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第 58 讲 章末检测八
一、单选题
a b c
（2021·山东青岛市·高三三模）设 、 是空间两个不同平面， 、 、 是空间三条不同直线，下列命
题为真命题的是（ ）
// b// b//
A．若 ， ，则
a b a// b//
B．若直线 与 相交， ， ，则 与 相交
a// a
C．若 ， ，则
a b ba c b//c
D．若 ， ， ， ， ，则
【答案】D
// b// b// b
【解析】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A选项错误；
a b a// b//
对于B选项，若直线 与 相交， ， ，则 与 相交或平行，B选项错误；
a// a
对于C选项，若 ， ，则 与 的位置关系不确定，C选项错误；
a b ba b
对于D选项，若 ， ， ， ，由面面垂直的性质可得 ，
c b//c
，所以， ，D选项正确.
故选：D.
2、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)在正方体ABCD－ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 成
1 1 1 1 1 1 1
的角为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接，则就是直线PB与AD 所成的平面角，易得，且，所以，故答案选D．
1
法二：以点D为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝1，则，所
以＝(，，－1)，＝(－1，0，1)，设直线PB与所成的角为θ，则，所以，故答案选D．3、（2022·江苏苏州·高三期末）已知圆锥的高为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设底面半径为 ，母线长为 ，侧面展开是一个半圆
，即 ，
，
， ，
故选：A．
4、（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球 ，则圆柱的表面积与球 的
表面积之比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为 ，其高 ，其外接球的半径
，则圆柱的表面积 ，球 的表面积 ，则圆
柱的表面积与球 的表面积之比为 ，
故选： .
5、（2022·湖北襄阳·高三期末）已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为 ，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为 ，
所以圆台的母线为： ，
所以圆台的侧面积为： ，
故选：C
6、（2022·广东汕尾·高三期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．
攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．
也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，
它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ，它的侧棱与底
面内切圆半径的长度之比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 为正八棱锥 底面内切圆的圆心，连接 ， ，
取 的中点 ，连接 、 ，则 是底面内切圆半径 ，如图所示：
设侧棱长为 ，底面边长为 ，由题意知 ， ，则 ，解得 ；
由底面为正八边形，其内切圆半径 是底面中心 到各边的距离，
中， ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为 ．
故选:A．
7、．（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正
方体棱长为2，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完
全相同的等边三角形
6个完全相同的正方形的面积之和为：
8个完全相同的等边三角形的面积之和为： 故该几何体的表面积为：
故选：B8、（2022·广东汕尾·高三期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．
攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．
也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，
它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ，它的侧棱与底
面内切圆半径的长度之比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 为正八棱锥 底面内切圆的圆心，连接 ， ，
取 的中点 ，连接 、 ，则 是底面内切圆半径 ，如图所示：
设侧棱长为 ，底面边长为 ，
由题意知 ， ，则 ，解得 ；
由底面为正八边形，其内切圆半径 是底面中心 到各边的距离，
中， ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为 ．
故选:A．
二、多选题
9、（2022·江苏海安·高三期末）设 ， 为两个平面，下列是“ ”的充分条件是（ ）
A． ， 与平面 都垂直B． 内有两条相交直线与平面 均无交点
C．异面直线 ， 满足 ，
D． 内有 个点（任意三点不共线）到 的距离相等
【答案】BD
【解析】对于A：如图正方体 中：平面 为平面 ，平面 为平面 ，平面
为平面 ，此时满足 ， 与平面 都垂直，但平面 与平面 相交，所以 ， 与平面 都垂直
得不出 ，所以 ， 与平面 都垂直不是 的充分条件，故选项A不正确；
对于B： 内有两条相交直线与平面 均无交点即 内有两条相交直线与平面 平行，由面面平行的判定
定理可得 ，所以由 内有两条相交直线与平面 均无交点可得出 ，故 内有两条相交直线与平
面 均无交点是“ ”的充分条件，故选项B正确；
A B C D
1 1 1 1
对于C：如图正方体 中：直线 为 ，直线 为 ，平面 为平面 ，平面
为平面 ，此时符合异面直线 ， 满足 ， ，但平面 与平面 相交，所以异面直线 ，
满足 ， 得不出 ，异面直线 ， 满足 ， 不是 的充分条件，故选项C不正确；
对于D：若 内有 个点（任意三点不共线）到 的距离相等，则 ，所以 内有 个点（任意三点不
共线）到 的距离相等是“ ”的充分条件，故选项D正确，
故选：BD.10、（2022·河北保定·高三期末）如图， 为正方体中所在棱的中点，过 两点作正方体的截面，
则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选：BD
11、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）如图，点 为边长为1的正方形 的中心，
为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的中点，则（ ）
A．直线 、 是异面直线B．
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．三棱锥 的体积为
【答案】BD
【解析】对于A选项，连接 ，则点 为 的中点， 、 平面 ，
平面 ，
同理可知 平面 ，
所以， 与 不是异面直线，A选项错误；
对于C选项， 四边形 是边长为 的正方形， ，
平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， 平面 ，
所以，直线 与平面 所成角为 ，
为 的中点，且 是边长为 的正三角形，则 ， ，
，C选项错误；
对于B选项，取 的中点 ，连接 、 ，则 且 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
， ，B选项正确；对于D选项， 平面 ， 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ，D选项正确.
