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专题 6.13 平行四边形几何模型专题-最值问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，
以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是
（ ）.
A．AC B．BC C．CD D． AB
2．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是边 上任意一点，
沿 剪开，将 沿 方向平移到 的位置，得到四边形 ，则四边形
周长的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．30 D．28
3．如图，在 中， ， ， ，点 是 上一点，以 ，
为邻边作平行四边形 ，则对角线 的最小值是（ ）cm
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在Rt△ 中， 90°， ， ， 为 边上的一动点，以 ，
为边构造平行四边形 ，则对角线 的最小值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=5，点E是AB上的点，AC为平行四边
形AECF的对角线，则EF的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．如图，在 中， ，点P为 上任意一点，连结
，以 为邻边作平行四边形 ，连结 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C． D．
7．在边长为 的等边 中， 是 上一动点，连接 ，以 、 为邻边作平行
四边形 ，则对角线 的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形 中，对角线 平分 ， ， ，在对角
线 上有一动点P，边 上有一动点Q，使 的值最小，则这个最小值为
（ ）
A．4 B． C． D．8
9．如图，在 中， ， ， 为 边上一动点，以 ， 为边
作 ，则对角线 长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作
平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）A．8 B．4 C． D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6 ，E是AD边上的中点，
F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度
的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 ﹣3 D．6
12．如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为线段 ，
上的动点（含端点，但点 不与点 重合），点 ， 分别为 ， 的中点，则
长度的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
13．如图，直线EF分别交平行四边形ABCD边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对
折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）
A．4+ B．8 C．6+ D．4
14．如图，已知 ， ， ， 的角平分线交 于点 ，
点 是 上一个动点，以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ，连结 ，则
的最小值是( )
A． B． C． D．8
15．如图， 中， ， ，D为 边上一动点，E为平面内一点，以
点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
16．如图，已知平行四边形 中， 为 上任意一点（可
以与 重合），延长 到 ，使得 ，以 为边作平行四边形 ，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连
接 ，以 、 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的
动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是________________．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿
过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点 处，折痕交CD边于点E．若点P是直线
l上的一个动点，则 +PB的最小值_______．20．如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知
AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的
对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为__．
21．如图，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且
，则 的最小值是________．
22．如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点
▱
P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为
________________．
23．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到 ，点 、 分别是 、 的中点， 的最小值等于______．
24．如图，在 中， ， ，P为 边上一动点，以 ，
为边作平行四边形 ，则对角线 的长度的最小值为________．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，S ＝30，将线段AB沿着直线AB上下平移
▱ABCD
得到线段A'B'，连接A'C，B'C，则A'C+B'C的最小值是_____．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2 ，点P为BC上任意一
点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则PQ的最小值为___．27．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 是边
上不与点 重合的一个动点，将 沿 折叠，得到 连接 则
周长的最小值为___．
28．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC
上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大
值与最小值的差为__________．
三、解答题
29．问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC
上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？
若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且
AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
参考答案
1．C
【分析】
根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，对角线EF为最小值.
【详解】
解：根据垂线段的性质可知，EF⊥AB时为最小值.
∵四边形CEBF为平行四边形，∴FC∥BE，即FC∥BA.
故CD的长等于对角线EF最小值.
