴及直线 分别相切于 、
两点，另一圆 与圆 外切，且与 轴及直线 分别相切于 、 两点．
（1）求圆 和圆 的方程；（6分）
（2）过点 作直线 的平行线 ，求直线 被圆 截得的弦的长度．（6分）
【解析】
（1）由于 与 的两边均相切，故 到 及 的距离均为 的半径，
则 在 的平分线上，同理， 也 在的平分线上，
即 三点共线，且 为 的平分线，
∵ 的坐标为 ，∴ 到 轴的距离为1，即 的半径为1，
则 的方程为 ，
设 的半径为 ，其与 轴的切点为 ，连接 、 ，
由 可知， ，即 ．
则 ，则圆 的方程为 ；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过 点，直线 的平行线被圆 截得的弦的长度，此弦的方程是 ，即： ，
圆心 到该直线的距离 ，则弦长=
19、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭圆 ，椭圆
外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.
【解析】
（1）设 ，因为 ，所以 解得 ，
又因为 ，所以 解得 ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，
即 .
（2）设直线 与 斜率分别为 ，
是定值.20、（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P（1，1）作两条动直线l ，l 分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径
1 2
的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．
【解析】
(1)由题意得该抛物线焦点到准线的距离为 －(－ )＝p＝2，
所以该抛物线的方程为y2＝4x．
(2)①当直线l ， l 的斜率都存在时，设直线l ： ，直线l ：y－1＝k （x－1），
1 2 1 2 2
由 ，消去y得 ，显然 ，
设A(x ，y )，B(x ，y2)，则x ＋x ＝ ，x x ＝ ，
1 1 2 1 2 1 2
， ，
则以AB为直径的圆的方程为： ，
，
即 ＋ ＋ ＝0，
同理，以CD为直径的圆的方程为： ＋ ＋ ＝0，
∴以两圆公共弦所在的直线m的方程为： ．
令 ，解得 ，所以直线恒过定点( ， )．
②当直线l ，l 的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l 的斜率不存在，l 的斜率为k ，
1 2 1 2 2则以AB为直径的圆的方程为： ，
以CD为直径的圆的方程为： ＋ ＋ ＝0，
所以两圆公共弦所在的直线m的方程为： ，
此时直线m恒过定点（ ， ），
综上得：直线m恒过定点（ ， ）．
21、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦
点分别 、 焦距为2，且与双曲线 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 交椭圆C于另一点
Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 ，求过P、Q、 三点的圆的方程；
(3)若 ，且 ，求 的最大值．
【解析】（1）双曲线 的顶点坐标为 ，故 ，
由题意得 ，故 ，
故椭圆的方程为 ．
（2）因为 ， ，所以 的方程为 ，
由 ，解得点Q的坐标为 ．
设过P，Q， 三点的圆为 ，则 ，解得 ， ， ，
所以圆的方程为 ；
（3）设 ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即 时，取等号． 最大值为
22、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知椭圆 的左焦点与短轴两端
点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆 的方程；(2)不经过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 关于原点的对称点 ，直线 ，
与 轴分别交于 ， 两点，求证： .
【解析】（1）设椭圆上下顶点分别为 ，左焦点为 ，
则 是等边三角形，所以 ，则椭圆方程为 ，
将 代入椭圆方程，可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）设 ，则 .
将直线 代入椭圆方程 ，得 ，
其判别式 ，即 ，
.
所以要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，即证 ，
，所以 .