故选：BD.
12、（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
底面ABCD，M为PA的中点，则下列叙述中正确的是（
）
A．PC//平面MBD
B． 平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
【答案】CD
【解析】设 ，则E不是 中点，假设 平面
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为M为 中点，所以E是 中点，与题意矛盾，所以A错；
假设 平面 ，则 ，
因为直角梯形ABCD所， ，
所以知 与 不垂直，与假设矛盾，故B错；
因为 ，所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角，为 ，因为 是等腰直角三角形，所以 ，
故异面直线 与 所成的角是 ，所以C对．
因为 底面 ，
所以直线 与底面 所成的角为 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以D对．
故选：CD．
三、填空题
13、（2022·江苏海门·高三期末）已知圆柱的底面半径为 ，体积为4 π，则该圆柱的侧面积为
__________．
【答案】8π
【解析】因为底面半径为 ，体积为 ，设母线为 ，则 ，得 ，
所以圆柱的侧面积为： ，
故答案为：
14、（2022·湖北·高三期末）已知一个圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，其母线与底面所
成的角为 ，则这个圆台的体积为____________．
【答案】
【解析】解：根据题意，其圆台的轴截面是等腰梯形，如图，腰 ， ， ，
所以过点 作 ，垂足为 ，
所以在 中， ，
因为圆台的上、下底面半径之比为 ，
所以 ，即圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，高为 ，
所以圆台的体积为 .
故答案为：
15、（2022·湖南娄底·高三期末）若四棱锥 的各顶点都在同一个球O的表面上， 底面
ABCD， ， ， ， ，则球O的体积为______．
【答案】
【解析】设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E，
由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上， 平面 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以球O的半径为 ，所以球O的体积为 ．故答案为： ．
16、（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体 中， ，P为 的
中点，过 的平面 分别与棱 交于点E，F，且 ，则平面 截长方体所得上下两部分的体
积比值为_________；所得的截面四边形 的面积为___________．
【答案】3
【解析】如图，过点B作 的平行线分别与 的延长线交于G，H，连接 ，并分别与
交于E，F，
因为 GH，且 平面 ， 平面
所以 平面 ，
所以平面 即平面 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为四边形 为菱形，且 ，
所以 ．
故答案为：3； .