【点拨】本题主要考查了垂线段的性质.2．A
【分析】
由平移性质可得四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），AD长为定值9，所
以当AE最短时其周长最小，即AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的
性质解答即可．
【详解】
解：由平移性质可得AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），
又∵AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小，
即当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°．
∴在Rt△ABE中，BE= ，AE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=9，
∴四边形AEFD周长的最小值为：2（AD+AE）=2×（9+3）=24，
故选：A
【点拨】此题考查平移的性质以及平行四边形的判定和性质，关键是根据当AE⊥BC时，
四边形AEFD的周长最小进行分析．
3．B
【分析】
如图，由题意易得 ，由平行四边形的性质可得OA=OB，OD=OE，要使 的值为
最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时，然后问题可求解．
【详解】
解：如图所示：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴OA=OB，OD=OE，
∴要使 的值为最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时，
∴由三角形中位线定理可得 ，
∴ ，即 的最小值为6cm，
故选B．
【点拨】本题主要考查三角形中位线、勾股定理及平行四边形的性质，熟练掌握三角形中
位线、勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行四边形的性质可得，当PQ⊥AC时，对角线 的值最小，且 的最小值为BC
的长度，问题得解．
【详解】
解：如图所示，作平行四边形 ，则QB∥AC，
∴当PQ⊥AC时，对角线 的值最小，
∵BC⊥AC， ，
∴ 的最小值为6，
故选：B．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，准确作出图形是解题的关键．
5．A
【分析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OE⊥AB时，EF取最小值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC，
∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= BC=2.5，
∴EE=2OE=5，
∴EF的最小值是5．
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，以及垂线段最短，解题关键是熟练掌握 “平行四边
形的对角线互相平分”的性质．
6．C
【分析】
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，
PQ的最小值=2OP′．
【详解】
解：设 与 交于点 ，作 于 ．如图所示：
在 中， ，， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
当 与 重合时， 的值最小，则 的值最小，
的最小值 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌
握平行四边形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】
根据平行四边形的性质可推出DE=2OD，则可得当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值
最小，过O作OF⊥AC于点F，利用等边三角形及直角三角形性质可求得AF= OA= ，则
可利用勾股定理求得OF的长，即可得出结论．
【详解】
解：设AB与DE相交于点O，
∵四边形 是平行四边形， 是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB= AB=1，OD=OE= DE．
即DE=2OD．
∴当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小．
如图，过O作OF⊥AC于点F，∴∠AFO =90°．
∵ 是等边三角形，
∴∠BAC =60°．
∴∠AOF =30°．
∴AF= OA= ．
∴OF= ．
当OD=OF时，DO的值最小，即DE的值最小，
∴DE=2OF= ．
故选：C．
【点拨】此题考查了平行四边形、等边三角形及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行
四边形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】
根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，得到平
行四边形ABCD是菱形，推出点A，C关于BD对称，过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，则
PQ＋PC最小值＝AQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴点A，C关于BD对称，
过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，
则PQ＋PC最小值＝AQ，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝8，
∴AQ＝ AB＝ ，
∴这个最小值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等
腰直角三角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键．
9．C
【分析】
以 ， 为邻边作平行四边形 ，由平行四边形的性质可知 是 中点， 最短
也就是 最短，所以应该过 作 的垂线 ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求
出 的最小值．
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
最短也就是 最短，过 作 交于 ，
，
为等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中 对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、含 的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线
段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含 的直角三角形．
10．D
【分析】
由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的
垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO= AC= ×8=4，
∴OP′= AO=2 ，
∴PQ的最小值=2OP′=4 ，
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知
识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
11．C
【分析】
连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的
长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝ AD＝ BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝ ，DM＝ ，
∵CD＝6
∴CM＝ ，∴Rt△CEM中，CE＝ ，
∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3 ﹣3，
故选：C．
【点拨】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行
四边形的性质．
12．D
【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到EF= DN，根据题意得到当点N与点B重合时，DN
最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF= DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN= =10，∴EF长度的最大值为： ×10=5，
故选：D．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
13．D
【分析】
连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．因为A、A′关于直线EF
对称，推出P′A′=P′A，推出P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，推出当点P与P′重合时，PA′+PC的值
最小，最小值=AC的长；
【详解】
如图，连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
∵A、A′关于直线EF对称，
∴P′A′=P′A，
∴P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，
∴当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长．
在Rt△BCH中，∵BC=4，∠CBH=60°，
∴BH=2，CH=2 ，
∴AH=AB+BH=10，
在Rt△ACH中，AC= ．
∴PC+PA′的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
14．B【分析】
由锐角三角函数可求 的长， 的长，由角平分线的性质可求 ，可证
，可得 ，由勾股定理可求 的长，由平行四边形的性质
和相似三角形的性质可求 的长，即可求得 的最小值．
【详解】
如图，当 ⊥ 时，垂足为O，此时 的值最小，过点D作 ⊥ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ⊥ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，即 的最小值是 ，
故选： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，相似三角形的判定和性质，求出PQ的长是本题的关键．
15．C
【分析】
首先根据已知得出 最小时 ， 的位置，进而利用三角形面积求出 的长，进而得出
答案．
【详解】
解：当 为边时， ．
当 为对角线时，如图所示：过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，当 于点 时，此时 最小，
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
．
，
的最小值为： ．
故选：C．【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知
得出 ， 的位置是解题关键．
16．B
【分析】
根据相似三角形的性质和平行四边形的性质可得当PE⊥DC时，PE长度的最小，进而解答
即可．
【详解】
解：
记PE与CD交点为G，
∵四边形PFEC为平行四边形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PD PF CE，
∴ ，
∴ ，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时取PG，
∵ABCD是平行四边形
∴平行线间的距离处处相等过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝6，
∴sin∠B ，即 ，
∴PG＝CH ，
∴PE＝3PG ，
故答案为：B．
【点拨】考查了平行四边形的性质，关键是根据三角函数、点到直线的距离及垂线段最短
解答，
17．
【分析】
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短
也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BC=2AB=2，AC= ，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO= ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，
∴则PQ的最小值为2OP′=2× OC= ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及
垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
18．
【分析】
作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出 ，只要找到CM
的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当 时，CM最短，此时利用勾股定
理和三角形的面积公式即可求解
【详解】
解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝ CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵S ＝ ，
△ABC
∴CM＝ ，
∴DE＝ ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理，解题的关键在于能
够熟练掌握相关知识进行求解．
19．
【分析】
不管P点在l上哪个位置，PD始终等于PD'，故求PD'+PB可以转化成求PD+PB，显然当
D、P、D'共线时PD+ PB最短．
【详解】
过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°，
∴∠DAM＝60°，
由翻折变换可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°，
∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E，
又∵DE∥AB，∴四边形ADED′是菱形，
∴点D与点D′关于直线l对称，
连接BD交直线l于点P，此时PD′+PB最小，PD′+PB＝BD，
在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°，
∴AM= AD= ，DM= AD= ，
在Rt△DBM中，DM= ，MB＝AB+AM= ，
∴BD = ，
即PD′+PB最小值为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键．
20．18﹣5
【解析】
【分析】
作AP⊥BD垂足为P，当AP 旋转到与射线AD重合时（点P 与点E重合），ME就是MQ
1 1 1 1
最小值；当点P 与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P 与点F重合），此时
2 2
MF就是MQ最大值，分别求出MQ的最大值与最小值即可得解.
【详解】
如图作AP⊥BD垂足为P，∵DBA＝45°，AB＝10，∴∠PAB＝∠DBA＝45°，AP＝PB＝5
1 1 1 1 1
，∵AM＝MD＝ AD＝4，当AP 旋转到与射线AD重合时（点P 与点E重合），ME
1 1
就是MQ最小值＝5 －4，当点P 与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P 与
2 2
点F重合），此时MF就是MQ最大值＝AM＋AF＝AM＋AB＝4＋10＝14，∴MQ的最大值
与最小值的差＝14－（5 －4）＝18－5 ，故答案为18－5 .
【点拨】本题主要考查了旋转的相关知识，解答本题的关键是作出相应的辅助线，然后根
据旋转的性质进行解答即可.
