文档内容
24.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。
3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。
知识点一 正多边形和圆的关系
1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
【例题】如图所示，六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形ABCDEF为
正六边形。
【解析】判断一个圆内接多边形是正多边形，关键是判断多边形的各顶点都是等分圆的点即可
【解】∵六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.
∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA
∴A.B.C.D.E.F六等分⊙O
∴六边形ABCDEF为正六边形
【变式1】正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．8 C．6 D．5
【考点】正多边形和圆．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数即可．【解答】解：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴ =36°，
解得n=10．
故选A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此
题的关键．
【变式2】正八边形的中心角是（ ）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
知识点二 正多边形的有关概念与计算
正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例题】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；
过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式
即可解答．
【解答】解：连接OB、OC；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=8m，
∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB=8m，
∴∠OBC=60°，
∴OG=OB•sin∠OBC=8× =4 m，
∴S = BC•OG= ×8×4 =16 ，
△OBC
∴S =6S =6×16 =96 m2．
六边形ABCDEF △OBC【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角
形是解答此题的关键．
【变式】已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正
六边形的面积．
【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长AB=OA=a；
正六边形的周长=6AB=6a；
∵OM=OA•sin60°= a，
正六边形的面积S=6× ×a× a= a2．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形
的边长等于半径．
知识点三 正多边形的画法
要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次
连接各等分点即可。正三角形的画法
第一步：用圆规画一个圆，
第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，
第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P)，
第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。
正四边形的画法
取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分
点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为
半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、
N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,
是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考
图片
正五边形的画法
① 以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和
AP。
② 平分半径ON，得OK=KN。
③ 以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正
五边形
的边长。
④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，正七变形的画法
① 以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP.
② 过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平
行线，把MN七等分.
③以 M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数
点（图中是 1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以 AB、BC、CM为边长，在圆周上
从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.正八边形的画
正九边形的画法
内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。
得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意
一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。
拓展点一 圆内接正多边形的判断
【例题】如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是
正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A= BCF= （BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B= CDA= （CD+DE+EF+FA）=2CD∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六
边形ABCDEF的外接圆．
【变式】如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=360，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求
证：五边形AEBCD是正五边形
解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=360，
∴∠ABC=720，∠ACB=720，
又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=360
∴五边形AEBCD是正五边形
拓展点二 圆内接正多边形的有关计算
【例题】已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ ，面
6
积S．
6
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆
半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S =6S 求得答案．
正六边形 △ABC
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=6，即R=6，
∵OA=OB=6，OG⊥AB，∴AG= AB= ×6=3，
∴在Rt△AOG中，r=OG= cm，
6
∴S= ×6×6×3 =54 cm2．
6
【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握
数形结合思想的应用．
【变式】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大
小．
【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）
∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM= ×（180°﹣30°）=75°．（5分）
【点评】本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到△BCM是等腰三角形是解决本题的关键．拓展点三 与圆内接正多边形有关的证明
【例题】已知⊙O和⊙O上的一点A．
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．
【分析】（1）根据圆内接正多边形的作法画出图形即可；
（2）先求出∠DOE的度数，进而可得出结论．
【解答】（1）解：作法：
①作直径AC；
②作直径BD⊥AC；
③依次连结A、B、C、D四点，
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；
⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．
（2）证明：连结OE、DE．
∵∠AOD= =90°，∠AOE= =60°，
∴∠DOE=∠AOD﹣∠AOE=90°﹣60°=30°．
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知圆内接正四边形及正六边形的作法是解答此题的关键．
【变式】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5 cm，求⊙O的半径
R．
【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得
∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC= ×360°=120°，∠BOD= ×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD•cos45°=5 × =5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．【点评】此题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想的应用．
拓展点四 实际应用题
【例题】如图①有一个宝塔，他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．
（下列各题结果精确到0.1m）
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通
道，问塑像底座的半径最大是多少？
【分析】（1）构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到
半边所对的角是 =36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是 26÷10=2.6，最后由该角的正
切值进行求解；
（2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．
【解答】解：（1）作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°．
又AB= ×26=5.2，
∴AM=2.6，∠AOM=36°，
在Rt△AMO中，边心距OM= ≈3.6（m）；
（2）3.6﹣1﹣1.6=1（m）．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.6m，塑像底座的半径最大约为1m．【点评】本题主要考查三角函数应用，解决简单的实际问题．课后巩固作业
1．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12 mm C．6mmD．6 mm
2．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．
在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（
）
A．2， B．2 ，π C． ， D．2 ，
5．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则 的值是（
）A． B． C． D．2
6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A． cm B． cm C． cm D．1cm
7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B．2：3：4 C．1： ：2 D．1：2：3
9．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．50cmB．25 cm C．50 cm D．50 cm
10．）如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）A．16．B．12 C．8 D．6
二．填空题（共5小题）
11．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，
0），则点C的坐标为 ．
12．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是 cm．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2 cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为
cm．
14．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD= 度．
15．已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形面积为 cm3．
三．解答题（共10小题）
16．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．17．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若
正方形边长为1，求弦FC的长．
18．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM．
（1）求证：△BCF≌△CDM．
（2）求∠BPM的度数．19．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
20．已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE交⊙O于F，求证：
EF，FA的长是方程 的两根．
21．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．22．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A，B ，C ，D，E，F 分别为所在各边的中点，求
1 1 1 1 1 1
图中阴影部分的总面积S．
23．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB=2α，OC⊥AB于C点．
（1）求弦AB的长及弦心距；
（2）求⊙O的内接正n边形的边长a 及边心距r．
n n
21．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积．