四、解答题
17、（2021·江苏南通市·高二开学考试）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 体积．【解析】（1）证明：设 与 交于点 ，连接 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为对角线 与 交于点 ，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 与 交于点 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为 ，所以侧面 是菱形，
，
因为 ， 为菱形 的对角线，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面
所以三棱锥 的高为 ，
所以三棱锥 的体积 ．
18、(2022·南京9月学情)(本小题满分12分)在三棱锥P－ABC中，AC＝2，BC＝4，△PAC为正三角形，D
为AB的中点，AC⊥PD，∠PCB＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC
(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】
(1)证明：取AC中点E，连接PE，ED．
因为△PAC为正三角形，E是AC中点，所以PE⊥AC．
又因为AC⊥PD，PE，PD平面PED，PE∩PD＝P，
故AC⊥平面PED．
因为ED平面PED，所以AC⊥ED．
因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，故BC⊥AC．…………………………………………………………4分
因为∠PCB＝90°，即BC⊥PC．
又PC，AC平面PAC，PC∩AC＝C，故BC⊥平面PAC．………………………6分
P
C
B
E
D
A
(2)：由(1)知BC⊥平面PAC．
因为PE平面PAC，所以BC⊥PE，从而ED⊥PE．
又因为PE⊥AC，又AC⊥ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz．因为AC＝2，BC＝4，△PAC为正三角形，故B(－1，4，0)，D(0，2，0)，
C(－1，0，0)，P(0，0，)．……………………………………………………8分
所以，．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝－1，得y＝0，x＝，
所以平面PBC的一个法向量为n＝(，0，－1)．………………………………………10分
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos<，n>|＝||＝＝．
所以PD与平面PBC所成角的正弦值为．……………………………………………12分
z
P
C
B
E
D y
A
19、(2022·沭阳如东中学期初考试)(12分)
20、
21、
22、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN＝2NB，已知PA＝AC＝AD
＝3，，∠ADB＝30°．
(1)求证：AC⊥平面PAD；
(2)设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值
P
M
A
D
B N
C
【解析】
(1)证明：因为，DN＝2NB，故．
在△AND中，AD＝3，∠ADN＝30°，，根据余弦定理可得，
，故，所以，
所以AC⊥AD．
又PA⊥面ABCD，AC面ABCD，
所以AC⊥PA．
因为PA∩AD＝A，PA，AD面PAD，
所以AC⊥面PAD．
(2)解：以A为坐标原点，以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标
系A－xyz．
在△BAD中，AD＝3，，∠ADB＝30°，据余弦定理可得，
，故AB＝3，
所以∠ABD＝30°，∠BAD＝120°．
所以A(0，0，0)，，C(3，0，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，
因为M是PD的中点，，
设＝(x，y，z)是平面PAB的法向量，则即
所以取x＝1，得＝(1，，0)，
所以平面PAB的一个法向量为＝(1，，0)．
同理，平面MAC的一个法向量为＝(0，1，－1)．
所以cos<，>＝＝＝．
设平面PAB与平面MAC所成的二面角为θ，故|cosθ|＝|cos<，>|＝，
因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝＝，
所以平面PAB与平面MAC所形成的二面角的正弦值为．
20、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥 的底面是矩形， ，侧面 底面OBCD．
（1）求证： 底面OBCD；
（2）若 ，二面角 的大小为120°，求四棱锥 的体积．
【解析】（1）证明：因为四棱锥 的底面是矩形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为侧面 底面OBCD，侧面 底面 ，
且 侧面AOD，所以 底面OBCD．
（2）解：因为 底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直．
如图，以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 的方向为y轴正方向，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
设 为平面ABC的法向量，则 ,即 ，
令 ，可得 ，所以 ．
设 为平面ACD的法向量，则 ，即 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，解得 或 （舍）．
所以四棱锥 的高为1，四棱锥 的体积 ．21、（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形， 底面ABCD，M为BC
中点，且 .
（1）求证：面 面PDB；
（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.
【解析】（1）矩形 中，M为BC中点，则 ，即有
，
于是得 ，则有 ，
因 底面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，从而有 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因 ，则 是异面直线 与 所成的角，即 ，有 ，
以 点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， , ， ,
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
因此， ，
所以平面 与平面 所成角 的余弦值
22、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，
， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2） ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，若二面角 的平面角的大小为
，试确定点 的位置.
【解析】（1）证明：因为 ， ， ，
所以 ，即 .又因为 ， ，所以 ，
，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：连接 ，因为 ， 是 的中点，所以 .
由（1）知，平面 平面 ，所以 平面 .
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则平面 的一个法向量是 ， ， ， .
设 ， ，
， ，
代入上式得 ， ， ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，得 .
令 ，得 .
因为二面角 的平面角的大小为 ，
所以 ，即 ，解得 .所以点 为线段 上靠近 点的四等分点，且坐标为 .