21．
【分析】
过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于
BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时， 最小
为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，
则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA ＝90°，
∵ ， ，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝ ，
∴ ，
在Rt△AD 中，由勾股定理得：
D＝
∴ 的最小是值为： ，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，
构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．22．
【分析】
利用平行四边形的知识，将 的最小值转化为 的最小值，再利用勾股定理
求出MC的长度，即可求解；
【详解】
过点A作 且 ，连接MP，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
将 的最小值转化为 的最小值，当M、P、C三点共线时， 的最
小，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．
23．
【分析】取AB 的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，BC ＝BC＝4，再
1 1 1 1
利用P′Q为△ABC 的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′
1 1 1
+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．
【详解】
解：取AB 的中点P′，连接QP′、PP′，如图：
1 1
∵△ABC平移5个单位长度得到△ABC ，
1 1 1
∴PP′＝5，BC ＝BC＝3，
1 1
∵Q是AC 的中点，P′为AB 的中点，
1 1 1 1
∴P′Q为△ABC 的中位线，
1 1 1
∴P′Q＝ BC ＝ ，
1 1
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），
即 ， ，
∴PQ的最小值为 ．
故答案为
【点拨】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角
形三边关系是解题的关键．
24．6
【分析】
过点 作 ，由平行四边形 可得 为线段 的中点，当 最小时
的最小，即可求解．
【详解】
解：过点 作 ，如下图：在平行四边形 中，可知
即 为线段 的中点， ，
则 最小时 最小
又∵P为 边上一动点
由点到直线的距离可得 ，即 的最小值为
在 中， ，
∴ ，即 的最小值为
∴ 的最小值为6
故答案为6
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；
解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
25．13
【分析】
先由平移的性质得到四边形A'B'CD为平行四边形，从而得到CB'＝DA'，进而使得
CB'+CA'＝DA'+CA'，再作D关于直线AB的对称点D'，连接A'D'，CD'，DD'交BA延长线于
HA，
由对称性可知CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，再由AB＝5，S ＝30，求出DH，由
▱ABCD
勾股定理求出D'C即可.
【详解】
解：连接A'D，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，
∴AB=CD=5，AB∥CD，由平移性质得：A'B'∥CD，A'B'＝CD，
∴四边形A'B'CD为平行四边形，
∴CB'＝DA'，
∴CB'+CA'＝DA'+CA'，
作D关于直线AB的对称点D'，连接A'D'，CD'，DD'交BA延长线于H、A，
由对称性得：DA'＝D'A'，DD'＝2DH，DH⊥AB，
∴CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，
∵AB＝5，S ＝30，
▱ABCD
∴5DH＝30，
∴DH＝6，DD'＝12，
∵AB∥CD，
∴DD'⊥CD，
∴, ，
∴A'C+B'C的最小值为13，
故答案为：13．
.
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，最短路径问题，勾股定理，解题的关
键在于能够证明作D关于直线AB的对称点D'得到CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C．
26．2
【分析】
利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利
用垂线段最短得到点P的位置，再利用勾股定理 OP的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，∠ACB=45°，∴
∴ ，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO， ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO=45°，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴ ，
∴
∴OP′＝ ，
∴则PQ的最小值为2OP′＝2，
故答案为：2．
【点拨】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和勾股定理求线段长度，本题的
关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
27．
【分析】
的周长=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出当BA'最小时， 的
周长最小，由此即可求解．
【详解】
解：如图，作 于点 ，连接 ，∵ ，
，
，
，
，
由翻折可知 ，
的周长 ，
当 的长度最小时， 的周长最小，
，
，
的最小值为 ，
的周长的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质，翻折不变性，勾股定理，含30度直角三角形的
性质等，灵活运用性质是解题关键．
28．
【分析】
取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小
值即可．
【详解】
解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ,∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．故答案为 ．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、
直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本
题的关键．
29．（1） ；（2）存在，4+2 ；（3）不是，周长之和的最小值为15
【分析】
（1）先求出平行四边形 的面积，利用面积和差关系可得四边形 的面积
，则当 有最小值时，四边形 的面积有最大值，即可求解；
（2）在 中，由勾股定理可求 的长，由线段的和差关系可求解；
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于 ，过点 作 于 ，可证四
边形 是平行四边形，可 ， ，则 与 的周长之和为
，由直角三角形的性质可求 的长，即可求解．
【详解】
解：（1）过点 作 ，交 延长线于 ，过点 作 ，交 的延长线于
，
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
， ，
，
， ，， ，
四边形 的面积 ，
，
，
∴
四边形 的面积
，
四边形 的面积 ，
则当 有最小值时，四边形 的面积有最大值，
，
，
，
，
，
当 时，四边形 的面积 ，
故答案为 ；
（2）存在，
设 ，
，
，
，
的周长 ，
当 时， 的周长的最小值为 ；
（3） 与 的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点 作 ，交 的延长线于 ，过点 作 于 ，， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
与 的周长之和不是定值，
当 时， 与 的周长之和的最小值为15．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，
添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
